Лекции по алгебре.Баскаков

Определение 6. Пусть M – подпространство из H . Вектор x 2 H

называется перпендикулярным (ортогональным) подпространству M (при этом используется обозначение x?M ), если x?m 8m 2 M: Совокупность всех векторов, перпендикулярных подпространству M , называется подпро-

странством (см. упражнение 7), ортогональным M и обозначается символом

M?.

Замечание 2. Если M – подпространство из H , то M TM? = f0g: Действительно, если x 2 M TM?; то (x; x) = 0; и поэтому x = 0:

Определение 7. Пусть M – подпространство из H . Вектор a 2 M называется ортогональной проекцией вектора x 2 H на M , если вектор x a перпендикулярен M (см.рис. 15).

Т е о р е м а 3. Пусть M – конечномерное подпространство из H и e1; ; en – ортонормированный базис в M . Тогда для любого вектора x 2 H вектор

является единственной ортогональной проекцией вектора x на M , причем имеет место равенство

Теорема доказана.

Следствие 1 (неравенство Бесселя). Если fe1; : : : ; eng – конечное ортонормированное множество из H; то для любого вектора x 2 H имеет

место неравенство Бесселя

n

X

k=1

(т.е. длина проекции вектора x не превосходит длины вектора x).

Следствие 2 (неравенство Шварца). Для любой пары векторов x; y 2 H имеет место неравенство Шварца

j(x; y)j jjxjj jjyjj:

Доказательство. Если y = 0, то доказываемое неравенство очевидно. Если y 6= 0; то, применяя к вектору x с использованием одноэлементного ортонормированного множества e1 = y=jjyjj; неравенство Бесселя (3), получим

j(x; e1)j2 = j(x; y=jjyjj)j2 jjxjj2;

откуда следует доказываемое неравенство.

Неравенство Шварца позволяет ввести понятие угла между двумя векторами x; y 2 H . А именно, угол 0 ' < определяется из равенства (при

K = R)

(x; y) cos ' = jjxjj jjyjj:

"Подсказкой"для такого определения служит пример 1.

Следствие 3 (неравенство Коши-Буняковского). Для любых двух наборов чисел x = (x1; : : : ; xn); y = (y1; : : : ; yn) 2 Kn имеет место неравенство

Доказательство. Используя неравенство Шварца получаем

kx + yk2 = (x + y; x = y) = kxk2 + (x; y) + (y; x) + kyk2 =

kxk2 + 2Re(x; y) + kyk2 kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2; x; y 2 H:

Следствие 5. Для любых комплексных чисел x1; : : : ; xn; y1; : : : ; yn имеет место неравенство

До сих пор нами не установлено существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. В следующей теореме указывается способ построения ортонормированного базиса, исходя из некоторого заданного базиса.

Т е о р е м а 4 (процесс ортогонализации Грама-Шмидта). Пусть f1; : : : ; fn – линейно независимые векторы из H . Тогда векторы e1; : : : ; en; определенные следующими равенствами

e1 = g1=jjg1jj; g1 = f1;

e2 = g2=jjg2jj; g2 = f2 (f2; e1)e1;

e3 = g3=jjg3jj; g3 = f3 (f3; e2)e2 (f3; e1)e1;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

en = gn=jjgnjj; gn = fn (fn; en 1)en 1 (fn; e1)e1;

образуют ортонормированное множество в H . В частности, e1; : : : ; en – ортонормированный базис в H , если H конечномерно и f1; : : : ; fn – базис в

H .

Доказательство. Каждый из построенных векторов gk; k = 1; : : : ; n ненулевой (это следует из линейной независимости векторов f1; : : : ; fn ) и поэтому jjgkjj 6= 0 8 k = 1; : : : ; n: По определению, jjekjj = 1 8 k = 1; : : : ; n причем непосредственно из теоремы 3, являющейся основой для определения векторов g1; g2; : : : ; gn; следует их взаимная ортогональность и, следовательно, взаимно ортогональны векторы e1; : : : ; en: Из следствия 2 теоремы 1 следует их линейная независимость и, следовательно, в силу следствия 2 теоремы 2 из x 2 они образуют базис в H , если dim H = n:

Отметим, что использование теоремы 3 осуществляется следующим образом. Берется одномерное подпространство M1 H с ортонормированным базисом fe1g. Тогда (f2; e1)e1 проекция вектора f2 на M1 и, следовательно, g2 = f2 (f2; e1)e1 перпендикулярен M1 . Затем рассматривается двумерное подпространство M2 c с ортонормированным базисом fe1; e2g и тогда вектор g3 = (f3; e2)e2 + (f3; e1)e1 – проекция вектора f3 на M2 и, следовательно,

торы g4; : : : ; gn: Теорема доказана.

Таким образом, в каждом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

члены Лежандра

Определение 8. Скажем, что пространство H является ортогональ-

L

ной прямой суммой своих подпространств H1 и H2 , если H = H1 H2 и x1?x2 8x1 2 H1; 8x2 2 H2:

Т е о р е м а 5. Пусть M – подпространство из евклидова пространства

H . Тогда H является ортогональной прямой суммой подпространств M и M?:

Доказательство. Пусть e1; : : : ; ek – ортонормированный базис в M . Тогда, согласно теореме 3, вектор x 2 M единственным образом представляется в виде x = x1 + x2 , где x1 2 M; x2 2 M? и x1 – проекция вектора x на

M .

Рассмотрим еще одно определение проекции вектора на подпространство, которое будет эквивалентно ранее введенному определению.

Определение 9. Вектор a из подпространства M линейного пространства H называется ортогональной проекцией вектора x 2 H на M , если для любого вектора m 2 M; m 6= a имеет место неравенство

jjx ajj < jjx mjj

(т.е. расстояние от вектора x до вектора a меньше расстояния от вектора x до любого отличного от a вектора m из M ).

Упражнения к § 17

2.Пусть z1; : : : ; zm – различные комплексные числа. Докажите, что в линейном пространстве Pn(C); где n < m формула

m

X

(f; g) = f(zk) g(zk); f; g 2 Pn(C)

k=1

задает скалярное произведение. Верно ли это утверждение для m n?

3.Какие из следующих отображений fi : C2 C2 ! C; i = 1; 2; 3; 4 задают скалярное произведение в C2 :

a) f1(x; y) = x1y2 + x2y2 ; b) f2(x; y) = x1y1 ;

c) f3(x; y) = x1y2 + x2y1 ; d) f4(x; y) = 5x1y1 + 3x2y2 ?

4.Докажите, что в пространстве H со скалярным произведением для любой пары векторов x; y 2 H имеет место тождество параллелограмма

kx + yk2 + kx yk2 = 2(kxk2 + kyk2):

образует ортонормированное множество в линейном пространстве C2 (см. пример 4).

6. Докажите, что функции

образуют ортонормированный базис в подпространстве Tn;2 из C2 (см. пример 4).

7.Пусть H - линейное пространство со скалярным произведением и M - подмножество из H . Докажите, что множество M? образует линейное

подпространство из H .

17.Найдите ортонормированный базис в ортогональном дополнении к следующим подпространствам из евклидова пространства R4 :

1)подпространству M , являющемуся линейной комбинацией векторов x = (1; 1; 1; 1); y = (1; 1; 1; 1);

2)подпространству M = f( ; ; ; ) : 2 Rg:

18.Найдите проекцию многочлена '(z) = z2 из P2(C) на подпространство

1

R

P1(C) ((x; y) = x(t) y(t)dt; x; y 2 P2(C)):

1

19. В евклидовом пространстве P2(R) (со скалярным произведением

1

R

(x; y) = x(t)y(t)dt найдите ортонормированный базис.

0

20.Найдите расстояние от вектора a = (1; 1; 1) 2 R3 до подпространства

M = fx = (x1; x2; x3) 2 R3 : x1 + x2 + x3 = 0g:

21.Углом между вектором x 2 H и подпространством M из H называется точная нижняя грань значений угла, который образует вектор x с ненулевыми векторами из M .

Докажите, что угол между вектором x 2 H и конечномерным подпространством M H равен углу между вектором x и его проекцией на M .

22.Докажите, что углы, которые вектор x 2 H образует с произвольным подпространством M из H и его ортогональным дополнением, в сумме равны =2:

23.Найдите угол между вектором x = ( 3; 15; 1; 5) 2 R4 и подпространством M , являющимся линейной оболочкой векторов

26. В пространстве многочленов P(R) со скалярным произведением (f; g) =

1

=f(x)g(x)dx найти расстояние от многочлена xn до подпространстваR

1

Pn 1(R):

27. Докажите, что на линейном пространстве матриц Matrm;n(K) формула

x 18. Пространство линейных операторов

В этом параграфе мы вводим и начинаем изучение гомоморфизмов линейных пространств, называемых линейными операторами (понятие гомоморфизмов других алгебраических объектов рассматривалось в x 7).

Определение 1. Пусть X и Y – два линейных пространства, рассматриваемых над одним и тем же полем K . Отображение A : X ! Y называется линейным оператором, если выполнены следующие два условия:

1)A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) (свойство аддитивности);

2)A( x) = A(x) (свойство однородности)

для любых x; x1; x2 2 X и 2 K:

Ясно, что линейность отображения A : X ! Y эквивалентна выполнению условия A( x1 + x2) = A(x1) + A(x2) 8 ; 2 K 8x1; x2 2 X .

Значение линейного оператора A на каждом векторе x обозначается, как правило, символом Ax (вместо A(x)). Множество линейных операторов, определенных на X со значениями в Y , обозначается символом L(X; Y ). Полагается L(X) = L(X; Y ) для X = Y . Отображение f : X ! X вида f(x) = Ax + b; где A 2 L(X) и b 2 X; назовем аффинным преобразованием.

Замечание 1. Свойство аддитивности линейного оператора A означает, что он является гомоморфизмом абелевых групп X и Y .

Замечание 2. Из свойства однородности следует, что A0 = A(0 0) = 0A(0) = 0; т.е. нулевой вектор пространства X переходит в нулевой вектор пространства Y .

Замечание 3. Требование, чтобы линейные пространства X и Y рассматривались над одним полем K , связано с корректностью формулировки свойства однородности.

Определение 2. Линейный оператор A : X ! Y называется линейным функционалом, если Y = K; где K – поле, над которым рассматривается пространство X . Функционал называется вещественным, если K = R и –

комплексным, если K = C:

116 Глава 3. Линейная алгебра

Множество линейных функционалов L(X; K) обозначается символом

X и называется сопряженным к X пространством.

Рассмотрим несколько примеров линейных операторов (функционалов). Пример 1. Пусть X = Y = Pn(K) (либо X = Y = Tn;w ). Рассмотрим

отображение D : X ! X; определенное формулой

D' = '0;

называемое оператором дифференцирования. Свойства аддитивности и однородности следуют из обычных свойств производной.

Пример 2. Пусть X = Y = C[a; b]: Отображение J : C[a; b] ! C[a; b];

определенное формулой

является линейным оператором; он называется оператором интегрирования. Его линейность обеспечивается известными свойствами интеграла.

Пример 3. Пусть X = Pn(K) (или X = C[a; b]). Отображение ' : X ! K; определенное формулой

b

Z

'(x) = x(s)ds; x 2 X;

a

является линейным функционалом.

Пример 4. Пусть H – пространство со скалярным произведением над полем K и a – некоторый вектор из H . Тогда из свойств скалярного произведения следует, что отображение ' : H ! K; определенное формулой

'(x) = (x; a); x 2 H;

является линейным функционалом.

Вчастности, для любого вектора a = ( 1; : : : ; n) 2 Cn (см. пример 2 из x 4) отображение ' : X ! K; определенное формулой

n

X

'(x) = (x; a) = ixi; x = (x1; : : : ; xn) 2 Kn;

i=1

является линейным функционалом. Позже мы убедимся (следствие 2 теоремы 1), что любой линейный функционал ' : Cn ! C имеет именно такой вид.

Пример 5. Пусть M – конечномерное подпространство из пространства со скалярным произведением H . Тогда отображение P = PM : H ! H;