Лекции по алгебре.Баскаков

теорем 3 и 4 из x 19. Если a1; : : : ; an - некоторая система векторов из X , то наряду с ней рассмотрим систему векторов вида bk = Aak = (ak1; : : : ; akm);

1 k n из Km(ak = ak1e1 + + akmem): Допустим (для определенности), что a1; : : : ; am - базисные векторы системы векторов aj; 1 j n: Докажем,

векторы b1; : : : ; bm линейно независимы и, следовательно, (см. следствие 2 из теоремы 2, x 14) образуют базис в Km .

Ввиду изоморфизма каждого конечномерного линейного пространства

X пространству Km , где m = dim X , из замечания 3 следует, что можно

ограничиться рассмотрением систем векторов из пространства Km .

Пусть далее aj = (a1j; a2j; : : : ; amj); j = 1; : : : ; n - система векторов из

Km . Формулировку результатов о базисных векторах и ранге данной системы

а также следующие понятия.

Определение 2. Минором k - го порядка матрицы A называется матрица B с элементами, лежащими на пересечении некоторых k строк и k

столбцов матрицы A (разумеется k m; k n): Минор B называется

невырожденным, если det B 6= 0 (и вырожденным в противном случае).

Определение 3. Пусть A =6 0: Наивысший порядок r невырожденных миноров матрицы A называется рангом матрицы A и обозначается сим-

волом rang A: Любой невырожденный минор порядка rang A называется

базисным.

Т е о р е м а 2. Столбцы матрицы A, на которых расположен базисный

минор матрицы A, являются базисными векторами для системы вектором

a1; : : : ; an из Km .

Доказательство. Допустим (для определенности), что базисный минор

расположен на первых r строках и первых r столбцах матрицы A. Докажем,

что тогда векторы a1; : : : ; ar являются базисными.

Если бы векторы a1; : : : ; ar были линейно зависимы, то в силу теоре-

мы 1 базисный минор имеет равный нулю определитель, что противоречит

условию.

Докажем, что любой вектор aj; j r+1 является линейной комбинацией

векторов a1; : : : ; ar . С этой целью добавим к первым столбцам матрицы A j

- ый столбец и рассмотрим квадратную матрицу вида

Если k r; то определитель этой матрицы равен нулю. Если k > r, то полу-

ченная матрица является минором r + 1 - го порядка и поэтому по условию

имеет нулевой определитель.

Разложив определитель матрицы Ar+1 по последней строке, получим

c1ak1 + c2ak2 + + crakr + cr+1akj = 0;

где c1 = Ak1; c2 = Ak2; : : : ; cr = Akr; cr+1 = Akj - алгебраические дополнения

к элементам ak1; ak2; : : : ; akr; akj соответственно. Поскольку cr+1 = Akj 6= 0;

то, введя обозначения i = ci ; i = 1; : : : ; r; получим равенства

cr+1

akj = 1ak1 + 2ak2 + + rakr; k = 1; : : : ; m:

Таким образом, aj = 1a1 + 2a2 + + rar; т.е. вектор aj является линейной комбинацией векторов a1; : : : ; ar: Теорема доказана.

Следствие 2. Строки матрицы A, на которых расположен базисный минор матрицы A, являются базисными векторами для системы векторов a0k = (ak1; ak2; : : : ; akn); k = 1; : : : ; m из линейного пространства Kn .

Для доказательства достаточно рассмотреть транспонированную матри-

цу At = (aji) и применить к ней теорему 2.

Т е о р е м а 3. Пусть X - конечномерное линейное пространство с базисом e1; : : : ; en и f1; : : : ; fm - базис в конечномерном линейном пространстве Y . Тогда ранг любого оператора A 2 L(X; Y ) равен рангу его матрицы

A = (aij) 2 Matrm;n(K).

Доказательство. Из замечания 2 следует, что ранг оператора A совпадает с рангом системы векторов ak = Aek; k = 1; : : : ; n: В свою очередь, в силу замечания 3, ранг этой системы векторов совпадает с рангом системы векторов bk = (b1k; b2k; : : : ; bmk); k = 1; : : : ; n; определяемой из условия ak = b1kf1+b2kf2+ +bmkfm: Из определения матрицы оператора A следует, что b1k = a1k; : : : ; bmk = amk; т.е. векторы bk; 1 k m являются столбцами матрицы A. Следовательно, в силу теоремы 2, их ранг совпадает с рангом

матрицы A. Теорема доказана.

Из доказательства теоремы 3 и теоремы 1, x 19 получаем

Следствие 3. Пусть j1; : : : ; jr - столбцы матрицы A оператора A, на ко-

торых расположен базисный минор для матрицы A. Тогда векторы

Aej1; : : : ; Aejr образуют базис в подпространстве Im A Y; dim Im A = r

и def A = dim Ker A = n r:

Применим полученные в теоремах 2 и 3 результаты к системам линейных алгебраических уравнений общего вида. А именно, рассмотрим систему

где A : Kn ! Km - линейный оператор, определяемый матрицей A = (aij)

коэффициентов рассматриваемой системы уравнений (более подробно см. в

x 19).

Вначале остановимся на рассмотрении однородной системы уравнений

и соответствующего уравнения вида

Т е о р е м а 4. Решения системы уравнений (3) (или, что все рав-

но, уравнения (4) образуют подпространство из линейного пространства Kn

размерности n r, где r = rang A - ранг матрицы A = (aij):

Доказательство. Искомые решения образуют подпространство Ker A

из Kn; размерность которого, согласно следствию 1 теоремы 3, равна n r.

Следствие 4. Система уравнений (3) имеет ненулевое решение тогда

и только тогда, когда ранг матрицы A = (aij) меньше числа ее столбцов

(rang A < n).

Установим необходимое и достаточное условие совместности системы

уравнений (1) из x 19. С этой целью наряду с матрицей A = (aij) рассмотрим

(так называемую) расширенную матрицу системы уравнений, имеющую вид

которая получается из матрицы A добавлением столбца свободных членов.

Т е о р е м а 5 (теорема Кронекера-Капелли). Для того чтобы си-

стема уравнений (1) из x 19 имела решение, необходимо и достаточно, чтобы

rang A1 = rang A:

Доказательство. Необходимость. Пусть рассматриваемая система

уравнений имеет решение x0 = (x01; : : : ; x0n): Тогда вектор b =

7. Рассмотрите линейную оболочку векторов

a1 = (2; 4; 8; 4; 7); a2 = (4; 2; 1; 3; 1);

a3 = (3; 5; 2; 2; 4); a4 = ( 5; 1; 7; 6; 2):

Принадлежит ли этому подпространству вектор b = (6; 18; 1; 9; 8):

8. Найдите ранг операторов Ai : Pn(R) ! Pn(R); i = 1; 2 :

A1' = '00; (A2')(t) = '(t) '(0)

t

9. Найдите базис в образе оператора A : R3 ! R3; определенного с помощью матрицы

В случае совместности найдите все решения.

11.Найдите ранг оператора A : P3(C) ! C4 :

A' = ('(0)); '(i); '(0) '(i); '(1)):

12.Найдите ранг оператора A : H ! H (H - евклидово пространство), определенного формулой Ax = (x; a1)b1 + (x; a2)b2; a1; a2; b1; b2 2 H:

13.Пусть '1; : : : ; 'n - совокупность функций из C[a; b]. Докажите, что функции '1; : : : ; 'n линейно независимы тогда и только тогда, когда

найдутся числа t1; ; tn из R такие, что определитель матрицы

('i(tj)) 2 Matrn(R) отличен от нуля.

14.Определите размерность подпространства многочленов из

Pn(C); удовлетворяющих условиям

f(a1) = f(a2) = = f(ak) = 0;

где a1; : : : ; ak - различные числа из C:

15.Найдите базис в подпространстве многочленов из P4(C); удовлетворяющих условиям f(0) = f( 1) = f(1) = 0:

16.Найдите три линейно независимых многочлена из P5(C); удовлетворяющих условиям '(0) = 1; '(1) = 0; '(2) = 1; '(3) = 1:

17.Докажите, что для любых чисел a; b0; b1; : : : ; bn из C существует единственный многочлен ' 2 Pn(C) такой, что

'(a) = b0; '0(a) = b1; : : : ; '(n)(a) = bn:

18. Найдите многочлен f 2 P3(C); для которого

f(1) = 0; f0(0) = 1; f00( 1) = 0; f(0) = 1:

19.Какой вид имеет матрица, у которой все миноры второго порядка нулевые ?

20. Пусть X - конечномерное линейное пространство, dim X = k и

'1; : : : ; 'k - линейно независимые функционалы из X . Докажите, что для линейной независимости векторов a1; : : : ; ak 2 X необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы ('i(aj)) 2 Matrk(K) был ненулевым.

21.Пусть X - конечномерное линейное пространство и 1; : : : ; m 2 X - линейно независимые функционалы. Тогда система уравнений i(x) = = bi; 1 i m; разрешима для любых чисел b1; : : : ; bm из поля K . Примените полученный результат к системе уравнений вида (1).

22. Решите систему матричных уравнений

X + Y =

0 1

0 1

x 25. Матрица Грама и ее применение (линейная независимость векторов, метод наименьших квадратов)

Пусть a1; : : : ; an - система векторов из пространства со скалярным произведением H . В этом параграфе H - вещественное евклидово пространство.

называется матрицей Грама системы векторов a1; : : : ; an , а ее определитель обозначается символом G(a1; : : : ; an):

Если e1; : : : ; en - ортонормированное множество из H , то ясно, что матрица Грама такой системы векторов является единичной.

Т е о р е м а 1. Векторы a1; : : : ; an из H линейно независимы тогда и только тогда, когда G(a1; : : : ; an) 6= 0:

Доказательство. Пусть G(a1; : : : ; an) 6= 0: Рассмотрим линейную комбинацию x1a1 + + xnan и приравняем ее нулю:

x1a1 + + xnan = 0: