Лекции по алгебре.Баскаков

формулой

f (x) = f (x1; : : : ; xn) = f(x (1); x (2); : : : ; x (n)):

Непосредственно из определения симметрического полилинейного оператора следует, что для любого такого оператора f и любой перестановки

2 Sn имеет место равенство f = f:

Лемма 1. Если f : Xn ! Y - антисимметрический оператор, то

1)f(x1; : : : ; xn) = 0; если набор векторов (x1; : : : ; xn) 2 Xn; имеет одинаковые члены;

2)f(x1; : : : ; xn) = 0; если векторы x1; : : : ; xn из X линейно зависимы;

3)g (x) = sign f(x) 8 2 Sn , где sign : Sn ! f 1; 1g – гомоморфизм групп (см. определение 2 из x 6).

Доказательство. Пусть xi = xj для i 6= j: Тогда f(x1; : : : ; xi; : : : ; xj;

: : : ; xn) = f(x1; : : : ; xj; : : : ; xi; : : : ; xn) и поэтому f(x1; : : : ; xn) = 0:

Допустим теперь, что векторы x1; : : : ; xn линейно зависимы. Тогда

1x1 + + nxn = 0 для некоторых чисел 1; : : : ; n; не равных нулю одновременно. Для определенности пусть 1 6= 0: Тогда x1 = 2x2 + : : : + nxn;

где 2 = 2= 1; : : : ; n = n= 1: Поэтому

n

X

f(x1; : : : ; xn) = if(xi; x2; : : : ; xn) = 0;

i=2

так как в наборах (xi; x2; : : : ; xn); i = 2; : : : ; n есть одинаковые члены.

Для доказательства равенства f (x) = sign f(x) заметим, что если

2 Sn является транспозицией, то f (x) = f(x) = sign f(x): Поскольку любая перестановка из Sn является суперпозицией транспозиций (см. теорему 3, x 6) и : Sn ! f 1; 1g – гомоморфизм групп, то имеет место доказываемое равенство. Лемма доказана.

Т е о р е м а 1. Пусть X – конечномерное линейное пространство с базисом e1; : : : ; en: Тогда существует по крайней мере одна ненулевая антисимметрическая полилинейная форма g : Xn ! K и каждая антисимметри-

148 Глава 3. Линейная алгебра

e1; : : : ; en (xi = xi1e1 + : : : + xinen):

Доказательство. Пусть f : Xn ! K – некоторая антисимметрическая полилинейная форма. Тогда из ее линейности по каждому аргументу и

разложений

xi = xi1e1 + : : : + xinen; i = 1; : : : ; n

получаем, что

Из свойства 1) леммы 1 получаем, что f(ei1 ; : : : ; ein) = 0, если имеются одинаковые числа среди индексов 1 i1; : : : ; in n: Поэтому в формуле (2) суммирование осуществляется по индексам, для которых

– перестановка из Sn . Следовательно, формулу (2) можно переписать в виде

X

=x1 (1) x2 (2) : : : xn (n)sign f(e1; : : : ; en);

2Sn

если использовать свойство 3) из леммы 1.

Докажем, что отображение g : Xn ! K; определенное формулой

2Sn

является антисимметрической полилинейной формой. Пусть ; 2 K и xk; yk 2 X: Тогда

g(x1; : : : ; xk 1; xk + yk; xk+1; : : : ; xn) =

150 Глава 3. Линейная алгебра

2Sn

является полилинейной антисимметрической формой (доказательство аналогично доказательству для g), причем g1(e1; : : : ; en) = 1: Поэтому g1 = g:

Упражнения к § 21

1.Покажите, что g(e1; : : : ; en) = 1:

2.Что можно сказать об антисимметрических полилинейных формах f :

Xm ! K в случае, если m > dimX ?

3.Пусть f : Xn ! K – антисимметрическая полилинейная форма и A :

X ! X – линейный оператор. Докажите, что функция fA : Xm ! K;

определенная формулой fA(x1; : : : ; xN ) = f(Ax1; : : : ; Axn); также является антисимметрической полилинейной формой.

x 22: Определители

Рассмотрим алгебру квадратных матриц Matrn(K); которая как линейное пространство (согласно следствию 3 теоремы 4 из x 19) изоморфна линейному пространству (Kn)n . Построенные в следствии 3 изоморфизмы позволяют рассматривать каждую матрицу A = (aij) 2 Matrn(K) либо как упорядоченный набор n строк матрицы (каждая строка считается элементом из Kn ), либо как упорядоченный набор n столбцов матрицы (столбцы считаются элементами из Kn): Такой взгляд на линейное пространство Matrn(K)

позволяет воспользоваться результатами предыдущего параграфа при изучении определителей матриц.

Определение 1. Пусть A = (aij) 2 Matrn(K): Число из K вида

X

2Sn

называется определителем матрицы A и обозначается символом detA.

Таким образом, сумма в (1) состоит из n! слагаемых, каждое из которых является произведением элементов матрицы, взятых (по одному) из каждой строки и каждого столбца матрицы и умноженных на знак соответствующей перестановки (которая строится так: (k) - номер столбца матрицы A для элемента из k-ой строки aK (k) матрицы, участвующего в этом произведе-

нии).

просто считается определитель диагональной матрицы A = (aij) (aij = 0

для i 6= j): detA = a11a22 : : : ann:

Таким образом, в определении 1 задана функция det : Matrn(K) ! K:

Из ее сопоставления с антисимметрической полилинейной формой, g : Xn ! K при X = Kn; заданной формулой (3) из x 21, видно, что функция det является антисимметрической полилинейной формой, если ее

рассматривать как функцию на линейном пространстве строк матриц (на пространстве (Kn)n): Поэтому из леммы 1, x 21 следует

Т е о р е м а 1. Функция det : Matrn(K) ! K обладает следующими свойствами:

1)det E = 1;

2)при перестановке местами двух строк матрицы ее определитель меняет свое значение на противоположное;

3) если k - ая строка ak = (ak1; : : : ; akn) 2 Kn матрицы A =

(aij) 2 Matrn(K) представлена в виде ak = bk + ck; где ; 2 K; bk = = (bk1; : : : ; bkn); ck = (ck1; : : : ; ckn) 2 Kn; то ее определитель detA равен числу

det B + det C; где матрицы B; C принадлежат пространству Matrn(K);

все их строки, кроме k - ой, те же, что и у A, а k - ые строки равны соответственно bk и ck ;

4) определитель матрицы A равен нулю, если ее строки линейно зави-

симы; 5) определитель матрицы не изменится, если к одной из строк прибав-

ляется линейная комбинация других строк.

Отметим, что свойство 5) непосредственно следует из свойств 3) и 4).

Следствие 1. Определитель матрицы равен нулю, если а) некоторая строка нулевая, б) две строки матрицы пропорциональны, в) одна из строк является линейной комбинацией остальных.

Следующие преобразования матрицы называются элементарными: а) перестановка строк (столбцов); б) умножение на ненулевое число строки (столбца); в) прибавление к строке (столбцу) другой строки (другого столбца), умноженной (умноженного) на число.

Определение 2. Матрица (aji) 2 Matrn(K) называется транспонированной к матрице A = (aij) 2 Matrn(K): Транспонированная к A матрица обозначается одним из символов At или A0: Если At = A; то A называется симметрической матрицей.

Т е о р е м а 2. det At = det A 8A 2 Matrn(K):

Доказательство. Пусть A = (aij): Тогда At = (aji) и поэтому

2Sn

Непосредственно, пользуясь замечанием 3 из x 21, из равенства (2) получаем, что detAt = detA: Теорема доказана.

Следствие. Для определителя любой матрицы A = (aij) 2 Matrn(K)

2Sn

Замечание 1. Полученный только что результат позволяет рассматривать функцию det : Matrn(K) ! K как функцию от упорядоченного набора столбцов матриц. Учитывая, что det – полилинейная антисимметрическая форма, имеет место полный аналог теоремы 1 для столбцов матриц.

Формулы (1) и (3) для определителя матриц из Matrn(K) содержат n!

слагаемых, что вызывает существенные трудности при вычислении. Часто полезно воспользоваться несколько другими формулами для определителя матриц.

Определение 3. Пусть A = (aij) 2 Matrn(K): Рассмотрим элемент aij матрицы A, расположенный на пересечении i - oй строки и j - столбца. Число Aij = ( 1)i+jMij; где Mij - определитель матрицы из Matrn 1(K);

полученной из матрицы A вычеркиванием i -ой строки и j - го столбца, называется алгебраическим дополнением элемента aij .

Т е о р е м а 3. Для любой матрицы A = (aij) 2 Matrn(K) и любого

1 k n имеет место формула

двух значений 1, -1. Поэтому для получения формулы (4) достаточно показать, что ( ) = sign :

Вначале допустим, что k = 1; j = 1; т.е. разберемся со знаками (n 1 ) !

P

слагаемых в выражении a11A11 = a11 sign a2 (2) : : : an (n); где

Sn 1 = S(2; : : : ; n) – группа перестановок множества f2; : : : ; ng. Поскольку a11sign a2 (2) : : : an (n) = sign a1 (1)a2 (2) : : : an (n); где перестановка

2 Sn определяется соотношениями (1) = 1; (j) = (j); j = 2; : : : ; n (и поэтому sign = sign ), то каждое слагаемое ( )a11a2 (2) : : : an (n); 2 Sn;

участвующее в образовании выражения a11A11; имеет множитель ( ), равный sign :

Рассмотрим теперь слагаемое akjAkj: Переставляя последовательно соседние строки и столбцы, мы можем перевести элемент akj в левый верхний угол матрицы, причем для этого понадобится k 1 + j 1 = k + j 2

перестановок. В результате получим матрицу A1 с определителем detA1 = ( 1)k+jdetA. При этом ясно, что алгебраическое дополнение к элементу akj;

занимающему верхний левый угол матрицы A1; будет совпадать с алгебра-

ическим дополнением этого элемента в матрице A, умноженным на число

( 1)k+j: Таким образом, мы получили формулу (4). Теорема доказана.

Формулу (4) называют формулой разложения определителя матрицы

по k - ой строке.

Поскольку det At = det A, то непосредственно из теоремы получаем

Следствие.

B0 a22 : : : a2n C

00 : : : ann

ивычислим det A, пользуясь формулой (5) при k = 1 (формулой разложения определителя по первому столбцу). Имеет место равенство det A = = a11det An 1; где An 1 2 Matrn 1(K) – матрица, полученная в результате вычеркивания первой строки и первого столбца матрицы A: Для вычисления det An 1 используем ту же формулу (5) при k = 1. В результате получим det An 1 = a22det An 2; где An 2 – верхнетреугольная матрица из

Matrn 2(K), оставшаяся после вычеркивания первой строки и первого столбца матрицы An 1: Продолжая этот процесс вычисления далее, мы получим равенство

Y

=(xi xj):

1 j<i n

Т е о р е м а 4. Для любых двух матриц A; B 2 Matrn(K) имеет место равенство

det AB = det A det B:

Доказательство. Рассмотрим функцию ' : Matrn(K) ! K; определенную формулой

'(X) = det(XB); X = (xij) 2 Matrn(K):

Эту функцию рассмотрим так же, как функцию строк матриц (т.е. как функцию, определенную на (Kn)n): Из определения произведения матрицы

B = (bij) на матрицу X = (xij) получаем, что матрица (yij) = XB име-

ет элементы вида

n

X

yij = xikbkj; 1 i; j n:

k=1

Поэтому при перестановке строк матрицы X местами соответствующие строки матрицы (yij) также меняются местами и, следовательно, согласно свойству определителей, функция ' антисимметрична.

Отметим также, что если i - ая строка матрицы X есть линейная комбинация двух векторов из Kn , то i - ая строка матрицы (yij) будет такой же линейной комбинацией тех же векторов. Следовательно, свойство линейности функции det по каждому аргументу обеспечивает свойство линейности по каждому аргументу и функции ':

Итак, ' – антисимметрическая полилинейная функция и поэтому, согласно теореме 1 из x 21, она имеет вид

X

'(X) = sign x1 (1)x2 (2) : : : xn (n) '(E) = det X'(E);

2Sn

где E – единичная матрицы из Matrn(K) (т.е. мы рассматриваем стандартный базис e1 = (1; 0; : : : ; 0); : : : ; en = (0; 0; : : : ; 1) в Kn , составляющий строки матрицы E ).