Лекции по алгебре.Баскаков

1)A(1) = I;

2)A( f + g) = A(f) + A(g); ; 2 K; f; g 2 P(K); т.е. A - линейный оператор;

3)A(fg) = A(f) A(g) (или (fg)(A) = f(A)g(A)).

Доказательство. Свойство 1) очевидно. Свойства 2) и 3) доказываются близким способом и поэтому докажем только свойство 3).

Пусть f(z) = f0+f1z+ +fkzk; g0+g1z+ +gmzm: Тогда (fg)(z) = d0+

d1z+ +dk+mzk+m; где d` = P figj; ` = 0; 1; : : : ; k+m: Поэтому A(fg) =

i+j=`

=(fg)(A) = d0I + d1A + + dk+mAk+m: С другой стороны, A(f) A(g) =

=f(A)g(A) = (f0I + f1A + + fkAk)(g0I + g1A + + gmAm) = d0I + d1A +

+ dk+mAk+m: Итак, (fg)(A) = f(A)g(A): Теорема доказана.

Следствие 1. Операторы f(A) и g(A) перестановочны для любых f; g 2 P(K):

Доказательство следует из коммутативности алгебры P(K) и следующих равенств

f(A)g(A) = (fg)(A) = (gf)(A) = g(A)f(A):

Пример 1. Пусть D : Pn(C) ! Pn(C) - оператор дифференцирования и p(z) = p0 + p1z + + pkzk - многочлен из алгебры P(C): Поскольку

Dj' = '(j) j - ая производная многочлена ' 2 Pn(C); то

p(D)' = ' + p1'0 + + pk'(k); ' 2 Pn(C):

Замечание 1. Если A - матрица из алгебры Matrn(K); то для любого многочлена p(z) = p0 + p1z + + pkzk из алгебры P(K) положим p(A) = p0E + p1A + + pkAk: Построенное отображение A : P(K) !

Matrn(K) является гомоморфизмом алгебр (т.е. имеет место аналог теоремы 1). Поскольку M : L(X) ! Matrn(K) - алгебраический изоморфизм, то

M A(p) = M(poI + p1A + + pkAk) = p0E + p1A + + pkAk = A(p); т.е. p(A) - матрица оператора p(A); если A 2 L(X) и A = M(A):

Итак, из замечания 1 следует

Т е о р е м а 2. Пусть A 2 Matrn(K) - матрица оператора A 2 L(X). Тогда для любого многочлена p матрица p(A) является матрицей оператора p(A):

Пусть теперь A 2 L(X) - оператор простой структуры с (A) = f 1; : : : ; mg и рассмотрим его спектральное разложение

где P1; : : : ; Pm - разложение единицы (Pj - проектор на E( j; A) параллельно

другим собственным подпространствам).

Ввиду равенств PiPj = 0 для i 6= j и Pi2 = Pi; i = 1; : : : ; m получаем

m

X

Ak = kj Pj; k 1:

j=1

Поэтому для любого многочлена p(z) = p0 + p1z + + pkzk из P(K) имеет место равенство

XX

XX

т.е. собственное подпространство E( i; A) является собственным подпространством оператора p(A), отвечающим собственному значению p( i). Непосредственно из определения оператора простой структуры следует, что p(A)

- оператор простой структуры со спектром (p(A)) = fp( 1); : : : ; p( m)g = p( (A)) и он имеет спектральное разложение вида (2).

Таким образом, доказана

Т е о р е м а 3. Если A 2 L(X) - оператор простой структуры со спектральным разложением вида (1), то для любого многочлена оператор p(A)

является оператором простой структуры со спектром p( (A)) = fp( 1; : : : ; p( m)g; с теми же собственными подпространствами, что и A, и имеющим спектральное разложение вида (2).

Следствие 2. Оператор p(A) допускает представление

Утверждение этого следствия можно получить несколько по-иному, непосредственно используя понятие прямой суммы операторов и следующее замечание.

Замечание 2. Пусть оператор A есть прямая сумма операторов A1; : : : ; Am , т.е. A = A1 Am; где Aj 2 L(X); j = 1; : : : ; m и X = X1

Xm: Любой вектор x 2 X представим в виде x = x1 + + xm; xj 2 Xj; j = 1; : : : ; m и тогда имеет место равенство

Ax = A1x1 + + Amxm:

Применяя к обеим частям этого равенства оператор A, получим

A2x = AA1x1 + + AAmxm = A1A1x1 + + AmAmxm = A21x1 + + A2mxm:

Аналогично для любого j 3 получаем

Ajx = Aj1x1 + + Ajmxm;

т.е. Aj = Aj1 Ajm: Поэтому для любого многочлена p(z) = p0 + p1z +

+ pkzk имеет место представление

210 Глава 3. Линейная алгебра

Ясно, что если Aj = jIi; то получим представление (3).

Пусть далее A 2 L(X) - оператор простой структуры, имеющий спектральное разложение вида (1). Из спектрального разложения (2) для оператора A видно, что если многочлен fj 2 P(K) обладает свойствами: fj( j) = 1

и fj( i) = 0 для i 6= j; i = 1; : : : ; n; то получим следующую формулу для проектора

Pj = fj(A):

Используя интерполяционную формулу Лагранжа (x 11), мы видим, что такими свойствами обладает многочлен

Q

( j k)

k=1; k6=j

Таким образом, установлена

Т е о р е м а 4. Оператор A 2 L(X) простой структуры со спектром

(A) = f 1; : : : ; mg имеет спектральное разложение вида

Формула (6) называется интерполяционной формулой Сильвестра.

Следствие 3. Если оператор A из условий теоремы 4 обратим, то

m

A 1 = P 1 Pj; где проекторы Pj; 1 j m определены формулой (5).

j=1

j

Т е о р е м а 5. Пусть A 2 Matrn(K) - матрица простой структуры с собственными значениями 1; : : : ; m: Тогда имеет место разложение вида

где Pj; j = 1; : : : ; m - идемпотентные матрицы вида

обладающие свойствами: E = P1 + P2 + + Pm; PiPj = 0 для i 6= j:

Доказательство. Оператор A 2 L(X); определяемый матрицей A, является по определению оператором простой структуры и поэтому имеет место разложение (6). Применяя к обеим частям равенства (6) алгебраический изоморфизм M : L(X) ! Matrn(K); получим разложение (7). Теорема доказана.

Определение 2. Представление вида (7) для матрицы простой структуры называется ее спектральным разложением.

Упражнения к § 29

1.Пусть D : Pn(C) ! Pn(C) - оператор дифференцирования и p(z) = 1 +

1!z + z2!2 + + znn! : Докажите, что оператор p(D) совпадает с оператором

(A')(z) = '(z + 1); ' 2 Pn(C):

x 30. Фактор-операторы. Теорема Гамильтона-Кэли

Как мы убедились, "элементарными" частями оператора простой структуры являются скалярные операторы и они могут быть построены с помощью многочленов от операторов.

Выделение "элементарных" частей любых линейных операторов мы осуществим также, привлекая многочлены от операторов, при этом важную роль будут играть условия на многочлены p 2 P; при которых p(A) = 0 для исследуемого оператора A. Такие условия будут приведены в теореме ГамильтонаКэли.

При доказательстве этой теоремы будет использовано следующее понятие фактор-оператора.

Пусть A 2 L(X) и M - нетривиальное инвариантное подпространство оператора A. Рассмотрим фактор-пространство X=M (см. x 15), состоящее из классов вида x + M = fx + m : m 2 Mg; x 2 X: Определим оператор

A=M : X=M ! X=M следующими равенствами

A=M(x + M) = Ax + M; x 2 X;

т.е. оператор A=M переводит класс эквивалентности x~ = x + M; содержащий элемент x, в классе эквивалентности, содержащий вектор Ax. При этом следует проверить, что если x1; x2 - два элемента из одного класса эквивалентности, то элементы Ax1 и Ax2 также находятся в одном классе эквивалентности. Действительно, в этом случае x1 x2 2 M; и поэтому в силу инвариантности подпространства M относительно A получаем, что

Ax1 Ax2 = A(x1 x2) 2 M (т.е. Ax1 + M = Ax2 + M).

Ясно, что оператор A=M является линейным.

Определение 1. Линейный оператор A=M называется фактор-опе- ратором.

Замечая, что Akx 2 M 8x 2 M 8k 1; т.е. M - инвариантное подпространство всех операторов Ak; k 1; мы получаем, что подпростран-

ство M инвариантно относительно всех операторов p(A); p 2 P(K): Из равенств p(A)M = p(A)x = p0x + p1Ax + + pkAkx = p0IM x + p1AM x + + pkAkM = p(AM )x; x 2 M (IM - тождественный оператор в M ) следует, что

т.е. сужение многочлена p 2 P(C) от оператора A на подпространство M

равно многочлену p от сужения AM оператора A на M (операция сужения оператора на подпространство перестановочна с операцией взятия многочлена от оператора).

Аналогично из равенств

p(A)=M (x + M) = p(A)x + M = p0x + p1Ax + + pkAkx + M =

= (p0IM + p1(A=M) + + pk(A=M)k)(x + M) = p(A=M)(x + M)

A 2 L(X), то для любого многочлена p 2 P(K) имеют место равенства

(1) и (2).

Замечание 1. При специальном выборе базиса в X и в фактор-прост- ранстве X=M можно добиться того, что матрица фактор-оператора A=M

является частью матрицы оператора A.

С этой целью возьмем некоторый базис e1; : : : ; em в M и дополним его векторами em+1; : : : ; en до базиса в X . Тогда классы эквивалентности

Тогда значения фактор-оператора A=M на базисных классах эквивалентности e~m+1; : : : ; e~n имеют вид

Таким образом, матрицей фактор-оператора A=M при таком выборе

базиса в X=M будет служить матрица (bij) из Matrn m(K) вида bij =

a(i+m)(j+m); 1 j; i n m; являющаяся блоком матрицы (aij):

Определение 2. Многочлен p 2 P(K) назовем аннулирующим опера-

тор A 2 L(X) (матрицу A 2 Matrn(K)), если p(A) = 0 (p(A) = 0): Много-

член p наименьшей положительной степени со старшим коэффициентом, рав-

ным единице и аннулирующим оператор A 2 L(X) (матрицу A 2 Matrn(K))

называется минимальным многочленом оператора A (матрицы A).

Для скалярного оператора A вида I минимальным многочленом яв-

ляется многочлен первой степени p( ) = :

Для оператора A 2 L(X), имеющего матрицу вида

получаем An = 0, т.е. p(A) = 0 для p( ) = n; и этот многочлен является ми-

нимальным для оператора A. Минимальным является он и для матрицы A:

Лемма 2. Минимальный многочлен для оператора A 2 L(X) (матрицы

A 2 Matrn(K)) единствен.

Доказательство. Допустим, что f и g - два минимальных многочлена

для оператора A. Поэтому имеют место равенства (см. теорему 1 из x 29)

(f g)(A) = f(A) g(A) = 0;

т.е. f g - многочлен, аннулирующий оператор A и имеющий степень, меньшую степени многочленов f и g. Следовательно, f g = 0: Аналогичные рассуждения верны для матриц.

Т е о р е м а Гамильтона - Кэли. Пусть X - комплексное линейное пространство. Характеристический многочлен pA линейного оператора

A 2 L(X) аннулирует этот оператор.

Доказательство проведем индукцией по размерности комплексных пространств. Если dim X = 1, то каждый оператор A 2 L(X) скалярный, т.е. имеет вид A = I; 2 C: Поэтому pA( ) = и pA(A) = I I = 0:

Пусть теперь dim X = n 2 и допустим, что утверждение теоремы верно для всех комплексных линейных пространств размерности n 1:

Согласно теореме 3 из x 26, оператор A имеет, по крайней мере, одно собственное значение 1: Пусть e1 - соответствующий собственный вектор и

M = f e1 : 2 Cg - одномерное подпространство из X . Наряду с вектором e1 рассмотрим векторы e2; e3; : : : ; en так, чтобы они образовывали базис в X . Тогда, согласно замечанию 1, векторы e~2; : : : ; e~n образуют базис в факторпространстве X=M: Рассмотрим фактор-оператор A=M: Из леммы 1 (x 28) и того же замечания 1 следует, что матрица A имеет вид

где B 2 Matrn 1(C) - матрица оператора A=M . Из вида матрицы A видно, что pA( ) = ( 1 )p( ); где p( ) = det(B E) - многочлен степени n 1:

Тогда имеет место равенство

pA(A) = ( 1I A)p(A):

По предположению индукции p(A=M) = 0 2 L(X=M): Далее из леммы 1 следует, что p(A)=M = p(A=M) = 0: Это означает, что p(A)x 2 M 8x 2 X:

Поэтому pA(A)x = ( 1I A)p(A)x = ( 1IM AM )p(A)x = 0 (IM - тождественный оператор в M и AM - сужение A на M ). Таким образом, pA(A) = 0:

Теорема доказана.