Лекции по алгебре.Баскаков

Важно отметить, что умножение матриц вводилось таким образом, чтобы выполнялось равенство

где A; B – матрицы операторов A и B соответственно. В следующей теореме будет показано, что Matrn(K) - алгебра и, следовательно, равенство (6) вместе с линейностью оператора M означает, что M является изоморфизмом алгебр (определение 11, x 7).

Т е о р е м а 5. Matrn(K) – алгебра с единицей. Она некоммутативна, если n 2:

Доказательство. Для проверки необходимых свойств привлечем изоморфизм M : L(X) ! Matrn(K) и используем тот факт, что L(X) - алгебра. Доказательство всех необходимых свойств проводится по единой схеме и поэтому остановимся только на доказательстве ассоциативности умножения матриц.

Пусть Ai; i = 1; 2; 3 - три матрицы из Matrn(K) и Ai; i = 1; 2; 3 - операторы из L(X); задаваемые с помощью матриц Ai; i = 1; 2; 3 соответственно. Тогда Ai = M(Ai); i = 1; 2; 3; и поэтому имеют место равенства

(A1A2)A3 = M(A1A2)M(A3) = M(A1)M(A2)M(A3) = M(A1)M(A2A3) = = A1(A2A3).

Некоммутативность алгебры Matrn(K); n 2 следует из соотношений

E12E21 = E11 6= E22 = E21E12:

Из замечания перед теоремой 5 следует

Т е о р е м а 6. Алгебры L(X); Matrn(K) изоморфны и отображение

M: L(X) ! Matrn(K) является изоморфизмом алгебр.

Те о р е м а 7. Оператор A 2 L(X) обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица. Более того, M(B 1) = M(B) 1 для любого обратимого оператора B 2 L(X) (т.е. матрица оператора B 1 равна матрице, обратной к матрице оператора B).

M 1 : Matrn(K) ! L(K) является гоморфизмом алгебр (см. теорему 5 из x 19 и лемму 3 из x 5).

Если оператор A 2 L(X) обратим, то AA 1 = A 1A = I . Поэтому

M(A 1A) = M(AA 1) = M(A)M(A 1) = M(A 1)M(A) = E; т.е. матрица A = M(A) обратима и M(A 1) = (M(A) 1: Обратно, если матрица

A = M(A) оператора A обратима, то обратимость оператора A получается аналогичным образом, но с использованием алгебраического гомоморфизма

M 1 . Теорема доказана.

Замечание 5. Из общего определения обратного отображения следует, что оператор A 2 L(X) обратим, если существует оператор B 2 L(X) такой, что выполнены равенства

AB = I; BA = I:

В действительности достаточно выполнения одного из этих равенств. Например, если выполнено равенство BA = I , то A - инъективный оператор (см. упражнение 16 из x 3), и поэтому, в силу теоремы 3, x 19 он обратим.

Замечание 6. Теоремы 6 и 7 позволяют свести вопрос об обратимости линейных операторов к обратимости матриц рассматриваемых операторов.

Естественно ожидать, что с изменением базиса в X изменится и гомоморфизм M : L(X) ! Matrn(K) (изменятся матрицы рассматриваемых операторов). Выясним, как меняется матрица оператора при изменении базиса в X .

Итак, наряду с заданным базисом e1; : : : ; en в X , по которому построен гомоморфизм M : L(X) ! Matrn(K), рассмотрим еще один базис e01; : : : ; e0n:

Найдем формулу, выражающую матрицу A0 = (a0ij) оператора A 2 L(X) в

новом базисе e01; : : : ; e0n через его матрицу A = M(A) = (aij) в старом базисе. С этой целью введем в рассмотрение обратимый оператор U 2 L(X);

определяемый на базисных векторах e1; : : : ; en равенствами

Uej = e0j; j = 1; : : : ; n:

Пусть Iij0 ; 1 i; j n - базис в L(X), который строится по новому базису в

X; т.е. Iij0 e0j = e0i и Iij0 e0k = 0; если k 6= j. Тогда имеют место равенства

Iij0 = UIijU 1; 1 i; j n;

так как операторы в обеих частях этих равенств совпадают на базисе (e0k);

1 k n: Из определения матрицы оператора получаем, что

Применяя к обеим частям этих равенств изоморфизм

M : L(X) ! Matrn(K);

получим

где U - матрица оператора U в старом базисе e1; : : : ; en: Это означает, что матрица U = (uij) получена из разложений

элементов нового базиса по старому базису.

Прежде чем сформулировать полученный способ вычисления матрицы

A0 оператора A относительно нового базиса, дадим два используемых далее определения.

Определение 2. Две матрицы A1; A2 2 Matrn(K) называются подобными, если существует обратимая матрица U 2 Matrn(K) такая, что имеет место равенство

140 Глава 3. Линейная алгебра

Матрица U называется трансформирующей матрицей.

Определение 3. Два оператора A1; A2 2 L(X) называются подобными,

Оператор U называется оператором преобразования.

Лемма 3. Подобные операторы имеют подобные матрицы. Если два оператора имеют подобные матрицы, то операторы подобны.

Доказательство. Пусть A1; A2 2 L(X) – подобные операторы, тогда имеет место равенство (10), где U – обратимый оператор из L(X). Применяя к обеим частям этого равенства изоморфизм M , получим равенство вида (9), где Ak – матрица оператора Ak (k = 1; 2) и U – матрица оператора U .

Обратно, если матрица A1; A2 этих операторов подобны, т.е. имеет место равенство вида (9), то из него следует равенство (10) после применения к обеим частям его изоморфизма M 1 : Matrn(K) ! L(X). Лемма доказана.

Теперь мы имеем возможность подвести итог приведенным выше рассуждениям.

Т е о р е м а 8. Матрица A0 оператора A 2 L(X) в новом базисе e01; : : : ; e0n подобна матрице A оператора A в старом базисе e1; : : : ; en и имеет место равенство

A0 = U 1AU;

где трансформирующая матрица U = (uij) определяется соотношениями (8) и называется матрицей оператора перехода от старого базиса к новому.

Кроме того, матрица A0 является матрицей оператора U 1AU в базисе e1; : : : ; en .

Предположим теперь, что X – линейное нормированное пространство. Тогда L(X) также является линейным нормированным пространством (см. теорему 2 из x 18).

Определение 4. Линейное нормированное пространство B, являющее-

ся алгеброй, называется нормированной алгеброй, если для любой пары элементов a; b 2 B выполнено неравенство

kabk kakkbk:

Т е о р е м а 9. L(X) – нормированная алгебра.

Доказательство. Пусть A1A2 2 L(X): Тогда для любого вектора x 2 X с kxk 1 имеют место неравенства

kA1A2xk = kA1(A2x)k kA1kkA2xk kA1kkA2k:

Следовательно, kA1A2k kA1kkA2k: Теорема доказана.

Если в алгебре Matrn(K) введена норма (см. замечание 8, § 12), то имеет место

Следствие 2. Matrn(K) - нормированная алгебра.

Отметим, что на алгебре Matrn(K) можно ввести норму и другим, чем

в замечании 8 способом. Например, можно положить k A k= max jaijj:

1 ii;j n

Однако, при n 2 относительно этой нормы Matrn(K) не является нормированной алгеброй.

Упражнения к § 20

1.Найдите произведение BA операторов B : Pn(C) ! Pn(C); A : Pn(C) ! Pn(C); заданных формулами

2.Для каких m; n; k; ` определены произведения AB и BA линейных операторов A : Pm(R) ! Pn(R); B : Pk(R) ! P`(R)?

3.Докажите, что для операторов A; A2; : : : ; An; : : : из L(X) имеют место включения подпространств

KerA KerA2 : : : ;

ImA ImA2 : : : :

4. Найдите An; n 2 для оператора A : C[0; 1] ! C[0; 1] вида

p

а) (A')(t) = '(t2); б) (A')(t) = '( t):

5.Найдите обратный к оператору A : Pn(C) ! Pn(C); вида (A')(z) = = '( z); ' 2 Pn(C):

6.Приведите пример двух ненулевых операторов A; B 2 L(Kn); где k 2, таких , что AB = BA = 0: Всегда ли из условия AB = 0 следует, что

BA = 0 ?

7.Найдите произведение матриц A; B, если

0 1

3

a) A = (2; 0; 2); B = @ 5 A; 3

8. Докажите, что всякий линейный оператор A 2 L(X; Y ) можно пред-

ставить в виде произведения инъективного и сюръективного линейных

операторов.

9. Пусть A : Pn 1(C) ! Pn(C); B : Pn(C) ! Pn 1(C) - линейные операто-

ры, определенные формулами

(A')(z) = z'(z); (B')(z) = '(z) '(0): z

Проверьте, что BA – тождественный оператор в Pn 1(C); а AB не яв-

ляется тождественным.

D : P(K) ! P(K) - оператор дифференцирования. Найдите операторы AD; DA; AD DA и докажите равенство DmA ADm = mDm 1

(m = 1; 2; : : : ; D0 = I):

12.Докажите, что отношение подобия между линейными операторами из

L(X) есть отношение эквивалентности.

13.Пусть A и B - подобные операторы из L(X), тогда подобны также операторы Ak и Bk; k 2:

14.Пусть A и B - подобные операторы из L(X) и A - обратимый оператор. Тогда B обратим и операторы A 1 и B 1 подобны.

15.Докажите, что подобные операторы имеют одинаковый ранг и размерности их ядер совпадают.

16.Пусть H - евклидово пространство и A; B 2 L(H) - операторы ранга 1, имеющие вид

Ax = (x; a)b; Bx = (x; c)d; (b; a) 6= 0:

Для каких векторов a; b; c и d из H они подобны?

17.Пусть A; B 2 L(H) и A - обратимый оператор. Докажите, что операторы AB и BA подобны. Приведите пример необратимых операторов A и

B, для которых операторы AB и BA не подобны (рассмотрите матрицы

18. Оператор A 2 L(P2(R)) в базисе 1; t; t2 задан матрицей

0 1

0 0 1

@0 1 0 A:

1 0 0

Найдите матрицу этого оператора в базисе, составленном из многочленов

3t2; 5t2 + 3t; 7t2 + 5t + 3.

19. Пусть оператор A 2 L(R3) в стандартном базисе пространства R3 имеет

20.Докажите, что отношение изоморфизма в множестве всех конечномерных линейных пространств, рассматриваемых над одним и тем же полем, является отношением эквивалентности.

21.Докажите утверждения задач 12 - 14 и 17 для матриц.

22.Пусть матрицы A и B подобны: B = U 1AU: Однозначно ли определена матрица U ?

23.Докажите, что если A и B - подобные матрицы, то подобны матрицы

Ak и Bk; k 1:

24.Покажите, что матрица A 2 Matrn(K) переходит в подобную, если с ней выполняются следующие преобразования:

a)i - строка умножается на ненулевое число 2 K , а i - ый столбец умножается на число 1= ;

b)к i - ой строке прибавляется j - ая строка (строки и столбцы рассматриваются как элементы пространства Kn ), умноженная на число

2 K , а затем из j - го столбца вычитается i - ый, умноженный на ;

c)переставляются i - ая и j - ая строки и i - ый и j - ый столбец. В каждом случае найдите трансформирующую матрицу.

25.Покажите, что множество обратимых операторов (матриц) из L(X) (из

Matrn(K)) образует группу относительно операции умножения операторов (матриц).

27.Докажите, что каждая матрица A 2 Matrn(K) подобна своей транспонированной.

28.Найдите матрицу линейного оператора A : Kn ! Kn; Ax = (x (1); x (2); : : : ; x (n)); x = (x1; : : : ; xn) 2 Kn; 2 Sn в стандартном базисе пространства Kn .

29.Пусть A = (aij) - матрица оператора A 2 L(X) относительно базиса e1; : : : ; en из X и - некоторая перестановка из Sn: Пусть A - матрица оператора A в базисе e (1); : : : ; e (n): Укажите трансформирующую матрицу U такую, что A = U 1AU:

30.Пусть A; B 2 L(X): Докажите, что rangAB minfrangA; rangBg:

31.Докажите следствие 2.

33.Пусть B - коммутативная алгебра над полем K . Символом Matrn(B; K)

обозначим множество матриц размера n n с элементами из алгебры

B. Если A = (aij); B = (aij) 2 Matrn(B; K); то положим A + B = (aij +

n

P

лим формулой Cij = aikbkj; 1 i; j n: Докажите, что Matrn(B; K)

k=1

является алгеброй над полем K .

x 21: Полилинейные операторы и формы

В этом параграфе рассматривается специальный класс функций многих переменных, обладающих свойством линейности по каждой переменной. Полученные здесь результаты будут существенно использоваться в следующем параграфе при изложении теории определителей матриц.

Определение 1. Пусть X и Y - линейные пространства над полем K . Отображение f : Xn = X : : : X ! Y называется полилинейным оператором (при n = 2 - билинейным оператором), если оно является линейным оператором по каждой переменной, т.е. для каждого k(1 k n) и любых фиксированных n 1 векторов x01; : : : ; x0k 1; x0k+1; : : : ; x0n из X отображение fk : X ! Y; определенное формулой

fk(x) = f(x01; : : : ; x0k 1; x; x0k+1; : : : ; x0n) x 2 X;

является линейным оператором.

Если Y = K , то полилинейные операторы называются также полилинейными формами (функциями, функционалами).

Пример 1. Пусть H - вещественное линейное пространство со скалярным произведением ' : H H ! R: Из свойств скалярного произведения следует, что ' - билинейная форма.

Пример 2. Если A 2 L(H), то отображение 'A(x; y) = (Ax; y) является билинейной формой.

Пример 3. Пусть f : K2 K2 ! K - отображение, определенное формулой f(x; y) = x1y2 x2y1; где x = (x1; x2); y = (y1; y2) 2 K2: Легко проверяется, что f - билинейная форма.

Определение 2. Полилинейный оператор f : Xn ! Y называется

1) симметрическим, если значения f не меняются, когда мы переставим любые два аргумента (для первых двух аргументов это выглядит так: f(x1; x2; : : : ; xn) = f(x2; x1; : : : ; xn); (x1; x2; : : : ; xn) 2 Xn) и

2) антисимметрическим, если значения отображения f меняют знак, когда меняем местами любые два его аргумента (например, f(x1; x2; x3; : : : ; xn) = f(x2; x1; x3; : : : ; xn); 8x = (x1; : : : ; xn) 2 Xn):

Билинейная форма из примера 1 является симметрической, а билинейная форма из примера 3 - антисимметрической.

Для каждого отображения f : Xn ! Y и любой перестановки из группы перестановок Sn множества f1; : : : ; ng определим отображение f