Лекции по алгебре.Баскаков

называется спектральным радиусом оператора A (т.е. r(A) - радиус наименьшего круга из C с центром в нуле, содержащего (A)).

Аналогичным образом определяется спектральный радиус r(A) любой матрицы A 2 Matrn(K):

Лемма 1. Для любого оператора A 2 L(X) (X - конечномерное линейное нормированное пространство) имеет место оценка

r(A) k A k :

Доказательство. Пусть 0 2 (A) - максимальное по модулю собственное значение оператора A и x0 - отвечающий ему собственный вектор с k x0 k= 1: Тогда

r(A) = j 0j = j 0j k x0 k=k Ax0 k k A k :

Лемма доказана.

Отметим, что аналогичное неравенство верно для спектрального радиуса любой матрицы A 2 Matrn(K): Если Q - нильпотентный оператор из L(X);

то r(Q) = 0 <k Q k> 0; т.е. неравенство из леммы 1 может быть строгим. Если A - нормальный оператор и e1; : : : ; en - ортонормированный базис

в H , составленный из собственных векторов оператора A, т.е. Aek = kek; k = 1; : : : ; n, где 1; : : : ; n - собственные значения оператора A, то, разлагая каждый вектор x по базису, получим равенства

Следовательно, jjAjj = sup jjjjAxxjjjj r(A):

x6=0

Поскольку j kj = jj kekjj = jjAekjj jjAjj 8k = 1; : : : ; n; то r(A) =

= max j kj jjAjj: Таким образом, доказана

1 k n

Т е о р е м а 1. Если A - нормальный оператор, то

r(A) = jjAjj:

В частности, это равенство имеет место для самосопряженного оператора A.

Следствие 1. Если A - нормальный оператор из L(H) и (Ax; x) = = 0 8x 2 H; то A = 0:

Доказательство. Пусть 0 - произвольное собственное значение оператора A и x0 - соответствующий собственный вектор. Тогда 0 = (Ax0; x0) = = 0(x0; x0) = 0jjx0jj2 и поэтому 0 = 0: Следовательно, jjAjj = r(A) = 0:

Замечание 1. Если Q - ненулевой нильпотентный оператор из L(H);

то ясно, что r(Q) = 0; и поэтому 0 = r(Q) 6= jjQjj =6 0: Однако всегда имеет место неравенство r(A) jjAjj; которое следует из оценок:j 0j = jj 0x0jj = = jjAx0jj jjAjj ( 0 2 (A); Ax0 = 0x0; jjx0jj = 1):

Определение 2. Самосопряженный оператор A 2 L(H) называется

положительно определенным (положительно полуопределенным), если

(Ax; x) > 0 ((Ax; x) 0) 8x 6= 0 2 H: При этом используется обозначение

A > 0 (A 0): Оператор A называется отрицательно определенным (отрицательно полуопределенным), если (Ax; x) < 0 ((Ax; x) 0) 8x 2 H; x 6= 0:

Определение 3. Симметрическая матрица A = (aij) 2 Matrn(K) называется положительно определенной (положительно полуопределенной),

если для любого ненулевого набора n чисел ( 1; : : : ; n) 2 Kn имеет место

неравенство

Расшифровка условия (2) означает не что иное, как положительную оп-

ределенность (полуопределенность) оператора A 2 L(Kn); определяемого матрицей A: Как обычно, это соотношение между матрицами и операторами

позволяет рассматривать результаты только для положительно определенных (полуопределенных) операторов.

Т е о р е м а 2. Самосопряженный оператор A 2 L(H) положительно определен (полуопределен) тогда и только тогда, когда его собственные значения положительны (неотрицательны).

Доказательство. Пусть 0 - произвольное собственное значение положительно определенного (полуопределенного) оператора A и x0 - соответствующий собственный вектор. Положительность (неотрицательность) числа

0 следует из неравенства

0 < (Ax0; x0) = 0(x0; x0) (0 (Ax0; x0) = 0(x0; x0)):

Обратно, если все собственные значения оператора A положительны (неотрицательны), то рассмотрим равенства (1). Из этих равенств получим

n

X

(Ax; x) = kj(x; ek)j2; x 2 H;

k=1

откуда следует положительность (неотрицательность) оператора A. Теорема доказана.

Следствие 2. Собственные значения положительно определенной (полуопределенной) матрицы положительны (неотрицательны).

Следствие 3. Спектральный радиус положительно полуопределенного оператора равен его максимальному собственному значению.

Требование самосопряженности оператора A из определения 2 (матрицы

A из определения 3) является лишним для комплексного пространства H

(для A 2 Matrn(C): Действительно, имеет место

Т е о р е м а 3. Пусть H - комплексное евклидово пространство. Для того чтобы оператор A 2 L(H) был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы число (Ax; x) было вещественно для любого вектора x 2 H:

Доказательство. Если A = A ; то вещественность числа

(Ax; x); x 2 H следует из следующих равенств

(Ax; x) = (x; A x) = (x; Ax) = (Ax; x):

Обратно, если (Ax; x) вещественно для любого x 2 H; то

(Ax; x) = (Ax; x) = (x; A x) = (A x; x)

и, следовательно, ((A A )x; x) = 0 8x 2 H: Поскольку (A A ) = A A;

то A A - антисамосопряженный оператор и поэтому он нормален. Согласно следствию 1 из теоремы 1, A A = 0: Теорема доказана.

Т е о р е м а 4. Для любого самосопряженного оператора A 2 L(H)

имеет место равенство

jjAjj = sup j(Ax; x)j:

jjxjj1

Доказательство. Поскольку j(Ax; x)j jjAxjjjjxjj jjAjjjjxjj2 jjAjj;

если jjxjj 1; то j(Ax; x)j jjAjj: С другой стороны, если x0 - собственный вектор оператора A длины 1, отвечающий максимальному по модулю собственному значению 0 оператора A, то из теоремы 1 получаем

jjAjj = r(A) = j 0j = j 0j(x0; x0) = j( 0x0; x0)j = j(Ax0; x0)j sup (Ax; x):

jjxjj1

Следствие 4. Если A 2 L(H); A 0; то jjAjj = sup (Ax; x):

Т е о р е м а 5. Каждый положительно определенный (полуопределенный) оператор A 2 L(H) обладает положительно определенным (полуопре-

Теорема доказана.

Т е о р е м а 6. Для любого оператора A 2 L(H) операторы A A и

AA положительно полуопределены и

p q p jjAjj = jjA Ajj = max(A A) = max A A;

где через max(B) обозначено максимальное собственное значение самосопряженного оператора B 2 L(H):

Доказательство. Поскольку (A Ax; x) = (Ax; Ax) 0 и (AA x; x) = (A x; A x) 0; то операторы A A и AA положительно полуопределены.

собственные значения. Тогда из равенств (1) получаем следующие неравенства

ношением Рэлея.

Т е о р е м а 7 (теорема Рэлея-Ритца). Пусть A - самосопряженный

оператор и его собственные значения j = j(A); = 1; : : : ; n упорядочены следующим образом

min = 1 2 n = max:

Тогда

272 Глава 3. Линейная алгебра.

венств (3). Минимум в (5) достигается на собственном векторе e1; а мак-

ся, по крайней мере, одно собственное значение оператора A.

Следствие 6. Пусть Hk - линейная оболочка собственных векторов e1; : : : ; ek оператора A, Hk+ - линейная оболочка собственных векторов ek;

относительно оператора A и спектры (Ak ); (A+k ) сужений Ak и A+k опера-

лось использовать равенства (5) и (6) применительно к самосопряженным операторам (Ak ) (A+k ): Их самосопряженность следует, например, из леммы 2, x 35. Следствие доказано.

Следует признать, что формула (7) для определения промежуточных собственных значений самосопряженного оператора A предполагает знание его подпространств Hk Hk+; что является существенным недостатком. В следующей теореме этот недостаток в основном устраняется, так как в соответствующих формулах для собственного значения k оператора A будут использоваться подпространства, не обязательно являющиеся инвариантными для A.

Т е о р е м а 8 (теорема Фишера-Куранта). Пусть A = A 2 L(H) и

его собственные значения j = j(A); j = 1; : : : ; n упорядочены:

1 2 n (n = dim H):

ств Mk и Mn k+1 из H соответственно размерности k и n k + 1:

Доказательство. Пусть Mk - произвольное подпространство размерности k. Тогда dim Mk+dim Hk+ = k+n k+1 = n+1 и поэтому в силу теоремы

H (dim H = n) и Pn 1 2 L(H) - оператор ортогонального проектирования на Hn 1: Рассмотрим сужение An 1 : Hn 1 ! Hn 1 оператора Pn 1A

на Hn 1 и обозначим через 01 02 0n 1 собственные значения самосопряженного оператора An 1 2 L(Hn 1): Тогда

1 01 2 02 0n 1 n:

Доказательство. Ввиду того, что (An 1x; x) = (Pn 1Ax; x) = (Ax;

274 Глава 3. Линейная алгебра.

Следствие 8. Пусть A и B - самосопряженные операторы и B 0:

Тогда k(A + B) k(A); k = 1; : : : ; n: Если B > 0; то k(A + B) > k(A); k = 1; : : : ; n:

Следствие 9. Если Ai = Ai 2 L(H); i = 1; 2; 3 и A1 A2 A3; тоk(A1) k(A2) k(A3); k = 1; : : : ; n:

Определение 5. Пусть A = (aij) - матрица из Matrn(K): Матрицы

Ak = (aij); i; j = 1; : : : ; k; k = 1; : : : ; n называются главными минорами

матрицы A:

Т е о р е м а 9 (критерий Сильвестра). Пусть A - самопряженный оператор из L(H) и A = (aij) 2 Matrm(K) - его матрица в некотором ортонормированном базисе из H . Для того чтобы оператор был положительно определенным оператором, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

причем det A1 < 0:

Доказательство проведем индукцией по размерности евклидовых пространств. Если n = 1; то любой самосопряженный оператор B имеет вид

B = 1I; 1 2 R; и поэтому B > 0 () det B = 1 > 0: Допустим теперь, что утверждение теоремы верно для пространств размерности, не превосходящей числа k 1; и пусть оператор A = A 2 L(H); dim H = K имеет собственные значения 1 2 k: Условие A > 0 эквивалентно условиям j > 0; j = 1; : : : ; k (см.теорему 2). Пусть A = (aij) 2 Matrk(K)

- матрица оператора A относительно ортонормированного базиса e1; : : : ; ek

и Hk 1 - подпространство из H , являющееся линейной оболочкой векторов e1; : : : ; ek 1: Через Pk 1 обозначим оператор ортогонального проектирования

на Hk 1 и рассмотрим сужение Ak 1 оператора Pk 1A на Hn 1: Согласно следствию 1 теоремы 8, для его собственных значений 01 02 0n 1

имеют место неравенства

1 01 2 02 0n 1 n:

Если A > 0; то 1 > 0; и поэтому 01 > 0; т.е. самосопряженный оператор

An 1 положителен. Так как матрица оператора An 1 относительно базиса e1; : : : ; en 1 в Hn 1 совпадает с главным минором An 1 = (aij); 1 i; j n 1 матрицы A, то det An 1 = 01 02 0n 1 > 0: Поскольку An 1 > 0; то в силу предположения индукции все главные миноры матрицы An 1 , совпадающие с главными минорами A1; : : : ; An 1; имеют положительные определители.

Обратно, если все числа det Ak; k = 1; : : : ; n положительны, то из положительности чисел det Ak; k = 1; : : : ; n 1 (в силу предположения индукции) оператор An 1 положителен. Поэтому 0k > 0; k = 1; : : : ; n 1: Следовательно, из неравенства (10) следует положительность чисел 2; 3: : : : ; n: Поскольку det An = det A = 1 n > 0; то 1 > 0: Таким образом, спектр оператора A положителен и, следовательно, A > 0:

Утверждение теоремы для отрицательно определенного оператора A

следует из полученного результата, если его применить к оператору A: Теорема доказана.

Замечание 2. Критерий Сильвестра естественным образом обобщается для симметрических матриц. Соответствующий результат получается с помощью соотнесения матрице самосопряженного оператора из L(Kn); определяемого этой матрицей.

Т е о р е м а 7 (Шура об унитарной триангуляции матриц). Пусть задана матрица A 2 Matrn(C) и пусть 1 2 n - её собственные значения. Тогда существует унитарная матрица U такая, что

U 1AU = UxAU = B = (bij);

где B - верхнетреугольная матрица с диагональными элементами bij = i;

1 i n: Если A 2 Matrn(R); (A) R; то и U - ортогональная матрица

из Matrn(R):

Доказательство. Пусть e1 2 Cn - нормированный собственный вектор, отвечающий собственному значению 1: Дополним его векторами x2; : : : ; xn

из Cn до ортонормированного базиса в Cn . Векторы e1; x2; : : : xn будут столбцами унитарной матрицы, U1 2 Matrn(C): В матрице AU1 первый столбец есть 1x1 и поэтому матрица U1 AU1 имеет вид

0... A1

Собственные значения матрицы A1 2 Matrn 1(C) - это 2; : : : ; n: Пусть e2 - нормированный собственный вектор для A1; отвечающий 2: Далее все повторяется. Для некоторой унитарной U2 2 Matrn 1(C)

рицы U AU: Если A 2 Matrn(R) и (A) R; то все собственные векторы ее можно взять вещественными и, следовательно, U 2 Matrn(R): Теорема доказана.