Лекции по алгебре.Баскаков

Т е о р е м а 2. Если A 2 Matrn(K) - блочно-верхнетреугольная (или блочно-нижнетреугольная) матрица вида (2), то

det A = det A11 detAmm:

В частности, характеристический многочлен pA матрицы A имеет вид

pA( ) = pA11 ( ) pAmm( ):

Следствие. Для спектра матрицы A (из теоремы 2) имеет место равен-

ство (A) = (A11) S (A22) S S (Amm):

Еще проще поддаются изучению блочно-диагональные матрицы. Имеет место

Т е о р е м а 3. Блочно-диагональная матрица A вида (2) обратима

тогда и только тогда, когда обратимы все матрицы Aii; i = 1; : : : ; m; причем матрица A 1 блочно-диагональная и имеет вид

Пусть M - инвариантное подпространство линейного оператора

A 2 L(X) и допустим, что X = M N . Инвариантность подпространства

M не влечет инвариантность подпространства N: Однако, если N - инвариантное подпространство оператора A, то имеет место

Лемма 2. В X существует базис такой, что матрица A = (aij) оператора A имеет блочно-диагональный вид (3), где A12 = 0:

Доказательство аналогично доказательству леммы 1. Только в данном случае векторы ek+1; : : : ; en следует взять в качестве базиса в N .

Результат леммы 2 приводит к необходимости следующего определения.

Определение 4. Если линейное пространство X является прямой суммой m инвариантных относительно оператора A 2 L(X) подпрост-

приводится (разлагается) семейством подпространств X1; X2; : : : ; Xm:

Пусть оператор A 2 L(X) приводится семейством подпространств X1; X2; : : : ; Xm из X . Символом Ak обозначим сужение (часть) оператора A на

и называть прямой суммой операторов A1; : : : ; Am: Представление (4) будем называть разложением оператора A относительно прямой суммы X = X1

Xm:

Эта запись обосновывается тем, что если каждый вектор x 2 X записать в виде x = x1 + + xm , где xk 2 Xk; 1 k m; то Ax = Ax1 + Ax2 + + Axm = A1x1 + A2x2 + + Amxm: Итак,

A = 1I1 2I2 mIm относительно прямой суммы X = X1 X2

Xm; где Xk = E( k; A) - собственное подпространство оператора A и Ik - тождественный оператор в Xk (1 k m):

Доказательство. Ранее мы выяснили, что каждое собственное подпространство оператора A инвариантно. Поскольку Axk = kxk 8xk 2 E( k; A);

то сужение Ak оператора A на E( k; A) имеет вид kIk . Осталось только заметить, что равенство X = E( 1; A) E( m; A) непосредственно следует из определения оператора простой структуры и теоремы 4 из x 26 (в качестве базиса в X следует взять объединение базисов из подпространств

E( k; A); k = 1; : : : ; m):

Таким образом, части (сужения) оператора простой структуры действительно просто устроены, являясь скалярными операторами.

Отметим, что оператор I 2 L(X) допускает разложение I = I1 Im

относительно любой прямой суммы X = X1 Xm . Следовательно, скалярный оператор I; 2 K есть прямая сумма I1 I2 Im:

Следующий результат обобщает лемму 2 и получается аналогичным образом (выбором базиса в X , являющимся объединением базисов из инвариантных подпространств).

Те о р е м а 5. Пусть оператор A допускает разложение A = A1 A2

Am относительно прямой суммы X = X1 X2 Xm: Тогда в X существует базис (равный объединению базисов подпространств Xk; 1 k m), относительно которого матрица A оператора A имеет блочно-диагональный

вид

где Ak - матрица оператора Ak (1 k m) относительно базиса в Xk

(являющегося частью выбранного базиса в X ). Для матрицы A вида (6) используется запись A = A1 A2 Am; а матрицу A называют прямой суммой матриц Ak; k = 1; : : : ; m:

В следующей теореме показано, что изучение операторов в основном сводится к изучению его частей (при условии, что оператор задается их прямой суммой).

Т е о р е м а 6. Пусть оператор A 2 L(X) допускает разложение

A = A1 Am относительно прямой суммы X = X1 Xm:

Тогда имеют место следующие свойства

1)оператор A обратим тогда и только тогда, когда обратимы все операторы Ak; k = 1; : : : ; m;

2)если оператор A обратим, то он допускает разложение вида A 1 =

A1 1 A2 1 Am1 относительно той же прямой суммы X = X1 X2

Xm;

(A I)x = (A1 I1)x1 + + (Am Im)xm;

между разложениями пространства в прямую сумму и проекторами с целью изложения другого подхода полученных в этом параграфе результатов, придав им более алгебраический характер.

Лемма 3. Подпространство M из линейного пространства X инвариантно относительно оператора A 2 L(X) тогда и только тогда, когда имеет место равенство P AP = AP для некоторого проектора P из L(X), обладающего свойством ImP = M:

202 Глава 3. Линейная алгебра

Доказательство. Пусть M - инвариантное подпространство оператора A и P 2 L(X) - некоторый проектор на M (т.е. ImP = M ). Тогда

AP x 2 M 8x 2 X и поэтому P AP x = AP x 8x 2 X:

Обратно, если P AP = AP для некоторого проектора P 2 L(X) с

ImP = M; то для любого вектора m 2 M получаем Am = AP m = P AP m = = P Am 2 M: Лемма доказана.

Лемма 4. Оператор A 2 L(X) допускает разложение относительно прямой суммы X = X1 Xm своих подпространств Xk; k = 1; : : : ; m тогда и только тогда, когда он перестановочен с операторами проектирования

Pk; k = 1; : : : ; m на подпространства Xk; k = 1; : : : ; m параллельно остальным подпространствам.

Доказательство проведем для m = 2 (общий случай рассматривается аналогично). Пусть A допускает разложение относительно прямой суммы

X = X1 X2 и P1 - проектор на X1 параллельно X2 . Каждый вектор x 2 X

представим в виде x = x1 + x2; xk 2 Xk; k = 1; 2 и тогда имеют место равенства

AP1x = Ax1 = P1(Ax1 + Ax2) = P1Ax:

Допустим теперь, что AP1 = P1A: Тогда для любого вектора x1 2 X1

получаем

Ax1 = AP1x1 = P1Ax1 2 X1:

Аналогично для любого x2 2 X2

Ax2 = A(I P1)x2 = (I P1)Ax2 2 X2:

Т е о р е м а 7. Пусть A 2 L(X) - оператор простой структуры со спектром (A) = f 1; : : : ; mg: Тогда имеет место представление вида

где Pk - проектор на собственное подпространство E( k; A) (1 k m) оператора A параллельно другим собственным подпространствам. Представле-

ние вида (11) называется спектральным представлением или разложением

оператора простой структуры.

Доказательство. Из теоремы 4 следует, что X = E( 1A)

E( mA); и поэтому каждый вектор x 2 X можно представить в виде x = x1 + + xm = P1x + + Pmx; где xk 2 E( k; A); 1 k n: Тогда

Ax = Ax1 + + Axm = 1x1 + + mxm = 1P1x + + mPmx;

т.е. имеет место представление (11). Теорема доказана.

Т е о р е м а 8. Пусть A 2 Matrn(K) - матрица простой структуры со спектром (A) = f 1; : : : ; mg: Тогда имеет место представление (называемое спектральным)

A = 1P1 + + mPm;

где Pk; k = 1; ; m - идемпотентные матрицы, для которых выполнены

1.Докажите, что P 2 L(X) - проектор тогда и только тогда, когда его матрица P (в некотором базисе из X ) идемпотентна.

2.Докажите, что каждый проектор P является оператором простой структуры и что (P ) f0; 1g; причем (P ) = f0; 1g; если P 6= 0 и

P 6= I:

3.Пусть P 2 L(X) - проектор. Докажите существование базиса в X тако-

го, что матрица P проектора P имеет блочно-диагональный вид

где E1 - единичная матрица порядка k = rang P .

4.Какие из следующих операторов Ai : Pn(C) ! Pn(C); i = 1; 2; : : : ; 5

являются проекторами

5.Докажите, что след каждого проектора (идемпотентной матрицы) является целым числом, равным рангу проектора (матрицы).

6.Докажите, что каждый оператор, подобный проектору, является проектором.

7.Докажите, что если проекторы P1 и P2 перестановочны, то их произве-

9.Докажите, что ядро и образ линейного оператора A 2 L(X) инвариантны относительно A.

10.Докажите, что операторы A и A I; 2 K имеют одни и те же инвариантные подпространства.

11.Докажите, что если оператор A 2 L(X) обратим, то A и A 1 имеют одни и те же инвариантные пространства.

12.Пусть операторы A и B перестановочны. Докажите, что образ и ядро оператора A инвариантны относительно B.

13.Докажите, что любое собственное подпространство оператора A 2 L(X)

инвариантно относительно любого перестановочного с ним оператора

B 2 L(X).

14.Пусть оператор A 2 L(X) имеет n = dim X различных собственных значений. Докажите, что каждый оператор B 2 L(X), перестановочный с ним, является оператором простой структуры и собственные векторы оператора A будут являться собственными векторами оператора B.

15.Докажите, что любые два перестановочных линейных оператора

A; B 2 L(X), где X - комплексное пространство, имеют общий собственный вектор.

16.Докажите, что оператор дифференцирования D : Pn(K) ! Pn(K) не приводится никакой парой подпространств.

17. Найдите инвариантное подпространство линейного оператора A =

= C2 ! C2; Ax = (x1 + x2; x1 x2); x = (x1; x2):

18.Пусть H - евклидово пространство. Найдите условия, при которых оператор Ax = (x; a)b; a; b 2 H является проектором.

19.Пусть P1; : : : ; Pm - разложение единицы. Докажите линейную независимость проекторов P1; : : : ; Pm (как элементов пространства операторов).

20.Пусть A 2 L(X) и P 2 L(X) - проектор на подпространство X1 X:

Докажите, что оператор A перестановочен с p тогда и только тогда, когда подпространства X1 и X2 = Im(I P ) являются инвариантными для A.

x29. Многочлены от операторов и матриц

Впредыдущем параграфе было введено понятие прямой суммы операторов и показано, что изучение исходного оператора A, допускающего представление A = A1 A2 Am; по существу сводится к изучению его частей Ak; 1 k m: Для оператора A простой структуры эти части являются скалярными операторами (Ak = kIk) и поэтому их изучение совсем просто.

Однако при использовании разложений операторов возникает ряд вопросов. Во-первых, следует выяснить, насколько элементарными (простыми) могут быть части оператора, прямой суммой которых он является. Вовторых, конкретный способ построения этих частей.

Выяснение этих вопросов осуществляется нами с помощью многочленов от операторов, которые рассматриваются в этом параграфе.

Рассмотрим три алгебры: P(K) - алгебра многочленов, L(X) - алгебра линейных операторов, действующих в конечномерном линейном пространстве X (над полем K ) и Matrn(K) - алгебра матриц (n = dim X ). Будем считать, что в X выбран базис e1; : : : ; en , так что можно рассмотреть алгебраический изоморфизм M : L(X) ! Matrn(K); построенный в x 20.

Пусть A - некоторый оператор из алгебры L(X). Каждому многочлену

p(z) = p0+p1z+ +pkzk из алгебры P(K) поставим в соответствие оператор p(A) из L(X), положив

p(A) = poA0 + p1A + + pkAk; A0 = I:

Определение 1. Оператор p(A) назовем многочленом от оператора A. Таким образом, каждому многочлену p поставлен в соответствие оператор p(A) (оператор A 2 L(X) фиксирован). Получено отображение A из

алгебры P(K) в алгебру L(X).

Т е о р е м а 1. Отображение A : P(K) ! L(X) является гомоморфизмом алгебр, т.е. имеют место следующие свойства