Лекции по алгебре.Баскаков

Упражнения к § 37

1. Какие из следующих матриц положительно определены

2. Найдите необходимые и достаточные условия положительной определен-

ности матрицы

3. Для каких 2 C положительно определена матрица

01

1 1

4.Докажите, что матрица Грама любой системы векторов a1; : : : ; an положительно полуопределена.

5.Приведите пример положительно определенной матрицы, имеющей отрицательные элементы.

6.Докажите положительность всех диагональных элементов положительно определенной матрицы.

7.Получите оценки n(A) aii; i = 1; : : : ; n для любой симметрической матрицы A = (aij) 2 Matrn(K):

8.Получите неравенство Шура:

n

XX

Это неравенство превращается в равенство для нормальной матрицы.

9.Докажите, что для любой положительно определенной матрицы A = (aij) 2 Matrn(K) имеет место оценка det A a11; : : : ; ann:

10.Докажите, что в положительно определенной матрице максимальный по модулю элемент расположен на главной диагонали.

11.В положительно полуопределенной матрице определитель главного минора порядка k равен нулю. Докажите, что определители всех главных миноров порядка > k тоже нулевые.

12.Получите аналог теоремы 9 для положительно полуопределенных операторов.

13.Докажите, что если A > 0 (A 2 L(H)); то A + A 1 > 2I:

14.Докажите, что если A > B; то B 1 > A 1 (A; B 2 L(H)):

15. Пусть A > 0 для A 2 L(H): Докажите, что формула [x; y] = (Ax; y); x; y 2 H задает скалярное произведение в H .

16. Докажите, что если A = A ; то eA > 0 и jjeAjj e ; где = max :

2 (A)

17.Пусть A > 0; A 2 L(H): Докажите существование и единственность логарифма ln A:

18.Найдите положительно определенный корень из матриц

19. Какие из следующих трехдиагональных матриц положительно опреде-

лены (полуопределены)

20. Пусть A > B > 0; A; B 2 L(H): Докажите, что

det A > det B > 0; tr A > trB > 0:

n = 0: Докажите, что

1)векторы em+1; : : : ; en образуют базис в Ker A;

2)jjAeijj = i; i = 1; : : : ; m и векторы Ae1; : : : ; Aem взаимно ортого-

23.Установите взаимосвязь свойства 3) из упражнения 22 c методом наименьших квадратов (x 25).

24.Докажите, что если U 2 L(H) - изометрический изоморфизм, то U - унитарный оператор.

25.Докажите, что введенное в определении 4 отношение на L(H) есть отношение порядка (и, значит, L(H) - частично упорядоченное множество). Приведите пример линейно упорядоченного подмножества из L(H).

26.Пусть p(z) = a0 + a1z + + an 1; zn 1 + zn - многочлен из P(C): Докажите, что для его корней k; 1 k m n; верна оценка Коши

A : Kn ! Kn; определяемый A; используйте лемму 1 и упражнение 20 из § 19).

27.Докажите, что r(A) = r(At) для любой матрицы A 2 Matrn(R):

28.Используя теорему Шура, докажите теорему Гамильтона-Кэли.

x 38. Билинейные и квадратичные формы

Понятие билинейной (и полилинейной) формы было введено в x 21; там же рассматривались примеры билинейных форм. В этом параграфе изучаются билинейные (и ассоциированные с ними) квадратичные формы, определенные на вещественном евклидовом пространстве H ).

Определение 1. Пусть e1; : : : ; en - некоторый базис в H . Матрица

(aij) 2 Matrn(R), где aij = '(ei; ej); 1 i; j n; называется матрицей

билинейной формы ' : H H ! R относительно базиса (ei):

!

nn

нейная форма ' однозначно определяется ее матрицей.

Т е о р е м а 1. Для каждой билинейной формы ' : H H ! H

существует оператор A 2 L(H) такой, что

Доказательство. Если A = (aij) 2 Matrn(R) - матрица билинейной формы ' относительно ортонормированного базиса e1; : : : ; en; то рассмотрим оператор A 2 L(H); задаваемый матрицей At; транспонированной к A. Из формулы (5), x 18 следует, что билинейные формы ' и f; где f(x; y) = (Ax; y); имеют одинаковые матрицы и поэтому совпадают. Теорема доказана.

Замечание 1. Каждая билинейная форма ' : Rn Rn ! R имеет вид

где (aij) 2 Matrn(R) - матрица билинейной формы ' относительно обычного базиса в H .

Замечание 2. Матрица, транспонированная к матрице билинейной формы (1), совпадает с матрицей оператора A (относительно того же базиса).

Замечание 3. Форма (1) симметрична тогда и только тогда, когда оператор A самосопряжен. Для симметричной формы ее матрица совпадает с матрицей оператора A относительно ортонормированного базиса в H .

Определение 2. Функция f : H ! R называется квадратичной формой, если она может быть представлена в виде f(x) = '(x; x); x 2 H; где

' : H H ! R - некоторая билинейная форма.

Определение 3. Квадратичная форма f : H ! R называется положительно определенной (положительно полуопределенной), если f(x) > 0

8x 6= 0 (f(x) 0 8x 2 H):

Замечание 4. Заданной квадратичной форме f : H ! R может соответствовать бесконечно много билинейных форм ' : H H ! R со свойством

'(x; x) = f(x) 8x 2 H: Однако, если ' - симметрическая билинейная форма, то из равенства

'(x + y; x + y) = '(x; x) + 2'(x; y) + '(y; y)

следует, что

'(x; y) = 12[f(x + y) f(x) f(y)]:

Таким образом, для данной квадратичной формы f существует единственная симметрическая форма '; для которой f(x) = '(x; x): Такая билинейная форма ' называется полярной к квадратичной форме f:

Определение 4. Матрица (aij) полярной билинейной формы к квадратичной форме f : H ! R называется матрицей квадратичной формы f .

Из всего изложенного следует

Т е о р е м а 2. Каждая квадратичная форма f : H ! R может быть единственным образом представлена в виде

f(x) = (Ax; x); x 2 H;

где A - самосопряженный оператор из L(H) или в виде

где A = (aij) - симметричная матрица квадратичной формы f относительно ортонормированного базиса e1; : : : ; en:

Из теоремы 1 следует, что каждая квадратичная форма f : H ! R

представима в виде

f(x) = (Ax; x); x 2 H;

где A 2 L(H): Следовательно, форма f положительно определена (положительно полуопределена) тогда и только тогда, когда оператор A положительно определен (положительно полуопределен)).

Непосредственно из теоремы 9, x 37 получаем, что имеет место

Т е о р е м а 3. Квадратичная форма f : H ! R положительно определена, если положительны определители всех главных миноров её матрицы относительно некоторого ортонормированного базиса.

Определение 5. Базис e1; : : : ; en в H называется каноническим для квадратичной формы f : H ! R; если а этом базисе она имеет вид

В этом случае говорят, что квадратичная форма приведена к сумме квадратов. Числа 1; : : : ; n называются каноническими коэффициентами, а базис

e1; : : : ; en; при котором квадратичная форма f имеет вид (3), называется

каноническим.

Т е о р е м а 4. Для каждой квадратичной формы f : H ! R в H

существует канонический базис.

Доказательство. Пусть ' : H H ! R - полярная билинейная форма для f . Тогда, согласно теореме 1 и замечанию 3, форма представима в виде f(x) = (Ax; x); где A = A 2 L(H): Из результатов x 36 следует существование ортонормированного базиса e1; : : : ; en в H , составленного из собственных векторов оператора A, т.е. Aek = kek; k = 1; : : : ; n: Поэтому для любого вектора x = x1e1 + + xnen получаем представление квадратичной формы f

вида (3). Теорема доказана.

Замечание 5. Пусть f : H ! R - квадратичная форма. Используя обозначения из доказательства теоремы 4, рассмотрим базис e01; : : : ; e0n в H

вида

1 m n; 1; : : : ; p > 0; p+1; : : : ; m < 0: Тогда квадратичная форма f

будет иметь в базисе e01; : : : ; e0n вид

называемый нормальным видом квадратичной формы.

Определение 6. Число p положительных канонических коэффициентов в представлении (3) квадратичной формы f называется положительным индексом инерции формы f , а число отрицательных коэффициентов m p

отрицательным индексом инерции. Разность этих чисел называется сигнатурой квадратичной формы f .

Пусть A = (aij) - матрица квадратичной формы f : H ! R относительно базиса e1; : : : ; en; т.е. aij = '(ei; ej); где ' - полярная к f билинейная форма. Определим матрицу B = (bij) формы f относительно другого базиса e01; : : : ; e0n:

Пусть U = (uij) - матрица перехода от старого базиса к новому, т.е.

n

e0i = P ukiek: Тогда

k=1

т.е. B = UtAU = U AU: Итак, имеет место

Лемма 1. Матрицы A и B билинейной формы f : H H ! R в базисах

(ek) и (e0k) связаны соотношением

B = U AU:

Определение 7. Матрицы A и B из Matrn(K) называются эквивалентными, если существует обратимая матрица U 2 Matrn(K) такая, что

B = UtAU:

Таким образом, в отличие от матриц операторов (которые при переходе к новому базису переходили в подобные матрицы), матрица билинейной формы относительно нового базиса становится эквивалентной матрице билинейной формы в старом базисе.

Определение 8. Рангом квадратичной формы называется ранг её матрицы (или, что эквивалентно, число ненулевых собственных значений матрицы, или число ненулевых канонических коэффициентов).

Замечание 6. Поскольку ранг матрицы не меняется при её умножении (слева или справа) на любую обратимую матрицу, то из леммы 1 следует, что эквивалентные матрицы имеют одинаковый ранг. Это означает, что ранг

квадратичной формы не зависит от выбора базиса, относительно которого вычисляется матрица формы.

Замечание 7. Пусть f : Rn ! R - квадратичная форма. Согласно теореме 3, она может быть представлена в виде f(x) = (Ax; x) или в виде (3), где x = (x1; : : : ; xn) 2 R: Пусть U 2 L(R) - обратимый оператор и x = Uy; y 2 Rn: Тогда f(x) = (AUy; x) = (U AUy; y); т.е. преобразование переменных в квадратичной форме меняет её матрицу на эквивалентную (в новых переменных).

Те о р е м а 5 (закон инерции квадратичных форм). Положительный

иотрицательный индексы квадратичной формы f : H ! R не зависят от выбора базиса в H .

Доказательство. Пусть e1; : : : ; en и e01; : : : ; e0n - базисы в H; относительно которых форма f имеет соответственно нормальный вид

f(x) = x21 + + x2k x2k+1 x2m; x = x1e1 + + xnen; f(x) = y12 + + yp2 yp2+1 ym2 ; x = y1e01 + + yne0n;

где m - ранг квадратичной формы (не зависящий в силу замечания 6 от выбора базиса в H ). Ясно, что для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что k = p: Допустим для определенности, что k p:

доказана.

Т е о р е м а 6 (об одновременном приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов). Пусть f; ' : H ! R - две квадратичные формы и

форма f положительно определена. Тогда в H можно указать такой базис e1; ; ek; что квадратичные формы f и ' имеют вид

XX

Доказательство. Согласно теореме 3, формы f и ' могут быть представлены в виде

f(x) = (Bx; x); '(x) = (Ax; x); x 2 H;

где A = A ; B = B ; B > 0: В H введем новое скалярное произведение, положив

[x; y] = (Bx; y); x; y 2 H:

Используя положительную определенность оператора B; легко видеть, что имеют место все свойства скалярного произведения, что позволяет рассматривать далее H как евклидово пространство относительно нового скалярного произведения. Из теоремы 4 следует, что существует ортонормированный базис e1; ; en (относительно нового скалярного произведения) такой, что форма ' будет иметь вид (5). Из равенств f(x) = [x; x] =

получаем, что и форма f имеет вид (5). Теорема доказана.

Замечание 7. Пусть A = (aij) 2 Matrn(K) и квадратичная форма f : Rn ! R имеет вид f(x) = aijxixj: Тогда матрица 12(A+ At) является матрицей для f (докажите это !)

Упражнения к § 38

1.Докажите, что для любой билинейной формы f : H H ! R выполняются равенства f(0; y) = f(x; 0) = 0 8x; y 2 H:

2.Докажите, что билинейные и квадратичные формы образуют линейные пространства. Найдите их размерность.