Лекции по алгебре.Баскаков

Упражнения к § 35

1.Пусть P 2 L(H) - проектор вида P x = (x; x0)y0; ; где (x0; y0) = 1:

Докажите, что p y = (y; y0)x0; y 2 H0:

3. Докажите, что проектор P : H ! H является ортогональным тогда и только тогда, когда jjP jj 1 (указание: используйте теорему 6 из x 17).

4.Пусть A и B - самосопряженные операторы из L(H) и ; 2 R. Докажите самосопряженность оператора A + B и антисамосопряженность оператора AB BA:

5.Докажите, что если оператор A 2 L(H) удовлетворяет одному из условий:

1) A - нормальный оператор, 2) A - самосопряженный оператор, 3)

A - унитарный оператор, то матрица A оператора A в любом ортонормированном базисе является соответственно

10) нормальной, 20) симметрической, 30) унитарной.

6.Пусть A - самосопряженный оператор из L(X): Верно ли, что его матрица относительно любого базиса в H является симметрической (указание: рассмотрите евклидово пространство R2 )?

7.Пусть A 2 L(H) - нормальный оператор и f 2 P(C): Докажите, что f(A) - нормальный оператор.

8.Пусть A - самосопряженный оператор из L(H): Докажите унитарность

оператора eiA: Верно и обратное: каждый унитарный оператор

U 2 L(H) представим в виде U = eiA; где A = A 2 L(H):

258 Глава 3. Линейная алгебра

13. Приведите пример двух самосопряженных операторов, произведение которых не было бы самосопряженным оператором.

14. Докажите, что для самосопряженности оператора необходимо и достаточно, чтобы его матрица в каком-нибудь ортонормированном базисе была самосопряженной.

15. Докажите, что для любого оператора A 2 L(H) операторы A + A ;

2

A A ; A A; AA самосопряжены.

2i

16. Пусть m 2 N: Докажите, что уравнение

Xm = A; A = A

имеет единственное самосопряженное решение X 2 L(H) при нечетном m и имеет решение, если m четно и спектр оператора A неотрицателен.

17. Найдите ортонормированный базис из собственных векторов симметри-

Найдите eiA и eiB:

18.Пусть A 2 L(H) - оператор ранга один, т.е. Ax = (x; a)b: Найдите условия на векторы a; b; при которых он 1) нормален; 2) самосопряжен.

19.Пусть A 2 L(H) - самосопряженный оператор. Докажите, что а) f(A) - самосопряженный оператор, если f 2 P(R);

б) A 1 - самосопряженный оператор, если обратим A;

в) (f=g)(A) - самосопряженный оператор, если f; g 2 P(R) и g не обращается в нуль на (A):

20.Докажите, что нормальный оператор A 2 L(H) самосопряжен тогда и только тогда, когда (A) R:

21.Докажите, что ранг самосопряженного оператора равен числу его ненулевых собственных значений (каждое считается столько раз, какова его алгебраическая кратность).

22.Пусть A 2 Matrn(C) - симметрическая матрица. Докажите веществен-

ность ее следа trA: Установите неравенство для rang A :

: rangA (trA)2=trA2:

23.Докажите, что множество унитарных операторов образует группу (по умножению операторов).

24.Докажите, что модуль определителя унитарного оператора равен единице.

25.Докажите, что нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда модуль каждого ее собственного значения равен 1.

26.Докажите унитарность матрицы, столбцы которой образуют ортонормированный базис в Kn:

27.Рассмотрим отображение T : Sn ! U(H); где T ( ) = A - оператор перестановок базиса e1; : : : ; en в H (см. пример 1). Докажите, что отображение T является гомоморфизмом группы Sn в группу U(H) унитарных операторов.

28.Докажите, что оператор A имеет спектральное представление вида (3)

i2 k

из x 36, где k = e m ; k = 0; 1; : : : ; m 1; если - циклическая переста-

новка и m - порядок перестановки :

i2 K

29.Докажите включение (A') fe m : k = 0; 1; : : : ; m 1g; где m - порядок перестановки ' 2 Sn:

30.Пусть 2 Sn: Докажите, что оператор перестановок A 2 L(H)

(dim H = n) можно представить в виде A = A 1 A 2 A k ;

называется циркулянтной. Докажите, что ее спектр имеет вид

(A) = fa0 + a1 j + + an 1 jn 1 : j = 0; : : : ; n 1g;

где 0; : : : ; n 1 - различные корни из единицы, а соответствующие собственные векторы xj; j = 1; : : : ; n 1 имеют вид xj = (1; j; j2; : : : ; jn 1); j = 0; : : : ; n 1 (указание: рассмотрите унитарную матрицу B из при-

мера 1, x 31; тогда A = '(B); где '( ) = a0 + a1 + + an 1 n 1):

проектор P 2 L(H); P x = (x; y0)x0; x 2 H обладает свойствами:

1)AP = P A = P; A P = P A = P ;

2)P (A P ) = 0;

L

3) H = H1 H2; где H1 = ImP = f x0; 2 Kg; H2 = Im(I P ) = = KerP = fx 2 H : (x; x0) = 0g; и подпространства H1; H2 являются инвариантными для A.

S

4) (A) = (A1) (A2); где Ai(i = 1; 2) - сужение A на Hi; (A1) = = f g; причем (A2) = (A)nf g; если алгебраическая кратность собственного значения равна единице (т.е. собственное значение оператора A простое).

x 36. Структурная теория самосопряженных и унитарных операторов в вещественных евклидовых пространствах

Основные результаты предыдущего параграфа содержатся в теоремах 2 - 4, которые были получены для операторов, действующих в комплексных евклидовых пространствах, что, разумеется, связано с использованием основной теоремы высшей алгебры.

Для изучения линейных операторов в вещественных евклидовых пространствах здесь используется подход, связанный с использованием расширения вещественного пространства ("выхода"в комплексное евклидово пространство) и распространения рассматриваемых операторов в более широкое пространство.

Пусть H - вещественное евклидово пространство. Расширение пространства H осуществим по схеме, близкой к расширению поля R до поля C:

А именно, рассмотрим (вещественное) линейное пространство H = H H = H2: Для каждого комплексного числа + i и любой пары (x; y) из

H H положим

( + i )(x; y) = ( x y; x + y):

Легко проверяется, что после так введенной операции умножения векторов из H на комплексные числа H становится комплексным линейным пространством. Каждую пару (x; y) 2 H удобно обозначать также символом x + iy

(отождествляя элементы вида (x; 0) с x и (0; y) c iy).

Построенное комплексное пространство H имеет ту же размерность, что

и H: Если e1; : : : ; en - базис в H , то они образуют базис в H: Оставляя читателю проверку их линейной независимости (см. упражнение 1), рассмотрим

В комплексном линейном пространстве H введем скалярное произведение следующей формулой

(x1 + iy1; x2 + iy2) = (x1; x2) + (y1; y2) + i(x2; y1) i(x1; y2):

Определение 1. Построенное комплексное евклидово пространство H

называется комплексификацией евклидова пространства H:

Определение 2. Пусть A 2 L(H): Линейный оператор A 2 L(H);

определенный формулой

A(x + iy) = Ax + iAy; x + iy 2 H;

называется расширением оператора A на H:

Теперь вместо изучения оператора A в пространстве H мы займемся изучением оператора A: При этом окажется, что операторы A и A имеют ряд одинаковых свойств, которые отмечаются в следующих замечаниях.

Замечание 1. Матрица A оператора A (относительно выбранного нами в H базиса) совпадает с матрицей A оператора A. Следовательно, она имеет вещественные коэффициенты. В частности, это означает, что операторы A и

A имеют одинаковые характеристические многочлены pA = pA) и их коэффициенты вещественны.

Замечание 2. Пусть A 2 L(H) и A - его сопряженный оператор. Тогда

из следующих равенств

(A(x1+iy1); x2+iy2) = (Ax1+iAy1; x2+iy2) = (Ax1; x2)+(Ay1; y2)+i(Ay1; x2)

i(Ax1; y2) = (x1; A x2) + (y1; A y2) + i(y1; A x2) i(x1; A x2) = = (x1 + iy1; A x2 + iA y2) = (x1 + iy1; A (x2 + iy2))

следует, что сопряженный A к A; оператор является расширением самосо-

пряженного к A оператора A .

Отсюда, в частности, следует, что если A - нормальный оператор, то таким же будет оператор A (следует учесть при этом равенство AB = A B; A; B 2 L(H)); если A - самосопряженный оператор, то A - самосопряженный оператор и, наконец, расширение U унитарного оператора U 2 L(H)

является унитарным оператором.

Замечание 3. Ввиду вещественности коэффициентов характеристического многочлена pA; наряду с любым невещественным корнем = + i корнем этого многочлена является также число = i : Если x + iy 2 E( ; A), т.е. если A(x + iy) = (x + iy), или Ax + iAy = ( + i )(x + iy) = x y + i( x + y); то из последнего равенства следует, что A(x

iy) = (x iy) и, самое главное, получаем следующие равенства

Ax = x y;

(1)

Ay = x + y:

Векторы x + iy; x iy из H линейно независимы (как собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям и оператора A). Поэтому будут линейно независимы векторы x и y (как элементы пространства

H ).

Из равенств (1) следует, что двумерное подпространство H2 из H , образованное двумя векторами x и y, инвариантно относительно оператора A

и матрица сужения оператора A на H2 относительно базиса x; y в H2 имеет вид

Если же - вещественное собственное значение оператора A (то есть, если = 0); то A(x+iy) = Ax+iAy = x+i y; и поэтому Ax = x; Ay = y;

т.е. x; y 2 E( ; A): Следовательно, E( ; A) = fx + iy : x; y 2 E( ; A)g:

Из проведенных рассуждений следует

Т е о р е м а 1. Каждый оператор A 2 L(H) имеет одномерное (имеет собственный вектор) или двумерное инвариантное подпространство.

Допустим теперь, что A - нормальный оператор из L(H): Тогда его расширение A также является нормальным оператором и, согласно теореме 2 из x 35 и замечанию 3, оператор A допускает разложение A = 1I1 1I1

kIk kIk 2k+1I2k+1 mIm относительно ортогональной прямой

суммы H = E( 1; A) E( 1; A) E( k; A) E( k; A) E( 2k+1; A)

E( m; A), где 1; : : : ; k - невещественные собственные значения оператора A; 2k+1; : : : ; m - его вещественные собственные значения,

Ij; j = 1; : : : ; k - тождественные операторы в E( j; A):

Как было выяснено в замечании 3, E( j; A) = fx iy : x+iy 2 E( j; A)g; j = 1; : : : ; k; и, следовательно, dim E( j; A) = dim E( j; A); j = 1; : : : ; k. Из взаимной ортогональности векторов x + iy 2 E( j; A); x iy 2 E( j;

A)(1 j k) получаем, что 0 = (x + iy; x iy) = (x; x) (y; y) + 2i(x; y) т.е.(x; y) = 0: Таким образом, выбрав ортонормированный базис x` + iy`; ` = 1; : : : ; dim E( j; A) в каждом подпространстве E( j; A) (1 j k);

мы получим, что векторы x`; y`; ` = 1; : : : ; dim E( j; A) линейно независимы и взаимно перпендикулярны. Из проведенных выше рассуждений следует, что эти векторы образуют базис в E( j; A) E( j; A).

В каждом из подпространств E( j; A); j = 2k + 1; : : : ; m выбираем ор-

тонормированный базис из собственных векторов оператора A (отвечающих тому же собственному значению j ).

Объединение выбранных базисов в собственных подпространствах оператора A является базисом в H (так и в H ), и матрица A 2 Matrn(R)

оператора A будет иметь блочно-диагональный вид

Если A - самосопряженный оператор, то матрица A - диагональная с собственными значениями по диагонали, которые вещественны.

Если A - унитарный оператор, то ввиду равенств j = expi j; 0j < 2 ; j = 1; : : : ; k матрица A имеет вид (3), где j = cos j и j = sin j:

Итогом проведенных рассуждений является

Т е о р е м а 2. 1. Если A - нормальный оператор из L(H); то в H

существует ортонормированный базис такой, что матрица A оператора A в

этом базисе имеет вид (3).

2.Если A - самосопряженный оператор, то указанный ортонормированный базис может быть образован из собственных векторов оператора A, а матрица A диагональна (с собственными значениями по диагонали).

3.Если A - унитарный оператор, то элементы матрицы A имеют вид

j = cos j; j = sin j; 1 j k и каждое из чисел 2k+1; : : : ; m равно либо 1, либо -1.

Определение 3. Пусть размерность евклидова пространства H равна 2. Оператор U 2 L(H) называется оператором поворота (на угол '); если существует ортонормированный базис e1; e2 и число ' 2 (0; 2 ); ' 6= ) такие,