Лекции по алгебре.Баскаков

определенное равенством PM x = m; где m – проекция вектора x на M; является линейным оператором. Его называют ортогональным проектором или оператором ортогонального проектирования.

Естественным образом возникает вопрос: можно ли привести формулу, задающую любой линейный оператор A 2 L(X; Y ) хотя бы для конечномерных линейных пространств X и Y . Ответ на этот вопрос можно дать, привлекая матрицы из линейного пространства Matrm;n(K).

Пример 6. Пусть e1; : : : ; en – базис в X и f1; : : : ; fm - базис в Y . Рассмотрим произвольную матрицу A = (aij) из Matrm;n(K) и с ее помощью определим отображение A : X ! Y следующей формулой

XX

где x = x1e1+ +xnen – произвольный вектор из X . Свойство аддитивности отображения A следует из равенств

где y = y1e1 + + ynen 2 X:

Аналогично проверяется свойство однородности отображения A. Таким образом, A : X ! Y – линейный оператор.

Отметим, что если X = Kn и Y = Km , то формула (1) перепишется в

Несколько позже будет показано, что для каждого оператора из

L(X; Y ) найдется матрица A = (aij) 2 Matrm;n(K) такая, что он определяется формулой (1).

118 Глава 3. Линейная алгебра

В следующем примере строится отображение A : X ! X(X – комплексное линейное пространство), не являющееся линейным оператором. Однако, если X рассматривать как вещественное линейное пространство, то A : X ! X – линейный оператор.

Пример 7. Пусть X = C и отображение A : C ! C определим форму-

лой

A(z) = Rez; z 2 C:

Ясно, что A не обладает свойством однородности. Пусть = i: Тогда A(iz) = Re(iz) = Imz: Если бы A был линейным оператором, то A(iz) = = iRez: Таким образом, A не является линейным оператором. Если же2 R; то A( z) = Re( z) = Rez = A(z): Это означает, что A – линейный оператор, если рассматривать C как вещественное линейное пространство.

Зафиксируем два линейных пространства X; Y и рассмотрим множество линейных операторов L(X; Y ). Замечательным является тот факт, что L(X; Y ) является линейным пространством, если определить операцию сложения операторов и операцию умножения чисел из K на операторы следующим образом:

(A + B)x = Ax + Bx; x 2 X;

( A)x = Ax; x 2 X

для любых A; B 2 L(X; Y ) и 2 K:

Проверка линейности операторов A + B; A отнесена к задаче 2. Нулевым элементом линейного пространства L(X; Y ) служит нуле-

вой оператор, который обозначается символом 0 и определяется по правилу

0x = 0 2 Y; x 2 X:

Противоположный элемент для оператора A 2 L(X; Y ) задается равенством

A = ( 1)A:

Легко проверяется, что L(X; Y ) – линейное пространство. Например, свойство A + B = B + A следует из следующих равенств

(A + B)x = Ax + Bx = Bx + Ax = (B + A)x; x 2 X:

Проверка остальных аксиом линейного пространства отнесена к задаче 2. В частности, линейным пространством является сопряженное к линейному пространству X пространство X .

Далее рассматриваются конечномерные линейные пространства X и Y

с базисами e1; : : : ; en в X и f1; : : : ; fn в Y .

Замечание 4. Для задания линейного оператора A : X ! Y достаточно определить его на базисных векторах e1; : : : ; en: Тогда, пользуясь линейно-

Символом Iij , где 1 i m; 1 j n обозначим оператор из L(X; Y ); который на базисных векторах ek; 1 k n определяется следующими равенствами

В силу замечания 4 оператор Iij автоматически определен на всем пространстве X . Операторы Iij; 1 i m; 1 j n назовем элементарными.

Т е о р е м а 1. Совокупность элементарных операторов Iij; 1 i m; 1 j n образует базис в L(X; Y ) ( и поэтому dimL(X; Y ) = mn):

Доказательство. Проверим линейную независимость рассматриваемых

XX

Теорема доказана.

Следствие 1. Для любого оператора A 2 L(X; Y ) найдется единственная матрица A = (aij) из Matrm;n(K) такая, что оператор A имеет вид (1) (задается с помощью матрицы A).

Следствие 2. Пусть H – евклидово пространство (над полем K ). Тогда любой функционал f 2 H имеет вид

f(x) = (x; a);

120 Глава 3. Линейная алгебра

где a – некоторый вектор из H .

Доказательство. Пусть e1; : : : ; en – некоторый ортонормированный ба-

XX

Определение 3. Матрица (aij) из Matrm;n(K); определенная при доказательстве теоремы 1 с помощью формулы (3) (или (4)), называется матрицей оператора A.

Таким образом, для получения j - го столбца (1 j n) матрицы оператора A следует применить оператор A к j - ому базисному вектору ej и полученный вектор Aej из пространства Y разложить по базису f1; : : : ; fm пространства Y . Полученные числа a1j; : : : ; amj будут образовывать j - й столбец матрицы A 2 Matrm;n(K) оператора A. Матрица A будет квадратной, если dim X = dim Y:

Особо отметим, что матрица оператора зависит от выбора базисов в X и Y . В случае, когда X = Y принято выбирать один и тот же базис

(fk = ek; k = 1; : : : ; n):

Пример 8. Рассмотрим оператор дифференцирования D : Pn(K) ! Pn(K) из примера 1. Вычислим матрицу D = (dij) 2 Matrn+1(K) этого оператора относительно базиса '0(z) = 1; '1(z) = z; : : : ; '(z) = zn пространства Pn(K):

Поскольку D'0 = 0; то первый столбец матрицы D состоит из нулей. Далее,

(D'1)(z) = '0(z) = 1 1 + 0 z + + 0 zn;

(D'2)(z) = 2'1(z) = 0 1 + 2 z + + 0 zn;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(D'n)(z) = n'n 1(z) = 0 1 + 0 z + nzn 1 + 0 zn:

Поэтому матрица D оператора D имеет вид

Определение 4. Величина kAk; определенная формулой (6), называется нормой оператора A.

Можно показать, что в формуле (6) символ "sup"можно заменить сим-

волом "max т.е. можно указать такой вектор x0 2 B(0; 1); что sup kAxk =

kxk 1

=kAx0k:

Те о р е м а 2. L(X; Y ) – линейное нормированное пространство

(относительно введенной нормы операторов).

Доказательство. Очевидно, что kAk 0 и k0k = 0: Если же kAk = 0;

то Ax = 0 8x 2 B(0; 1) = fx 2 X : kxk 1g. Тогда Az = kzkA(z=kzk) = 0

8z 2 X; т.е. A = 0.

Свойство 2) нормы, очевидно, выполняется. Пусть A; B 2 L(X; Y ) и x 2 B(1): Тогда

k(A + B)xk = kAx + Bxk kAxk + kBxk kAk + kBk:

Следовательно, kA + Bk = sup k(A + B)xk kAk+ kBk: Теорема доказана.

kxk 1

Замечание 7. Непосредственно из определения нормы оператора следует, что имеют место следующие равенства

=inffc > 0 : kAzk ckzk 8z 2 Xg:

Вчастности, из последнего равенства вытекает следующее неравенство

Подсчет нормы операторов иногда удается осуществить, используя матрицу рассматриваемого оператора.

Пример 11. Пусть X = Y = Kn , где K = R или K = C и пусть в пространстве задана норма (см. пример 4, § 6)

kxk3 = max jxij; x = (x1; : : : ; xn) 2 Kn:

1 i n

Рассмотрим оператор A 2 L(Kn) и его матрицу A = (aij) 2 Matrn(K) (относительно стандартного базиса в Kn ). Тогда, согласно выводам из примера 10,

оператор A задается формулой (2) (где n = m): Поэтому, если x 2 B(0; 1); то имеет место неравенство

Рассмотрим вектор x0 = (x1; : : : ; xn) 2 B(0; 1); где xj = jakjj; если akj 6= 0;

akj

и xj = 0; если akj = 0 (1 j n). Тогда

Следовательно, получено равенство

Замечание 8. Линейное пространство матриц Matrn(K) становится нормированным, если положить kAk = kAk; где A : Kn ! Kn - линейный оператор, определяемый матрицей A и Kn является нормированным.

Упражнения к § 18

1.Докажите равенство A0 = 0 для оператора A 2 L(X; Y ); используя свойство аддитивности оператора A.

2. Пусть A; B 2 L(X; Y ) и 2 K: Докажите линейность операторов A + B; A: Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для

L(X; Y ):

3.Выясните, какие из следующих отображений линейного пространства R3 в себя являются линейными операторами:

a) Ax = (x3; x2; x1); b) Ax = (x1; x2; x23);

c) Ax = (x3 + 1; x2; x1); d) Ax = (x1 3x3; x2; x1 + x2):

4.Какие из следующих отображений линейного пространства P(K) в Pn(K) являются линейными операторами

5.Будет ли линейным оператор A : C ! C; определенный формулой

A(z) = z; z 2 C?

6.Докажите, что каждый линейный оператор A : K ! K; где K = R или

K = C; имеет вид Az = z; z 2 K; где – некоторое число из K .

7.Найдите матрицы линейных операторов из упражнений 3 и 4 относительно стандартных базисов.

8.Докажите линейность оператора A : Tn;m ! Tn;m , определенного формулой

A' = 0'(n) + 1'(n 1) + + n'

9.Как изменится матрица линейного оператора A : X ! X с базисом e1; : : : ; en в X , если

1)поменять местами векторы ei и ej ;

2)вектор ei умножить на число 6= 0;

3)вектор ei заменить на ei + ej ;

4)перейти к базису en; e1; : : : ; en 1?

10.Найдите матрицу оператора A : H ! H; заданного в евклидовом пространстве H с ортонормированном базисом e1; : : : ; en; с помощью формулы

Ax = (x; a)b;

где a; b 2 H:

11. Докажите линейную независимость линейных операторов

Dk : Pn(R) ! Pn(R); k = 1; 2; : : : ; n;

где D0 = I; D1' = '0; : : : ; Dn' = '(n):

12.Докажите линейную независимость тождественного оператора

I : X ! X (X – линейное пространство) и любого другого оператора A 2 L(X); переводящего некоторый вектор x 2 X в y 2 X такой, что x; y – линейно независимые векторы.

13.Пусть x1; : : : ; xm – произвольные векторы из линейного конечномерного пространства X и y1; : : : ; ym – произвольные векторы из линейного пространства Y . Всегда ли существует линейный оператор A : X ! Y; переводящий каждый вектор xk в yk; 1 k m?

14.Ответьте на вопрос задачи 13 при условии линейной независимости векторов x1; : : : ; xm:

15.Пусть A 2 L(X; Y ). Укажите такие базисы в X и Y , чтобы матрица оператора A относительно этих базисов имела простейший вид

Чему равно минимальное число единиц в этой матрице?

16.Пусть D : Pn(R) ! Pn(R) – оператор дифференцирования. Найдите матрицу оператора D; если базис в Pn(R) состоит из многочленов вида

1)1 + t; t + 2t2; 3t2 1 (n = 2);

2)1; 1 + t; 1 + 1!t + t2!2 ; : : : ; 1 + 1!t + t2!2 + + tnn! ;

3)1; 1 + t; 1 + t + t2; : : : ; 1 + t + t2 + + tn:

17.Проверьте линейность оператора PM из примера 5.

18.Какое из следующих утверждений неверно:

а) всякий линейный оператор переводит линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую;

б) линейно независимая система векторов переводится в линейно независимую.