Лекции по алгебре.Баскаков

Поскольку '(E) = det(EB) = det B; то для любой матрицы X из

Matrn(K) получаем равенство '(X) = det(XB) = det X detB: В частности, при X = A получаем доказываемое равенство. Теорема доказана.

Т е о р е м а 5. Матрица A 2 Matrn(K) обратима тогда и только тогда, когда ее определитель det A отличен от нуля. Если det A =6 0; то обратная

матрица A 1 имеет вид ; где Aij – алгебраическое дополнение к элементам aij и det A 1 = 1=det A:

Доказательство. Если A обратима, то имеет место равенство

строки стоит i - ая строка матрицы A. Так как Aj имеет две одинаковые строки, то cij = det Aj = 0 8i 6= j:

Итак, C = AB = E: Аналогично проверяется равенство BA = E: Теорема доказана.

Т е о р е м а 6. Подобные матрицы имеют одинаковые определители.

Доказательство. Пусть A; B 2 Matrn(K) – подобные матрицы, и пусть

A = U 1BU; где U – обратимая матрица из Matrn(K): Тогда, согласно теоремам 4 и 5, получаем

det A = det U 1 det B det U = (det U) 1 det B det U = det B:

158 Глава 3. Линейная алгебра

Теорема доказана.

Определение 4. Пусть A – произвольный оператор из L(X). Определителем оператора A называется определитель его матрицы (относительно некоторого базиса в X ).

Поскольку все матрицы данного оператора подобны друг другу, то в силу

теоремы 6 определение 4 корректно (не зависит от матрицы рассматриваемого оператора).

Тем же символом det A обозначим введенное в определении 4 отображение из L(X) в K . Учитывая результаты о взаимосвязи между операторами

иматрицами, полученные в x 20 (см.теорему 6 и 7), и, используя теоремы 4

и5, получаем, что имеют место следующие две теоремы.

Т е о р е м а 7. det (AB) = (det A)(det B) 8A; B 2 L(X):

Т е о р е м а 8. Оператор A 2 L(X) обратим тогда и только тогда, когда det A 6= 0:

Вычисление определителя матрицы, основанное на формуле (1), требует сложения n! слагаемых и поэтому на практике мало используется. Одним из наиболее эффективных методов вычисления определителей матриц является метод Гаусса. Он основан на преобразованиях матрицы (см. теорему 1), не меняющих ее определителя.

Пусть в матрице A = (aij) 2 Matrn(K) отличен от нуля элемент akm

(назовем его ведущим). К любой i - ой строке, i 6= k добавим k - ую стро-

ку, умноженную на число aim : В результате получим матрицу с тем же

akm

определителем и у этой новой матрицы все элементы m - го столбца, кроме ведущего, будут нулевые. Разлагая определитель новой матрицы по m - ому столбцу, мы сведем вычисление определителя матрицы k - го порядка к вычислению одного определителя матрицы порядка n 1. Затем тот же прием применяется к вычислению определителя матрицы n 1 - го порядка и т.д. Метод Гаусса требует для вычисления определителя n - го порядка алгебраических операций порядка 23n2:

gA(x) = g(Ax1; : : : ; Axn); x = (x1; : : : ; xn) 2 Xn: Число 2 K; однозначно определяемое из равенства gA = g (см. замечание 2, x 21), назовем определителем оператора A и обозначим символом det A: Докажите, что это определение определителя совпадает с определением 4 определителя оператора.

12. Пользуясь определением определителя из задачи 11, докажите равенство det AB = det A det B 8A; B 2 L(X):

13.Пусть A; B – ненулевые операторы из L(X) и AB = 0: Докажите, что det A = det B = 0.

14.Какие из указанных множеств из алгебры Matrn(K) образуют группу и подалгебру относительно операции умножения, введенной в алгебре матриц:

1)множество диагональных матриц;

2)множество верхних треугольных матриц;

3)множество симметрических матриц;

4)множество матриц, определитель которых есть фиксированное число

d 2 K .

15.Докажите, что множество матриц вида

образует тело (его называют телом кватернионов).

16.Нуждается ли в проверке равенство BA = E из доказательства теоремы 5?

162 Глава 3. Линейная алгебра

17. Пусть G - группа обратимых нижнетреугольных матриц. Докажите, что

18.Отображение det : GL(X) ! Rnf0g является гомоморфизмом группы

GL(X) обратимых операторов из L(X) в группу Knf0g (по умножению чисел).

19.Пусть B - коммутативная алгебра (с единицей) над полем K . Рассмотрим алгебру матриц Matrn(B; K) (см. упражнение 33, § 22) и опреде-

лим отображение det : Matrn(B; K) ! B; положив для любой A = = (aij) 2 Matrn(B; K)

X

detA = sign a1 (1) an (n):

2Sn

Докажите, что отображение det является антисимметрическим полилинейным оператором строк (столбцов) матриц и установите, что det является гомоморфизмом алгебры Matrn(B; K) в алгебру B.

20. Пусть B = C[a; b]: Найдите определитель матрицы

21.Докажите, что матрица A 2 Matrn(B; K) обратима тогда и только тогда, когда detA обратимый элемент из алгебры B. Найдите A 1 если

A обратимая матрица.

22.Обратима ли матрица из задачи 20 ?

x 23. Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений

Развитая в предыдущем параграфе теория определителей может быть с успехом применена для нахождения решений систем линейных алгебраиче-

ских уравнений вида

где оператор A 2 L(Kn) задается матрицей A (см.равенства (2) из x 18 и начало x 19). Это уравнение часто записывают в виде: Ax = b; понимая левую часть равенства как результат умножения матрицы A на матрицу-столбец xt 2 Matrn;1(K); а вектор x рассматривается как матрица из Matr1;n(K):

Рассмотрим задачу разрешимости системы (1) (уравнения (2)) для любой правой части b = (b1; : : : ; bn) 2 Kn: Эта задача разрешима тогда и только тогда, когда оператор A : Kn ! Kn сюръективен и, значит, когда оператор A обратим (см. теорему 3 из x 19). Обратимость оператора A, в свою очередь, эквивалентна обратимости его матрицы A = (aij) или условию

= det A = det A =6 0:

Единственное решение x0 = (x01; : : : ; x0n) уравнения (2) (системы (1)) в этом случае будет иметь вид

x0 = A 1b:

Осталось указать вид обратного оператора. Чтобы сделать это, в следующем замечании рассмотрим несколько более общую ситуацию.

Замечание 1. Пусть B : X ! X – линейный оператор, X – конечномерное линейное пространство с базисом e1; : : : ; en и B = (bij) – матрица

Упражнения к § 23

1. Укажите те значения параметра 2 C, при которых система уравнений:

имеет решение для любого b = (b1; b2) 2 C2: Найдите решение системы для найденных значений.

2. Если aij; bi; 1 i; j n - рациональные числа в системе уравнений (1) и = detA =6 0; то xk = k ; k = 1; : : : ; n принадлежат Q.

x 24. Определители и линейная независимость векторов. Приложение к системам линейных уравнений

Пусть X – конечномерное линейное пространство и a1; : : : ; am - некоторая система векторов из X (упорядоченный набор векторов далее называется

системой векторов).

Определение 1. Векторы aj1 ; : : : ; ajk ; 1 j1; : : : ; jk m называются

базисными для системы векторов a1; : : : ; am , если они линейно независимы и каждый из векторов a1; : : : ; am является их линейной комбинацией. Число базисных векторов называется рангом системы векторов a1; : : : ; am:

Сформулированное определение означает, что базисные векторы образуют базис в линейной оболочке векторов a1; : : : ; am; т.е. в подпространстве

166 Глава 3. Линейная алгебра

где ak = (a1k; a2k; : : : ; amk); k = 1; : : : ; n; b = (b1; : : : ; bm) - векторы из Km .

Условием совместности системы уравнений (1) из x 13 является условие

принадлежности вектора b линейной оболочке векторов a1; : : : ; an из Km .

Ясно также, что однородная система уравнений вида (1) из x 13 (т.е. система (1), где b = 0) имеет только нулевое решение тогда и только тогда,

когда векторы a1; : : : ; an линейно независимы в Km:

Наконец, для того чтобы система (1) из x 13 имела единственное решение x = (x1; : : : ; xn) 2 Kn для любого вектора b = (b1; : : : ; bm) 2 Km; необходимо и достаточно, чтобы векторы a1; : : : ; an образовывали базис в Km: Ясно, что если они образуют базис в Km; то n = m:

Из сделанного замечания и теоремы 1, x 22 вытекает следующая

Т е о р е м а 1. Для того чтобы векторы ak = (ak1; ak2; : : : ; ak;n);

1 k n образовывали базис в Kn; необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы A = (aij 2 Matrn(K)) был отличен от нуля.

Поскольку транспонированная матрица A0 = (aij) имеет тот же опреде-

det(aij) 6= 0:

Замечание 2. Пусть A : X ! X - линейный оператор и e1; : : : ; en - некоторый базис в линейном пространстве X . Рассмотрим векторы ak = Aek; k = 1; : : : ; n: Из определения образа Im A оператора A следует, что Im A

совпадает с линейной оболочкой векторов ak; 1 k n: Следовательно, ранг rang A (т.е. dim Im A) совпадает с рангом системы векторов a1; : : : ; an:

Знание базисных векторов позволяет восстановить подпространство Im A:

Прежде чем заняться поиском базисных векторов и вычислением ранга системы векторов, сделаем еще одно замечание.

Замечание 3. Пусть dim X = m; e1; : : : ; em - базис в X и A : X ! Km

- изоморфизм линейных пространств X и Km , определенный в следствии 1