Лекции по алгебре.Баскаков

Следствие 4. Если A 2 L(X) имеет спектральное разложение вида

(1), то для любого многочлена f 2 P(C) оператор f(A) имеет спектраль-

m

P

ное разложение вида f(A) = f( i)Pi + Q1 (Q - нильпотентный оператор,

i=1

перестановочный с Pi; 1 i m).

Доказательство. Поскольку

MM

f(A) = f( 1I1 + Q1) f( mIm + Qm) =

MM

гдеmQ01; : : : ; Q01 - нильпотентные операторы (см. теорему 2 из § 32), то f(A) =

= P f( i)Pi + Q0; Q - нильпотентный оператор из L(X); перестановочный

i=1

со всеми проекторами Pi; 1 i m: Следствие доказано.

Из полученного представления (1), из следствия 1 теоремы 1, § 32 и теоремы 6 из § 28 получаем, что имеет место

Теорема 5 (теорема об отображении спектра). Для любых

A 2 L(X) и f 2 P(C) имеет место равенство

(f(A)) = f( (A)) = ff( ) : 2 (A)g:

Доказательство. Пусть (A) = f 1; : : : ; mg: Согласно теореме 1 из x

31 оператор A есть прямая сумма операторов: A = ( 1I1 +Q1) ( mIm +

Qm); где Q1; : : : ; Qm - нильпотентные операторы. Тогда f(A) = f( 1I1+Q1)

f( mIm + Qm) = (f( 1)I1 + B1) (f( m)Im + Bm); где B1; : : : ; Bm - нильпотентные операторы (см. теорему 2 из x 32). Из полученного равенства, из следствия 1 теоремы 1 (§ 32) и теоремы 6 из x 28 получаем доказываемое равенство. Теорема доказана.

2.Пусть D : Pn(C) ! Pn(C) - оператор дифференцирования. Чему равна высота каждого многочлена из Pn(C)?

3.Найдите жорданову форму матриц а) - в) из упражнения 1.

4.Являются ли подобными следующие матрицы A; B

5.Найдите жорданову матрицу для оператора A : Pn(C) ! Pn(C); определенного равенством (A')(z) = '(z + a) '(z); ' 2 Pn(C); a 2 C:

6.Пусть A 2 Matrn(C) - жорданова матрица. Найдите жорданову форму матрицы A2:

7.Найдите жорданову форму матрицы A 2 Matrn(C) вида

8.Докажите, что если A - жорданова матрица оператора A, то число жордановых блоков, отвечающих собственному значению 0 равно числу dim Ker(A 0I) = def(A 0I); т.е. геометрической кратности собственного значения 0:

9. Пусть 1; : : : ; m - различные комплексные числа и n - натуральное чис-

ло. Рассмотрим линейное пространство X функций ' : R ! C вида

m

X

'(t) = pk(t)e kt; pk 2 Pn(C):

k=1

Найдите жорданову матрицу оператора дифференцирования

D : X ! X; D' = '0; ' 2 X: Найдите его спектральное разложение.

10. Найдите матрицу An (n - натуральное число), если

11.Докажите, что оператор A 2 L(X) со спектром (A) = f 1; : : : ; mg

является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда

имеет место равенство

m

X

dim X = dim E( i; A);

i=1

т.е. когда геометрическая и алгебраическая кратность всех собственных значений совпадают.

12.Докажите, что оператор A 2 L(X) со спектром (A) = f 1; : : : ; mg является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда имеют

T

место следующие равенства E( i; A) Im(A iI) = f0g; i = 1; : : : ; m:

x 34. Ряды в линейном нормированном пространстве. Функции от операторов

В x 29 рассматривались многочлены от операторов. Здесь мы рассматриваем более широкий класс функций от операторов. Построение этого класса функций осуществляется с помощью функциональных рядов.

Определение 1. Пусть X - линейное нормированное пространство и

(xn) = (x1; x2; : : : ) - последовательность элементов из X . Рядом, составленным из элементов последовательности (xn); называется последовательность

(sn) частичных сумм: s1 = x1; s2 = x1 + x2; : : : ; sn = x1 + x2 + + xn; : : : :

Доказательство. В силу полноты пространства X достаточно доказать

фундаментальность последовательности частичных сумм (sn); sn = x1+ + xn: Из следующего неравенства (считается n > m)

следует, что jjsn smjj ! 0 при n; m ! 1: Теорема доказана.

В следующем определении вводится класс функций, непосредственно

расширяющий класс многочленов P(C):

Определение 3. Функция f : C ! C называется целой, если для любого числа z0 2 C она допускает представление в виде суммы сходящегося

для любого z 2 C ряда вида

где последовательность (fk) комплексных чисел обладает свойством: для лю-

бого " > 0 существует число C(") > 0 такое, что

Ясно, что каждый многочлен f 2 P(C) является целой функцией. По своим свойствам целые функции обладают рядом свойств многочленов. Изучение теории целых функций осуществляется в курсе теории функций комплексного переменного. Нам придется воспользоваться некоторыми результатами этого курса (не затрудняя себя доказательствами).

Во-первых, отметим, что определенная нами функция f(z) = ez (см. x 8) является целой и можно показать, что она допускает представление в виде сходящегося ряда

Непосредственно из определения 3 следует, что если число z0 2 C явля-

ется корнем целой функции f; т.е. если f(z0) = 0; то f0 = 0 (см. формулу (1)) и, следовательно, функция g(z) = f(z)=(z z0) также является целой функцией.

Из представления целой функции f в виде ряда (1) следует, что функция

f имеет производные любого порядка и fk = f(k)(z0); k = 1; 2; : : : :

k!

Скажем, что корень z0 2 C целой функции f есть корень кратности k, если f0(z0) = f00(z0) = = f(k 1)(z0) = 0 и f(k)(z0) 6= 0: Это означает, что функция gk(z) = f(z)=(z z0)k является целой функцией (будем также говорить, что f делится на многочлен f0(z) = (z z0)k); причем gk(z0) 6= 0:

Множество целых функций F образует алгебру с обычными операциями

следует, что если f - целая функция и p - многочлен, причем каждый корень

z0 многочлена p является корнем функции f не меньшей кратности, чем кратность многочлена p; то f=p - целая функция.

Пусть X - конечномерное комплексное линейное нормированное про-

странство и A - линейный оператор из нормированной алгебры L(X) (см. x

1

логарифмом оператора B (матрицы B) и обозначается символом `nB(`nB):

Для практического вычисления целой функции от оператора полезно пользоваться следующим результатом.

Т е о р е м а 3. Пусть A 2 L(X) - оператор со спектром f 1; : : : ;mg; p - минимальный аннулирующий многочлен оператора A и k1; : : : ; km -

Доказательство. Из теоремы 3 следует существование многочлена ' 2 P(C) такого, что '( ) = e 8 2 (A) и eA = '(A): Отсюда и из теоремы 4 x 35 следует, что (eA) = ('(A)) = '( (A)) = e (A): Теорема доказана.

В следующих замечаниях рассматривается вопрос определения функций от операторов для других классов функций.

Замечание 1. Пусть A - оператор простой структуры со спектром

m

P

(A) = f 1; : : : ; mg и A = kPk - его спектральное представление. Для

k=1

любой функции f : D ! C (не обязательно непрерывной), определенной на некотором подмножестве D C; содержащем (A); положим

m

X

f(A) = f( k)Pk:

k=1

Если f - целая функция, то оба определения функции от оператора совпадают.

Замечание 2. Пусть A - оператор из L(X) со спектром (A) = f 1; : : : ; mg = и F - алгебра функций вида ' = f=g; где f; g 2 P(C); причем числа 1; : : : ; m; не являются корнями многочлена g: Тогда из теоремы об отображении спектра (см. x 33, теорема 4) получаем, что оператор g(A)

обратим. Положим '(A) = (f=g)(A) = f(A)g(A) 1: Легко видеть, что отображение ' 7 !'(A) из алгебры F в алгебру L(X) является гомоморфизм алгебр.

Замечание 3. Пусть A 2 L(X) и k 2 - натуральное число. Корнем k - ой степени из оператора A называется такой оператор B 2 L(X); что

Bk = A; оператор B обозначается символом A1=k: Если A - оператор простой структуры из замечания 1, то легко видеть, что любой корень A1=k из оператора A; являющийся оператором простой структуры, имеет вид

m

A1=k = X 1j=kPj; j=1

где 1j=k - один из корней k - ой степени из комплексного числа j . Ясно, что оператор A1=k; вообще говоря, определяется неоднозначно.

Замечание 4. Для целых функций от матриц имеют место полные аналоги теорем 2 - 5, если алгебра матриц является нормированной алгеброй.

Упражнения к § 34

1. Докажите абсолютную сходимость рядов в пространстве C[0; 2 ] :

P

n 1

линейного нормированного пространства X ), то любая его перестановка

сходится и оба ряда имеют одинаковую сумму.

3.Докажите, что если A и B - перестановочные операторы из L(X); то операторы eA; eB перестановочны.

4.Найдите eP ; где P - проектор из L(X):

5.Найдите eA; если A - матрица из Matr2(C) имеет вид

6.Докажите, что для оператора A 2 L(X) следующие условия эквивалентны: 1) A - оператор простой структуры и его собственные значения

вещественны; 2) sup jjeiAtjj < 1:

t2R