Лекции по алгебре.Баскаков

Ясно, что высота k каждого вектора x 2 X не превосходит числа m и

есть векторы из X , имеющие высоту m.

Отметим еще, что множество векторов из X; имеющих высоту, не превосходящую числа p 1; совпадает с подпространством Ker Bp; причем имеют место включения

f0g Ker B Ker B2 Ker Bm 1 Ker Bm = X;

где Ker Bm 1 6= Ker Bm = X: Пусть kj = dimKer Bj; j = 1; : : : ; m (так что n = km):

Поскольку Ker Bm 1 6= X = Ker Bm; то фактор-пространство

X=Ker Bm 1 - ненулевое линейное пространство размерности n

dim(Ker Bm 1) = p1 (см. теорему 3 из x 15; кроме того, будет далее использоваться способ построения базиса в фактор-пространстве из этой теоремы). Поэтому можно найти векторы e1; : : : ; ep1 из X такие, что классы эквивалентности e~1 = e1 +Ker Bm 1; : : : ; e~p1 = ep1 +Ker Bm 1 будут образовывать базис в X=Ker Bm 1: Тогда векторы Be1; : : : ; Bep1 принадлежат подпространству

m 1 ~ m 2 ~ m 2

Ker B и классы Be1 = Be1 + Ker B ; : : : ; Bep1 = Bep1 + Ker B

линейно независимы в фактор-пространстве Ker Bm 1=Ker Bm 2: Действительно, если бы они были линейно зависимы, то

1Be1 + + p1 Bep1 = f 2 Ker Bm 2

для некоторых не равных нулю одновременно чисел 1; ; p1 2 C: Применяя к обеим частям этого равенства оператор Bm 2; получили бы, что

1Bm 1e1 + + p1 Bm 1ep1 = 0:

Это означает, что 1e1 + + p1 ep1 2 Ker Bm 1; т.е. 1e~1 + + p1 e~p1 =

~ 2 m m 1

= 0 KerB =KerB ; что противоречит линейной независимости векторов e~1 : : : ; e~p1 в первом фактор-пространстве.

Из доказанного следует, что dim( KerBm 1=KerBm 2 ) = = dimKer Bm 1 dimKer Bm 2 n dimKer Bm 1 = dimKer Bm dimKerBm 1

Ker Bm 1=Ker Bm 2 и разложим его по базису из этого фактор-пространст- ва, образованного классами, содержащими элементы, выписанные во второй

рассмотрим элемент x2 = x1 1Be1 2Be2 p1 Bep1 p1+1ep1+1

p2 ep2 и т.д. В результате рассматриваемый элемент x будет представлен в виде линейной комбинации векторов таблицы (2), т.е. векторы из таблицы образуют базис в X .

Замечание 2. Базис, составленный из векторов таблицы (2), пронумеруем следующим образом. Вначале рассмотрим первый столбец и его элементы пронумеруем снизу вверх (в результате получим первые m базисных векторов). Затем присоединим к ним элементы второго столбца, нумеруя снизу вверх и т.д. Учитывая, что оператор переводит каждый вектор последней строки в нулевой, а элементы из каждого столбца переводит в последующие за ним элементы того же столбца, мы получим, что матрица B оператора B

Замечание 3. Линейная оболочка векторов из каждого столбца таблицы (2) образует инвариантное подпространство оператора B; X есть прямая сумма таких подпространств X1; X2; : : : ; Xp1 ; : : : ; Xpm и B допускает разложение B = B1 B2 Bp1 Bpm относительно прямой суммы

X = X1 X2 Xp1 Xpm:

Итогом проведенных построений являются следующие две теоремы.

Т е о р е м а 3. Для любого нильпотентного оператора B 2 L(X)

существует жорданов базис, записанный в виде таблицы (2), и матрица B

оператора B в этом базисе имеет вид (3).

Т е о р е м а 4. Для любого оператора A 2 L(X) вида A = 0I + B;

где 0 2 K и B - нильпотентный оператор (т.е. (A) = f 0g) существует жорданов базис, записанный в виде таблицы (2), и матрица A = 0E + B

оператора A в этом базисе имеет вид

A = Jk1 ( 0) Jkpm ( 0);

где kj - количество элементов в j -ом столбце таблицы (2), причем k1 k2 kpm 1; k1 + k2 + + kpm = n = dim X:

Замечание 4. Если A = 0E + B 2 Matrn(K); где o 2 K и B -

нильпотентная матрица, то, согласно принятой нами ранее договоренности, следует рассмотреть операторы A; B 2 L(Kn); определяемые матрицами A

и B соответственно. Тогда A = 0I +B; где B - нильпотентный оператор. Из теоремы 4 и теоремы 8, x 20 следует, что матрица A (являющаяся матрицей оператора A) подобна жордановой матрице 2 Matrn(K).

Упражнения к § 32

1.Проверьте, что включение Ker A ImA необходимо и достаточно для того, чтобы имело место равенство A2 = 0 для A 2 L(X):

2.Докажите, что если оператор A 2 L(X) обладает свойством: для любого вектора x 2 X существует число m = m(x) 2 N такое, что Amx = 0; то

A - нильпотентный оператор.

3.Докажите, что если Q 2 L(X) - нильпотентный оператор и многочлен f 2 P(C) удовлетворяет условию f(0) = 0; то f(Q) - нильпотентный оператор.

4.Существует ли на двумерном пространстве X нильпотентный оператор

A 2 L(X) индекса нильпотентности 3?

5.Найдите жорданов базис для оператора дифференцирования

D : Pn(K) ! Pn(K):

x 33. Жорданов базис и жорданова форма линейных операторов

Здесь у нас появляется возможность суммировать результаты, получен-

ные в двух предыдущих параграфах.

Рассматривается комплексное конечномерное пространство X и опера-

торы из алгебры L(X):

Т е о р е м а 1. Для любого линейного оператора A 2 L(X) существует

жорданов базис.

Доказательство. Построение жорданова базиса осуществляется с ис-

пользованием следующих этапов.

Э т а п 1. Определение собственных значений оператора A. Пусть (A) = f 1; : : : ; mg; причем алгебраическая кратность каждого корня k равна nk;

так что n1 + + nm = n:

Э т а п 2. Построение инвариантных подпространств Xj; j = 1; : : : ; m

оператора A таких, что X = X1 Xm и сужение Aj оператора A

на каждое подпространство Xj; j = 1; : : : ; m есть оператор с одной точкой спектра j: Следовательно, операторы Aj; j = 1; : : : ; m допускают представ-

ление вида Aj = jIj + Qj; где Ij - тождественный оператор в Xj и Qj

- нильпотентный оператор индекса нильпотентности, не превосходящей nj . Построение подпространств Xj; 1 j m можно осуществить так, как это делалось в теореме 1 из x 31.

Э т а п 3. В соответствии с теоремой из x 32 в каждом из подпространств

Xj; 1 j m для оператора Aj = jIj + Qj существует жорданов базис, задаваемый таблицей вида (1) из x 32, составленной из векторов подпространства Xj; и построенный по нильпотентному оператору Qj:

Э т а п 4. В X выберем базис, состоящий из объединения построенных жордановых базисов для Aj в каждом из подпространств Xj; 1 j m:

Такой базис будет жордановым для оператора A (матрица A оператора A

будет блочно-диагональной: A = A1 Am , где A1; : : : ; Am - жордановы матрицы операторов A1; : : : ; Am ). Теорема доказана.

Определение 1. Вектор x 2 X называется корневым вектором оператора A 2 L(X); отвечающим собственному значению оператора A, если

(A I)kx = 0 для некоторого натурального числа k 1: Число k называется высотой корневого вектора x, если (A I)kx = 0; но (A I)k 1x 6= 0:

Ясно, что каждое собственное подпространство E( ; A) оператора A состоит из корневых векторов, причем нулевой вектор по определению всегда считается корневым, а каждый собственный вектор является корневым высоты 1.

В следующей лемме используются обозначения из доказательства теоремы 1.

Лемма 1. Совокупность всех корневых векторов оператора A, отвечающих собственному значению j оператора A, совпадает с подпространством

Xj (см.этап 2).

Доказательство. Если вектор xj принадлежит подпространству

Xj(1 j m); то (A jI)kj xj = (Aj jIj)kjxj = 0; т.е. xj - корневой вектор оператора A; отвечающий собственному значению j:

Пусть теперь x 2 X - корневой вектор оператора A, отвечающий собственному значению j 2 (A); т.е. (A jI)kx = 0 для некоторого k 1:

Вектор x представим в виде x = x1 + + xm; где x1 2 X1; : : : ; xm 2 Xm:

Тогда в силу инвариантности подпространств Xi; i = 1; : : : ; m получаем, что

0 = (A jI)kx = (A1 jI1)kx1+(A2 jI2)kx2+ +(Am mIm)kxm = (( 1

j)I1+Q1)kx1+ +(( m j)Im+Qm)kxm: Отсюда следует, что xi = 0 8i 6= j;

т.е. x = xj 2 Xj: Лемма доказана.

Следствие 1. Высота каждого корневого вектора оператора A 2 L(X);

отвечающего собственному значению j; не превосходит его алгебраической кратности.

Следствие 2. Корневые векторы оператора A, отвечающие собственному значению ; образуют инвариантное подпространство и сужение оператора A на это подпространство есть оператор с одной точкой спектра f g:

236 Глава 3. Линейная алгебра.

Непосредственно из теоремы 1 и леммы 1 следует

Т е о р е м а 2. Для любого линейного оператора A 2 L(X) существует жорданов базис, составленный из корневых векторов оператора A.

Определение 2. Подпространство корневых векторов оператора A, отвечающих одному собственному значению оператора A, называется корневым подпространством.

Следствие 3. Корневое подпространство Xj оператора A 2 L(X); отвечающее собственному значению j оператора A, совпадает с ядром Ker(AjI)kj оператора (A jI)kj ; где kj - кратность корня минимального многочлена оператора A:

При построении жорданова базиса в X в теореме 1 (этап 2) нами строился базис в подпространствах Xj; j = 1; : : : ; m в виде таблицы (2) из x

32. Если таблица вида (2) составлена из векторов подпространства Xj (для нильпотентного оператора Qj = Aj jIj ), то векторы каждого столбца этой таблицы удовлетворяют соотношениям

(A jI)e1 = 0; (A jI)e2 = e1; : : : ; (A jI)ek = ek 1;

если соответствующий столбец состоит из векторов e1; : : : ; ek: Вектор e1 - собственный вектор, векторы e2; : : : ; ek называются присоединенными векторами к собственному вектору e1:

Таким образом, теорему 2 можно уточнить следующим образом.

Т е о р е м а 3. Для любого линейного оператора A существует базис, составленный из собственных и присоединенных к ним векторов оператора

A.

Замечание 1. Из способа построения жорданова базиса для оператора A 2 L(X); осуществляемого при доказательстве теоремы 1, следует, что жорданова матрица A оператора A имеет блочно-диагональный вид (есть прямая сумма жордановых блоков)