Лекции по алгебре.Баскаков

m = n) над полем K . Суммой двух матриц (aij); (bij) 2 Matrm;n(K) называется матрица (aij + bij); а произведением числа 2 K на матрицу (aij)

называется матрица ( aij): Нулевым вектором этого пространства является матрица, состоящая только из нулевых чисел; она называется нулевой.

Непосредственно из определения линейных пространств Matrm;n(K) и Kn следует, что Matr1;n(K) = Kn . Можно также считать, что Matrn;1(K) совпадает с Kn:

Замечание 1. Каждое комплексное линейное пространство можно рассматривать как вещественное линейное пространство.

В следующих определениях вводится ряд понятий, играющих важную роль при изучении линейных пространств.

Определение 2. Пусть X – линейное пространство над полем K . Векторы e1; e2; : : : ; en из X называются линейно зависимыми, если существуют числа 1; 2; : : : ; n из K , не равные нулю одновременно, такие, что имеет

Векторы e1; e2; : : : ; en; не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми, т.е. если равенство (1) возможно лишь в случае

1 = 2 = : : : ; = n = 0:

Например, функции f1(x) = sin x и f2(x) = 2 sin x; принадлежащие пространству C2 ; линейно зависимы, так как

2f1 + ( 1)f2 = 0 2 C2 :

В линейном пространстве свободных векторов (физического пространства) любые три некомпланарных вектора линейно независимы. Линейно независимыми будут функции '1(t) = sin t; '2(t) = cos t из C2 ; так как из равенства

sin t + cos t = 0 8t 2 R

следует, что = = 0 (например, при t = 0 получаем, что = 0): Определение 3. Вектор x из линейного пространства X называется

линейной комбинацией векторов x1; x2; : : : ; xn из X , если он представим в виде

x = 1x1 + 2x2 + + nxn;

где 1; : : : ; n 2 K:

Пример 7. Пусть X - линейное пространство над полем K и x1; x2; : : : ; xn - некоторые векторы из X . Совокупность векторов вида

n

X

ixi; i 2 K

i=1

88 Глава 3. Линейная алгебра

называется линейной оболочкой векторов x1; : : : ; xn; образует линейное пространство и обозначается символом L(x1; x2; : : : ; xn):

Т е о р е м а 1. Векторы x1; : : : ; xk из линейного пространства X линейно зависимы в том и только в том случае, если один из них является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Если один из векторов, скажем x1; является линейной комбинацией остальных, то имеет место равенство x1 2x2 3x3

арными, если они линейно зависимы, т.е. если x = y; 2 K либо если y = x; 2 K:

Определение 4. Линейное пространство X называется конечномерным, если существуют линейно независимые векторы e1; : : : ; en 2 X такие, что любой вектор изX является их линейной комбинацией. Такой упорядоченный набор векторов e1; : : : ; en называется базисом пространства X , число n – размерностью пространства (и обозначается символом dim X ).

Числа 1; : : : ; n; определяемые из разложения x = 1e1 + + nen; называются координатами вектора x (относительно базиса e1; : : : ; en ).

Отметим, что размерность нулевого пространства (т.е. линейного пространства, состоящего только из нулевого элемента) считается равной нулю. В следующей теореме обосновывается корректность определения размерности линейного пространства.

Т е о р е м а 2. Если e1; : : : ; en; – базис в линейном пространстве X и e01; : : : ; e0m – линейно независимые векторы в X , то m n:

Доказательство. Допустим, что n < m: Тогда векторы e01; : : : ; e0m можно представить в виде

n

e0k = X aikei; k = 1; : : : ; m:

i=1

Следовательно, для любых чисел x1; : : : ; xm из поля K имеют место равен-

ства

Из линейной независимости векторов e1; : : : ; en следует, что условие

Из теоремы 2 (§ 13) получаем, что однородная система уравнений (3) имеет ненулевое решение, ибо число уравнений n меньше числа m неизвестных. Однако это противоречит линейной независимости векторов e01; : : : ; e0m: Теорема доказана.

Непосредственно из доказательства теоремы 2 получаем

Следствие 1. Пусть e1; : : : ; en и e01; : : : ; e0m – два базиса в линейном пространстве X . Тогда m = n.

Следствие 2. Если e1; : : : ; en – базис в линейном пространстве X , то любые n линейно независимых векторов e01; : : : ; e0n также образуют базис в

X .

Следствие 3. Пусть e1; : : : ; en – базис в линейном пространстве X и векторы e01; : : : ; e0m – допускают представления вида

n

e0k = X aikei; k = 1; : : : ; m:

i=1

Тогда векторы e01; : : : ; e0m линейно независимы тогда и только тогда, когда система уравнений вида

m

X

aikxk = 0; i = 1; : : : ; n

k=1

имеет только нулевое решение.

Определение 5. Линейное пространство X называется бесконечномерным, если для любого натурального числа n в X существует n линейно независимых векторов.

Рассмотрим несколько примеров линейных пространств и базисов в них, выясним их размерность.

образуют базис в линейном пространстве Kn . Таким образом, Kn (K – поле) является конечномерным пространством и dim Kn = n:

Пример 2. Многочлены

f0(z) = 1; f1(z) = z; : : : ; fn(z) = zn; z 2 K

образуют базис в линейном пространстве Pn(K); где K = R или K = C. Линейная независимость следует из основной теоремы высшей алгебры. Поэтому Pn(K) – конечномерное пространство и dim Pn(K) = n + 1:

Пример 3. Пространства P(R) и P(C) бесконечномерны, так как этим пространствам принадлежат многочлены fk; 0 k n 1 из примера 2 для любого натурального числа n.

Пример 4. Линейное пространство C[a; b] бесконечномерно, так как функции f0(t) = 1; f1(t) = t; : : : ; fn(t) = tn принадлежат C[a; b] и линейно независимы при любом n 2 N:

Пример 5. В линейном пространстве Matrm;n(K) базисом являются матрицы Eij; 1 i m; 1 j n; где Eij – матрица, на пересечении i – ой строки и j – го столбца которой стоит единица, а остальные ее элементы нулевые. Действительно, каждая матрица A = (aij) 2 Matrm;n(K) может

P

быть представлена в виде A = aijEij: Итак, dim Matrm;n(K) = mn:

1 i m

1 j n

Замечание 2. Каждое линейное пространство Kn можно рассматривать как линейное пространство функций f : In = f1; : : : ; ng ! K с операцией сложения функций и умножения их на числа из K ((f + g)(k) = f(k) +

1.Пусть X – линейное пространство. Докажите, что выполнены равенства:

1)0 x = 0; 2) x = ( 1)x 8x 2 X:

2.Докажите, что если к линейно зависимым векторам x; y; : : : ; z добавить произвольные векторы u; : : : ; v; то все эти векторы будут линейно зависимы.

3. Докажите, что для любого комплексного числа a многочлены

f0(z) = 1; f1(z) = z a; : : : ; fn(z) = (z a)n

образуют базис в линейном пространстве Pn(C):

4.Рассмотрите линейное пространство Cn над полем R и докажите, что его размерность равна 2n:

5.Докажите, что в пространстве Pn многочлены разной степени линейно независимы.

6.Систему многочленов '1(z) = z5 + z4; '2(z) = z5 3z3; '3(z) = z5 + 2z2; '4(z) = z5 z дополните до базиса пространства P5(C):

7.Пусть e1; : : : ; en – базис в линейном пространстве X . Докажите, что

образуют базис в линейном пространстве Matr2(R):

9. Пусть a1; : : : ; an – попарно различные элементы из поля C: Положим

гочлены образуют базис в Pn 1(C) и координаты каждого многочлена

f2 Pn 1(C) в этом базисе есть числа f(a1); : : : ; f(an):

10.Каким условиям должно удовлетворять число 2 R; чтобы векторы ( ; 1; 0); (1; ; 1); (0; 1; ) из R3 были линейно независимы?

11.Пусть X – линейное пространство размерности n и e1; : : : ; en – векторы из X такие, что каждый вектор из X является их линейной комбинацией. Докажите, что эти векторы образуют бизис в X .

x 15. Линейные подпространства. Прямые суммы подпространств, произведение пространств, фактор-пространства

Определение 1. Подмножество M из линейного пространства над полем K называется линейным подпространством (или, короче, подпространством), если x + y 2 M; x 2 M для любых x; y 2 M и 2 K:

Непосредственно из определения следует, что каждое подпространство является самостоятельным линейным пространством (нулевым элементом является нуль исходного пространства). Самыми простыми подпространствами

92 Глава 3. Линейная алгебра

являются нулевое подпространство f0g и все пространство X . Эти подпространства называют тривиальными.

Рассмотрим несколько примеров подпространств. Пример 1. Pn(K) – подпространство из P(K).

Пример 2. Пусть x1; : : : ; xn – элементы из линейного пространства X . Тогда линейная оболочка Xn = L(x1; : : : ; xn) этих векторов образует линейное подпространство из X . Если элементы x1; : : : ; xn линейно независимы, то ясно, что dim Xn = n (докажите !).

Пример 3. Рассмотрим линейное пространство Cw w – периодических комплекснозначных функций. Функции

'k(t) = ei2wk t = cos 2wkt + i sin 2wkt; t 2 R; n k n; n 2 N

принадлежат пространству Cw и поэтому множество Tn;w функций вида (называемыx тригонометрическими многочленами или полиномами)

n

X k ei2wk t; k 2 C; n k n

k= n

образует линейное подпространство из Cw . Функции 'k; n k n линейно независимы. Это следует из равенств 'k(t) = ('1(t))k; k 1 и основной

P k zk+n = 0 для любого z 2 C с jzj = 1. Однако это возможно только

k= n

в случае, когда k = 0; n k n: Таким образом, dim Tn;w = 2n + 1: Отсюда, в частности, следует бесконечномерность пространства Cw .

Определение 2. Скажем, что линейное пространство X является прямой суммой своих подпространств X1 и X2 , если каждый вектор x из X можно единственным образом представить в виде x = x1 + x2; где x1 2 X1 и

L

x2 2 X2: В этом случае используется обозначение X = X1 X2 .

Т е о р е м а 1. Конечномерное линейное пространство X является прямой суммой своих подпространств X1 и X2 тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

\

1) X1 X2 = f0g; 2) dimX = dimX1 + dimX2:

Для доказательства выполнения условия 2) теоремы рассмотрим базис e1; : : : ; em в X , и некоторый базис f1; : : : ; fk в X2 (так что m = dim X1; k = dim X2): Ясно, что достаточно показать, что их объединение e1; : : : ; em; f1; : : : ; fk является базисом в X . Из равенства нулю линейной комбинации

mk

PP

1 = : : : m = 1 = = k = 0: Таким образом, векторы e1; : : : ; em; f1; : : : ; fk

mk

Достаточность. Пусть выполнены условия 1) и 2) теоремы. Допустим,

что для некоторого вектора x 2 X допустимы два представления x = x1 +

x2; x = x01 + x02; где x1; x01 2 X1 и x2; x02 2 X2: Вычитая одно равенство из другого, получаем 0 = (x1 x01) + (x2 x02) или X1 3 x01 x1 = x2 x02 2 X2 .

Отсюда следует, что x01 = x1; x02 = x2:

Выбирая в X1 и X2 какие-нибудь базисы e1; : : : ; em (m = dim X1) f1; : : : ; fk (k = dim X2) соответственно, из проведенных при доказательстве необходимости рассуждений получаем, что объединение этих базисов состоит из линейно независимых векторов. Поскольку их число k + m = dim X1 + dim X2 равно размерности dim X пространства X , то в силу следствия 2 тео-

Т е о р е м а 2. Пусть M – подпространство из конечномерного линейного пространства X . Тогда существует подпространство N из X такое, что X = M N:

Доказательство. Пусть e1; : : : ; em – базис в M . Если m < dim X , то существует вектор em+1 такой, что e1; : : : ; em; em+1 – линейно независи-

мые векторы. Если m + 1 < n; то существует вектор em+2 такой, что векторы e1; : : : ; em; em+1; em+2 линейно независимы. Продолжая таким образом, мы построим базис e1; : : : ; em; em+1; : : : ; en; где n = dim X; в X . В качестве

подпространства N возьмем линейную оболочку векторов em+1; : : : ; en; т.е.

n

P

векторы вида jej; j 2 K: Ясно, что x = M N: Теорема доказана.

j=m+1

Следствие 1. Размерность любого подпространства не превосходит размерности всего пространства.

Следствие 2. Любой линейно независимый набор векторов из линейного конечномерного пространства можно дополнить до базиса во всем пространстве.

Замечание 1. Аналогичным образом (см. определение 2) дается определение прямой суммы X = X1 X2 Xm подпространств X1;

X2; : : : ; Xm из заданного линейного пространства X и формулируется соответствующее теореме 2 утверждение.

Определение 3. Пусть Xk; 1 k m – совокупность линейных пространств, рассматриваемых над одним и тем же полем K . Их произведение X = X1 Xm является линейным пространством, если для любой пары элементов x = (x1; : : : ; xm); y = (y1; : : : ; ym) из X и любого числа 2 K положить

x + y = (x1 + y1; : : : ; xm + ym); x = ( x1; : : : ; xm):

Так введенные алгебраические операции позволяют рассматривать X в качестве линейного пространства (нулевым элементом этого пространства является набор 0 = (01; 02; : : : ; 0m); где 0k – нуль в Xk .

Если X1 = = Xm = K; то X = X1 Xm совпадает с введенным нами ранее линейным пространством Km (см. пример 1 из x 2).

Пусть M – подпространство из линейного пространства X . Введем на X отношение эквивалентности R, считая x y; где x; y 2 X; если x y 2 M: В полученном фактор-множестве X=R обозначаемом в дальнейшем X=M; введем две алгебраические операции с помощью следующих равенств

где символ x~ обозначает класс эквивалентности, содержащий элемент x из X . Легко видеть (см. лемму 2 из x 5), что x~ = x + M = fx + y : y 2 Mg: Поэтому x~ + y~ = x + y + M 8x; y 2 X и x~ = x + M: Нулевым элементом

~

из линейного пространства X=M является класс 0, т.е. подпространство M . Определение 4. Линейное пространство X=M называется фактор-пространством (линейного пространства X по подпространству M )

Т е о р е м а 3. Пусть M – подпространство из конечномерного линейного пространства X . Тогда dim X=M = dim X dim M:

Доказательство. Пусть e1; : : : ; en – некоторый базис в M и f1; : : : ; fk

– векторы из X такие, что e1; : : : ; em; f1; : : : ; fk – базис в X (см. доказательство теоремы 2 и следствия 2 теоремы 2). Покажем, что классы эквивалентности f~1 = f1 + M; : : : ; f~k = fk + M образуют базис в X=M и, следовательно, будет установлено доказываемое равенство (ибо dim X = m + k = dim M + dim X=M): Вначале установим их линейную независимость.

PP

f1; : : : ; fk следует, что 1 = 2 = = k = 1 = = m:

Пусть x~ – произвольный класс эквивалентности из X=M: Вектор x 2 X

Теорема доказана.

Если M – подпространство из линейного пространства X , то число dimX dimM называют коразмерностью подпространства M и обозначают CodimM:

f' 2 C[a; b] : '(a) = 0g; f' 2 C[a; b] : '(a) = '(b)g

образуют линейные подпространства из C[a; b]:

3.Какие из следующих подмножеств линейного пространства C[a; b] являются линейными подпространствами

ff 2 C[a; b] : f(a) + f(b) = 0g; ff 2 C[a; b] : f(a) = 1g;

4.Докажите, что подмножество ff 2 Pn : f0 = 0g является линейным подпространством из Pn .