Лекции по алгебре.Баскаков

3.Докажите, что линейное пространство билинейных форм есть прямая сумма подпространств симметрических и антисимметрических билинейных форм.

4.Докажите, что каждую билинейную форму ранга p можно представить в виде суммы p билинейных форм ранга 1.

5.Найдите матрицу билинейной формы ' : Rn Rn ! R; если

6. Найдите полярную билинейную форму к квадратичной форме

f : Rn ! R и найдите её матрицу, если

7.Найдите канонический базис для квадратичной формы f : Rn ! R и её канонический вид, если

а) f(x) = x21 + x1x2 x22; n = 2;

б) f(x) = x21 2x1x2 + 2x22 2x2x3 + x23; n = 3;

n 1

P

в) f(x) = xixi+1:

i=1

8.Приведите следующую пару f1; f2 : Rn ! R квадратичных форм к сумме квадратов, если

9.При каких значениях параметра 2 R данная квадратичная форма f : R2 ! R положительно определена или полуопределена, если

а) f(x) = x21 4x1x2 + ( + 3)x22;

б) f(x) = 9x21 + 6 x1x2 x22?

10.Докажите, что введенное в определении 7 отношение на множестве матриц Matrn(K) является отношением эквивалентности.

11.Докажите, что эквивалентные самосопряженные операторы имеют одинаковую суммарную алгебраическую кратность положительных собственных значений.

12.Докажите, что числа 1; : : : ; n из формулы (5) являются собственными значениями оператора B 1A:

13.Пусть A = (aij) 2 Matrn(R) и квадратичная форма f : Rn ! R имеет

n

P

вид f(x) = aijxixj: Найдите её матрицу.

i;j=1

x 39. Ошибки в решениях линейных уравнений

Рассматривается линейное уравнение

где A - обратимый оператор из L(X); X - линейное конечномерное пространство и b 2 X: Решение этого уравнения единственно и имеет вид

Однако, если вычисления производятся на компьютере с конечным машинным словом, неизбежны ошибки за счет округления. Более того, даже если все вычисления были проведены с большой точностью, сам оператор A (как, впрочем, и вектор b) мог возникнуть как результат некоторых экспериментов или некоторых предварительных вычислений, вносящих ошибки. Таким образом, погрешность могла иметь место в исходной информации, определяющей уравнение (1).

= I lim Bn+1 = I:

n!1

т.е. S = (I B) 1: Лемма доказана.

Т е о р е м а 1. Пусть оператор A 2 L(X) обратим и оператор

Доказательство. Оператор A + B представим в виде

A + B = A(I B0); B0 = A 1B:

Поскольку kB0k < 1; то в силу леммы 1 оператор I B0 обратим, и поэтому оператор A + B является произведением двух обратимых операторов.

мула (3). Оценка (4) следует из неравенства k(A + B) 1k kA 1k k(I

k(A + B) 1 k kA 1k=(1 kBk kA 1k);

если выполнено условие kBk kA 1k < 1:

Число (A) = kAk kA 1k называется числом обусловленности обрати-

мого оператора A ( (B) = 1, если оператор B необратим).

Первое неравенство из следствия можно рассматривать как оценку относительной ошибки в обратном операторе через относительную ошибку в исходном операторе, причем относительная ошибка в обратном операторе имеет одинаковый порядок малости с относительной ошибкой kBk = kAk

в исходном операторе, если величина (A) не слишком велика. Отметим, что

(A) = kA 1k kAk kA 1Ak = kIk = 1:

Рассмотрим уравнение (1). Вследствие ошибок в вычислениях или неопределенности начальных данных фактически решается "возмущенное"урав-

Рассмотрим задачу о вычислении ошибки kx~0 x0k; где x0 - решение уравне-

Доказательство. Оценка (6) непосредственно следует из равенств (5) и

оценки (4). Относительная погрешность kx~0 x0k=kx0k решения x~0; т.е. оценка (7) также следует из равенств (5) с учетом неравенства kbk = kAA 1bkkAk kA 1bk (kck=kbk - относительная погрешность вектора b + c).

Теперь применим теорему 1 к вопросам оценок собственных значений операторов и матриц.

Т е о р е м а 3. Для любого оператора B 2 L(X) имеет место оценка r(B) kBk:

Доказательство. Если j j > kBk; то из представления B I =

Это означает, что 2 (B); т.е. r(B) kBk:

Замечание. Рассмотрим алгебру матриц Matrn(K) (K = R или

K = C): Если Kn - линейное нормированное пространство, то L(Kn) - нормированная алгебра. Для любой матрицы A 2 Matrn(K) положим kAk = kAk; где A 2 L(Kn) имеет матрицу A: Непосредственно из определения нормы в Matrn(K); используя изоморфизм алгебр L(Kn) и Matrn(K); получаем, что Matrn(K) также является нормированной алгеброй. Так, используя кубическую норму в Kn; в примере 11, x 18 было получено, что для любой матрицы A = (aij) 2 Matrn(K)

Непосредственно из способа доказательства теорем 1 и 3 следует, что её утверждения верны и для нормированной алгебры Matrn(K):

Лемма 2. Если для матрицы A = (aij) 2 Matrn(K) выполнены условия (диагонального преобладания)

292 Глава 3. Линейная алгебра

то матрица A обратима.

Доказательство. Матрицу A представим в виде суммы A = A0 + B

диагональной матрицы A0 = (aii ij) и матрицы B = A A0: Матрица A0 обратима, причем A0 1 = (aii1 ij) и A0 1B = (bij); где bii = 0; 1 i n; bij = = aii1aij; i 6= j: В алгебре Matrn(K) выберем норму, определенную формулой

(8). Тогда из условия (9) следует, что kA0 1Bk = k(bij)k < 1: Следовательно, из теоремы 1 следует (см. замечание) обратимость матрицы A: Лемма доказана.

Т е о р е м а 4. Собственные значения матрицы A = (aij) 2 Matrn(C)

находятся в объединении n кругов (называемых кругами Гершгорина)

fz 2 C : jz akkj rkg; k = 1; : : : ; n;

где

Доказательство. Если число 0 2 C не лежит в объединении кругов Гершгорина, то j 0 akkj > rk для некоторого k (1 k n): Тогда матрица

A 0E имеет диагональные элементы вида aii 0; i = 1; : : : ; n; удовлетворяющие условиям леммы 2, и поэтому она обратима.

Упражнения к § 39

1.Докажите, что (U) = 1 для любого унитарного оператора U 2 L(H):

2.Докажите оценку (AB) (A) (B) 8A; B 2 L(X):

3.Докажите равенства (UA) = (AU) = (UAU) для любого A 2 L(H)

и для любого унитарного оператора U 2 L(H).

4.(A) = min1 (A) max(A) 8A = A 2 L(H) ( min(A)) - минимальное,

max(A) - максимальное собственное значение обратимого оператора A).

5.Установите неравенство (A) j max(A)j = j min(A)j 8A 2 L(X):

6. Проведите детальное доказательство оценки (7).

иоцените её спектральный радиус.

9.Рассмотрите уравнение вида x = Ax+b; b 2 X; где A 2 L(X) и kAk < 1:

Докажите существование и единственность решения x0 этого уравнения

иполучите оценки

kx0 (b + Ab + + Amb)k kAkm+1 kbk: 1 kAk

10. Найдите с точностью до 0,01 (относительно нормы kxk = max jxkj в

k=1;2;3

R3 ) приближенное решение системы уравнений вида

7x1 + x2 + x3 = 1;

2x1 + 10x2 x3 = 0;

x1 x2 + 6x2 = 1

(указание: преобразуйте систему уравнений к уравнению из упражнения 9).

x 40. Рекуррентные соотношения

Рассмотрим задачу построения последовательности x : N ! C; для которой известны первые m 1 членов x(1) = x01; : : : ; x(m) = x0m и все последующие задаются рекуррентными соотношениями

x(n + m) = 1x(n + m 1) + 2x(n + m 2) + + mx(n); n 1; (1)

где 1; : : : ; m - известные числа из C:

т.е. x(n) является числом, равным скалярному произведению вектора An 1x0

на вектор e1 = (1; 0; : : : ; 0) 2 Cn (в Cn обычным образом введено скалярное произведение).

Итак, установлена

Т е о р е м а 1. Задаваемая рекуррентными соотношениями последо-

вательность x : N ! C с известными первыми её m членами x(k) = x0k;

1 k m; определяется равенствами (6).

Пример 1. Последовательность целых чисел вида

0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; : : :

называется последовательностью Фиббоначи. Легко уловить её характер:

Отметим, что рекуррентные соотношения (7) возникают в огромном чисел приложений.

Обращаясь к общей схеме, ясно, что в данном случае m = 2; x0 = (0; 1);1 = 2 = 1; и матрица A имеет вид

является матрицей простой структуры. Из теоремы 5, § 29 следует, что она допускает спектральное разложение вида

pp

из формулы (5) получаем, что последовательность чисел Фиббоначи име-

h p n p ni

ет вид F (n) = 1+ 5 1 5 ; n 1: Ответ является несколько

2 2

неожиданным, поскольку числа Фиббоначи являются целыми. Однако, ясно, что полученные дроби и квадратные корни в представлении F (n) должны

число. При больших n число F (n + 1=F (n)) должно быть очень близко к

p

величине 1+2 5 ' 1:618; которая была названа греками "золотым сечением" (стороны наиболее красивых прямоугольников относятся друг к другу как 1.618 к 1).

Итак, рассматривая последовательности, задаваемые рекуррентными соотношениями, мы пришли к задаче определения векторной последовательности x : N ! C; которая удовлетворяет "одношаговому" разностному урав-

где A 2 L(C) и x(1) = x0 - заданный вектор из Cn: Последовательность x

определяется формулой

В дальнейшем X рассматривается как линейное (9) нормированное пространство.

Определение 1. Разностное уравнение (8) (или матрицу A) назовем 1) устойчивым, если любое решение x : N ! Cn этого уравнения огра-

ничено (т.е. sup k x(n) k< 1);

n 1

2) асимптотическим устойчивым, если lim x(n) = 0 для любого

n!1

решения x этого уравнения;

3) неустойчивым, если существует неограниченное решение x уравне-