Лекции по алгебре.Баскаков

Пусть утверждение теоремы имеет место для k собственных векторов e1; : : : ; ek (Aej = jej; j = 1; : : : ; k): Присоединим к ним собственный вектор

ek+1 (Aek+1 = k+1ek+1) и допустим, что имеет место равенство

для некоторых 1; : : : ; k+1 2 K: Применяя к обеим частям этого равенства оператор A k+1I; получим следующие равенства

нейно независимы, по предположению индукции, получаем: 1 = 2 = = = k = 0: Тогда из равенства (5) (учитывая условие ek+1 6= 0) следует равенство нулю числа k+1: Теорема доказана.

Непосредственно из теоремы 4 вытекает следующая теорема, в которой получено достаточное условие для того, чтобы оператор имел простую структуру.

Т е о р е м а 5. Если характеристический многочлен оператора

A 2 L(X) имеет n различных корней, где n = dim X (т.е. собственные значения оператора A просты), то A - оператор простой структуры.

Замечание 7. Все введенные в этом параграфе понятия: оператор простой структуры, собственное значение, собственный вектор, нильпотентный оператор, спектр оператора, характеристический многочлен относились к линейным операторам. Однако все эти понятия можно ввести также для матриц из алгебры Matrn(K).

Если A = (aij) 2 Matrn(K); то рассмотрим оператор A 2 L(Kn), который задается матрицей A (см. формулу (2) из x 18). Каждое из упомянутых понятий вводится для матрицы A следующим образом.

Матрица A называется матрицей простой структуры, если оператор

A является оператором простой структуры; число 0 2 K называется соб-

188 Глава 3. Линейная алгебра

ственным значением матрицы A, если 0 - собственное значение оператора

A; матрица A называется нильпотентной, если A - нильпотентный оператор. Cпектр матрицы A; обозначаемый (A); совпадает с (A); характеристический многочлен pA; матрицы A есть многочлен вида pA( ) = det(A

E):

Несмотря на удобства так вводимых для матриц понятий (позволяющих применять полученные для операторов результаты), желательно некоторое внутреннее определение (без использования ассоциированного с данной матрицей оператора). Так, матрица A является матрицей простой структуры, если она подобна диагональной; собственные значения матрицы совпадают с корнями ее характеристического многочлена pA; ненулевая матрица A нильпотентна, если существует такое натуральное число m, что Am = 0 (см.

упражнение 14).

Определение 9. Для заданного многочлена p(z) = zn +an 1zn 1 + +

называется сопровождающей. Её характеристический многочлен будет совпадать с многочленом p (докажите !).

Упражнения к § 26

1. Найдите спектр следующих линейных операторов Ai : K2 ! K2; i = 1; 2; 3; 4; определенных равенствами

A1x = (x1 + x2; x1 + x2); A2x = (x1 + x2; x2); A3x = (x2; 0); A4x = (x1 + x2; x1 x2); x = (x1; x2) 2 K2:

Рассмотрите случаи K = R и K = C. Какие из этих операторов являются операторами простой структуры, какие нильпотентны?

2. Найдите спектры следующих матриц из Matrn(C) :

Какие из этих матриц нильпотентны и какие из них подобны диагональ-

ной матрице ?

3.Пусть A - обратимый оператор из L(X) и (A) = f 1; : : : ; mg: Докажите, что (A 1) = f1= 1; : : : ; 1= mg и что собственные векторы операторов A и A 1 совпадают.

4.Какие из следующих линейных операторов Ai : C2 ! C2; i = 1; 2; 3; 4

имеют простые собственные значения:

A1x = (x1 x2; 2x1 + 4x2); A2x = (x1; 2x1 + x2); A3x = (3x1; 2x2);

A4x = (cos x1 + sin x2 sin x1 + cos x2)?

Найдите собственные подпространства этих операторов.

5.Докажите, что спектр каждой матрицы A 2 Matrn(K) совпадает со спектром транспонированной к ней матрицы At:

6.Найдите спектр и собственные векторы следующих линейных операторов Ai : Pn(C) ! Pn(C); i = 1; 2; 3; 4; где

(A1')(z) = z'0(z); (A2')(z) = '(z + a) '(z); a 2 C;

(A3')(z) = z2'00(z); (A4')(z) = 2'00(z) '0(z) + '(z):

Какие из них нильпотентны и какие являются операторами простой структуры?

7.Найдите собственные значения и собственные векторы (функции) оператора дифференцирования D : Tn;w ! Tn;w: Будет ли он оператором простой структуры?

8.Пусть (A) = f 1; : : : ; mg - спектр оператора A 2 L(X) и 2 K:

Докажите, что спектр оператора A + I есть множество вида f 1 +

; : : : ; m + g:

9.Докажите, что подобные операторы и матрицы имеют одинаковые спектры и одинаковую алгебраическую кратность собственных значений.

10.Пусть A и B - подобные операторы из L(X), причем A = U 1BU; где

U - обратимый оператор из L(X): Докажите, что если x0 - собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению 0 2 (A); то вектор Ux0 - собственный вектор оператора B, отвечающий тому же собственному значению 0 2 (A)(= (B)):

11.Пусть A и B - подобные операторы. Докажите, что если один из них является оператором простой структуры, то таким является и второй оператор.

12.Пусть B - обратимый оператор из L(X). Докажите, что для любого оператора A 2 L(X) операторы AB и BA имеют одинаковый спектр. Верно ли это утверждение для любых операторов A; B ?

13.Пусть A 2 L(X) и A 2 Matrn(K) - его матрица. Докажите, что оператор A нильпотентен тогда и только тогда, когда нильпотентна матрица

A: Кроме того, они имеют одинаковые индексы нильпотентности.

14.Пусть X - вещественное пространство нечетной размерности. Докажите непустоту его спектра (A) ( R):

15.Найдите спектр и собственные векторы оператора A : H ! H; определенного на евклидовом пространстве формулой Ax = (x; a)b; где

16.Пусть A 2 L(X) и 0 2 (A): Чему равна размерность собственного подпространства E( 0; A); если rang(A 0I) = r?

17.Какой вид имеет матрица линейного оператора, если первые k базисных векторов являются его собственными векторами?

18.Докажите, что характеристический многочлен и след оператора не зависят от выбора матрицы оператора.

19.Пусть матрица (aij) 2 Matrn(K) оператора A 2 L(X) верхнетреугольная (нижнетреугольная). Найдите его собственные значения.

20.Пусть k - натуральное число и (A) = f 1; : : : ; mg - спектр оператора

A 2 L(X): Докажите, что числа k1; : : : ; km входят в спектр оператора

Ak:

21.Найдите спектр и собственные векторы оператора A 2 L(X); удовлетворяющего условию A2 = I:

22. Докажите, что размерность каждого собственного подпространства

E( 0; A); отвечающего ненулевому собственному значению 0 оператора

A2 L(X), не превосходит его ранга.

23.Рассмотрим отображение tr : L(X) ! K; где tr A - след оператора

A2 L(X): Докажите, что tr - линейный функционал и tr AB = tr BA

Q : Pn(K) ! Pn(K); определенное равенством r = Q(f) - остаток от деления многочлена f на g (f = gq + r; degr r < m): Докажите, что

Q - линейный оператор, удовлетворяющий условию Q2 = Q: Найдите

собственные значения и собственные векторы этого оператора.

25.Пусть : Matrn(K) ! Matrn(K) - отображение транспонирования матриц, т.е. (A) = At: Найдите собственные значения и собственные векторы оператора .

26.Пусть A 2 L(E); где E - конечномерное линейное пространство. Рассмотрим отображение (X) = AX; : L(E) ! L(E): Докажите, что оно является линейным оператором. Найдите его спектр.

27.Пусть Y - обратимый оператор из L(E): Докажите, что отображение

(X) = Y 1XY; : L(E) ! L(E) является линейным оператором. Найдите его собственные значения и собственные векторы.

28.Докажите, что для любого оператора A 2 L(E) не существует оператора

X 2 L(E) такого, что имеет место равенство AX XA = I:

29.Докажите, что спектр матрицы

30.Докажите, что всякая верхнетреугольная (нижнетреугольная) матрица с различными диагональными элементами подобна диагональной матрице.

x 27. Проекторы и прямые суммы подпространств

При построении структурной теории линейных операторов далее будет использоваться метод, позволяющий свести изучение рассматриваемого оператора к изучению конечного набора операторов, действующих в линейных пространствах меньшей размерности (подпространствах исходного простран-

ства) и имеющих несложную структуру.

Для изложения такого метода в этом и следующих двух параграфах вводится ряд важных понятий и вспомогательных утверждений для линейных

операторов, действующих в конечномерном линейном пространстве X .

Определение 1. Линейный оператор P 2 L(X) называется проектором (или идемпотентом), если P 2 = P: Матрица P 2 Matrn(K) называется

идемпотентной, если P2 = P:

Поскольку (I P )2 = I 2P + P 2 = I 2P + P = I P для любого проектора P , то I P также является проектором. Он называется дополни-

тельным проектором.

Примером проектора является оператор проектирования PM : H ! H

(H - евклидово пространство) на подпространство M из H , введенный в

примере 5 из x 18.

С каждым проектором P 2 L(X) связано разложение пространства X в

прямую сумму X1 X2 своих подпространств. А именно, положим X1 = ImP

и X2 = KerP: В этом случае говорят, что P - проектор на X1 параллельно X2

или осуществляет разложение пространства X в прямую сумму X = X1 X2:

Лемма 1. X = X1 X2:

Доказательство. Вначале отметим равенство X2 = KerP =

= Im(I P ) (ибо x 2 KerP () (I P )x = x): Поэтому любой вектор x 2 X можно представить в виде x = P x + (I P )x = x1 + x2; где

Если X1 X2 - разложение в прямую сумму подпространств, то определим отображение P : X ! X; положив

P x = x1;

где вектор x1 2 X1 однозначно определяется из разложения x = x1 + x2;

x2 2 X2:

Лемма 2. P - проектор из L(X), причем ImP = X1 и Ker P = X2:

Доказательство. Линейность оператора P очевидна. Если P x = x1;

то P (P x) = P x1 = x1 = P x; так как вектор x1 допускает разложение вида x1 = x1 +0: По определению проектора P имеют место равенства Im P = X1

и Ker P = X2:

Таким образом, в леммах 1 и 2 установлено соответствие между проекторами и разложениями в прямую сумму подпространств. Этот результат позволяет привлечь теорию линейных операторов при изучении прямых сумм

подпространств.

P1P2 = P1(I P1) = P1 P12 = P1 P1 = 0.

Замечание 1. Пусть X = X1 Xm - разложение линейного пространства X в прямую сумму подпространств X1; : : : ; Xm . Пусть Pk - проектор на подпространство Xk параллельно подпространству X1 Xk 1

Xk+1 Xm (т.е. Pkx = xk; если x = x1 + x2 + + xk 1 + xk + xk+1 +

+ xm; xj 2 Xj; j = 1; : : : ; m). Тогда проекторы Pk; k = 1; : : : ; m обладают

следующими свойствами:

j 6= k:

Итак, с разложением линейного пространства X в прямую сумму нескольких подпространств связан упорядоченный набор проекторов, обладающих указанными свойствами. Верно и обратное. Если P1; : : : ; Pm проекторы из L(X) со свойствами 1)-3), то X = X1 Xm; где Xj = ImPj; j = 1; : : : ; m (доказательство аналогично доказательству леммы 2).

Определение 2. Система проекторов P1; : : : ; Pm 2 L(X); удовлетворяющая условиям 2) и 3) из замечания 1, называется разложением единицы.

x 28. Инвариантные подпространства. Разложение операторов

Пусть A : X ! X - линейный оператор и 0 - некоторое его собственное значение. Если X0 = E( 0; A) - его собственное подпространство, отвечающее собственному значению 0 , то для любого вектора x 2 X0 имеет место равенство Ax = 0x: Отсюда, в частности, следует, что оператор A векторы из X0 переводит в векторы из X0 . Если оператор A рассматривать только на этом подпространстве, то он является оператором вида 0I0 (I0 - тожде-

ственный оператор на X0 ).

Это замечание приводит нас к следующему понятию.

Определение 1. Подпространство M из линейного пространства X

называется инвариантным для оператора A 2 L(X), если A(M) M; т.е.

Ax 2 M 8x 2 M:

Таким образом, каждое собственное подпространство оператора

A 2 L(X) является для него инвариантным. Очевидно, что нулевое подпространство f 0 g и все пространство являются инвариантными для любого линейного оператора. Эти подпространства называются тривиальными, а все остальные инвариантные подпространства - нетривиальными.

Замечание 1.Наличие одномерного инвариантного подпространства и наличие у оператора A 2 L(X) собственного вектора - задачи равносильные. Если x0 - собственный вектор оператора A и Ax0 = 0x0; то A( x0) =

0x0 8 2 K; т.е. одномерное подпространство f x0 : 2 Kg X

инвариантно относительно A. Обратно, если M - одномерное инвариантное подпространство для A и yo - ненулевой вектор из M , то Ay0 2 M; и поэтому существует такое число 0 2 K; что Ayo = 0y0:

Определение 2. Пусть M - инвариантное подпространство оператора

A 2 L(X). Линейный оператор AM : M ! M называется сужением оператора A на подпространство M . Оператор AM называется также частью

оператора A.

Сужение AM оператора A 2 L(X) на подпространство M рассматривается как самостоятельный оператор, как элемент пространства L(M) (игнорируется тот факт, что оператор A определен вне M ).

Т е о р е м а 1. Пусть X - комплексное линейное пространство и dim X 2: Тогда каждый линейный оператор A 2 L(X) имеет нетривиальное инвариантное подпространство.

Доказательство следует из теоремы 3, x 26 и замечания 1.

Наличие некоторого нетривиального подпространства M у линейного оператора A 2 L(X) позволяет выбрать базис в X таким образом, чтобы матрица A = (aij) оператора A имела довольно-таки простой вид. С этой целью базис в X выберем следующим образом. Рассмотрим произвольный базис e1; : : : ; ek в M и дополним его векторами ek+1; : : : ; en до базиса в X . Тогда ввиду инвариантности M векторы Aej; j = 1; : : : ; k имеют разложения вида

nk

XX

т.е. числа aij = 0 для всех j = 1; : : : ; k; i = k + 1; : : : ; n: Это означает, что имеет место

Лемма 1. Если M - нетривиальное инвариантное подпространство оператора A 2 L(X), то существует базис в X такой, что матрица