Лекции по алгебре.Баскаков

Итак, ввиду замечания 2 для изучения системы вида (1) является важным выполнение условий инъективности и сюръективности соответствующих линейных операторов.

Пусть X и Y – линейные пространства, рассматриваемые над одним и тем же полем K , где K = R или K = C. Для любого линейного оператора A 2 L(X; Y ) проверка условий его инъективности и сюръективности тесно связана со следующими множествами

KerA = fx 2 X : Ax = 0g;

ImA = fy 2 Y : 9 x 2 X; Ax = yg = A(X) = fAx : x 2 Xg;

которые называются соответственно ядром и образом линейного оператора A (понятие образа отображения рассматривалось нами в x 3, а понятие ядра гомоморфизма групп - в определении 13 из § 5).

Лемма 1. KerA и ImA – линейные подпространства из X и Y соответственно. Условие KerA = f0g эквивалентно условию инъективности оператора A.

Доказательство. Если x; y 2 Ker A и ; 2 K; то A( x + y) =

1Ax + Ay1 = 0; :: x + y 2 KerA:

Допустим, что y1; y2 2 Im A и 1; 2 2 K: Тогда существуют элементы x1; x2 2 X такие, что yi = Axi; i = 1; 2: Следовательно, A( 1x1 +

2x2) = 1y1 + 2y2 2 ImA:

Если оператор A инъективен, то из равенства A0 = 0 следует, что Ker A = f0g: Обратно, пусть Ker A = f0g: Если Ax1 = Ax2 для некоторых векторов x1; x2 2 X; то Ax1 Ax2 = A(x1 x2) = 0: Поэтому x1 x2 = 0; т.е. x1 = x2: Лемма доказана.

Отметим, что последнее утверждение леммы следует из упражнения 18,

§ 5.

Определение 2. Размерность (dim Im A) образа Im A Y оператора

Aназывается рангом оператора A. Ранг оператора A обозначается символом rang A. Размерность подпространства Ker A называют дефектом оператора

Aи обозначают def A.

Те о р е м а 1. Пусть X и Y – конечномерные линейные пространства и A 2 L(X; Y ): Тогда имеет место равенство

dim X = dim Ker A + dim Im A = def A + rang A:

dim M = n (см.теорему 1 из x 15). Дополним базис e1; : : : ; ek из Ker A до базиса в X с помощью некоторых векторов ek+1; : : : ; en из M .

Ясно, что Im A = A(M) = fAx : x 2 Mg: Докажем, что dim Im A = n k: Для этого достаточно показать, что векторы y1 = Aek+1; : : : ; yn k = Aen линейно независимы в Y (и тогда они будут образовывать базис в Im A.) Если 1y1 + + n kyn k = 0; т.е. 1Aek+1 + + n kAen = 0; то из линейно-

!

M X и N Y такие, что X = Ker A M; Y = N Im A и сужение A0 : M ! Im A оператора A на M биективно.

Доказанная теорема служит основой для ряда важных выводов. Однако вначале дадим

Определение 3. Линейный оператор A 2 L(X; Y ) называется изоморфизмом, если он биективен.

Определение 4. Два линейных пространства X и Y (рассматриваемые над одним полем K ) называются изоморфными, если существует изоморфизм

A : X ! Y:

В связи с определением 4, полезно обратиться к определению 12 из § 5. Следующие утверждения непосредственно вытекают из теоремы 1.

Т е о р е м а 2. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковую размерность (пространства разной размерности не изоморфны).

Непосредственно из леммы 1 следует, что одновременное выполнение условий 1) Ker A = f0g; 2) Im A = Y эквивалентно биективности оператора A (обратимости этого оператора). В действительности из теоремы 1 следует более сильное утверждение.

Т е о р е м а 3. Пусть размерности линейных пространств X и Y совпадают. Тогда оператор A 2 L(X; Y ) является изоморфизмом, если выполнено одно из следующих условий:

1)Ker A = f0g ( т.е. A инъективен);

2)Im A = Y ( т.е. A сюрьективен). Отметим еще один результат.

Т е о р е м а 4. Два конечномерных пространства X и Y изоморфны тогда и только тогда, когда dim X = dim Y:

Доказательство. Пространства разной размерности не изоморфны (см. теорему 2) и поэтому необходимость условия ясна.

Пусть dim X = dim Y; e1; : : : ; en – базис в X и f1; : : : ; fn – базис в Y . Рассмотрим линейный оператор A : X ! Y; определенный формулой

!

n n

XX

Ясно, что Ker A = f0g; и поэтому из теоремы 3 следует, что A – изоморфизм. Теорема доказана.

Следствие 1. Каждое линейное пространство X (над полем K ) размерности n изоморфно линейному пространству Kn . Если e1; : : : ; en – базис в X , то изоморфизм A : X ! Kn задается формулой

Ax = (x1; : : : ; xn) 2 Kn; x = x1e1 + + xnen:

Следствие 2. Линейные пространства Pn(K) и Kn+1 изоморфны. Изоморфизм A : Pn(K) ! Kn+1 можно определить формулой

Af = (f0; f1; : : : ; fn); f(z) = f0 + f1z + + fnzn:

Следствие 3. Линейное пространство Matrm;n(K) изоморфно каждому из линейных пространств (Kn)m; (Km)n: Соответствующие изоморфизмы1 : Matrm;n(K) ! (Kn)m; 2 : Matrm;n(K) ! (Km)n задаются формулами

1(A) = (a1; : : : ; am); 2(A) = (b1; : : : ; bn); A = (aij) 2 Matrm;n(K);

где a1 = (a11; : : : ; a1n); : : : ; am = (am1); : : : ; amn) – строки матрицы A и b1 = (a11; : : : ; am1); : : : ; bn = (a1n; : : : ; amn) – столбцы матрицы, рассматриваемые как элементы пространств Kn и Km соответственно.

В частности, изоморфны пространства Matr1;n(K) и Kn ,

Matrm;1(K) Km .

Т е о р е м а 5. Если A : X ! Y изоморфизм линейных пространств X и Y , то обратный оператор A 1 : Y ! X (существующий в силу теоремы 1 из x 3) также является изоморфизмом.

Доказательство. Поскольку обратное отображение к биективному отоб-

A 1( 1y1 + 2y2) = 1x1 + 2x2 = 1A 1y1 + 2A 1y2: Теорема доказана.

Будем далее считать линейные пространства X и Y нормированными. Определение 5. Линейные нормированные пространства X и Y называются изометрически изоморфными, если существует изоморфизм

A : X ! Y; обладающий свойством

kAxk = kxk 8x 2 X

(и, значит, kAk = kA 1k = 1):

Изометрически изоморфные линейные пространства имеют одинаковые алгебраические и геометрические свойства, если отвлечься от природы элементов этих множеств.

Вернемся к рассмотрению системы уравнений вида (1) (уравнения (2)) при условии, что n = m. Учитывая замечание 2, из теоремы 3 получаем следующее утверждение.

Т е о р е м а 6. Имеют место следующие утверждения:

1.Для того чтобы система уравнений (1) была совместной при любой правой части b = (b1; : : : ; bm); необходимо и достаточно, чтобы соответствующая однородная система уравнений (т.е. Ax = 0) имела только нулевое решение 0 = (0; : : : ; 0) 2 Kn:

2.Если система уравнений (1) совместна для любой правой части b =

=(b1; : : : ; bm); то она имеет единственное решение.

Т е о р е м а 7 (об общем виде решений системы уравнений (1)). Пусть x1 – некоторое решение системы уравнений (1) (и, значит, уравнения (2)). Тогда каждое решение x системы (1) представимо в виде

x = x0 + x1;

где x0 – некоторое решение однородной системы уравнений вида (1). Доказательство. Пусть x – произвольное решение системы (1) и по-

этому Ax = b, где A – линейный оператор, задаваемый с помощью матрицы (aij) . Так как Ax1 = b, то A(x x1) = b b = 0; т.е. для x0 = x x1 имеем Ax0 = 0; и поэтому x = x0 + x1: Теорема доказана.

Упражнения к § 19

D : Pn(K) ! Pn(K): Чему равен ранг этого оператора?

2.Найдите ядро, образ и ранг оператора A : R3 ! R3 , если он задается одной из следующих формул

a) Ax = (x1 + x2 x3; x1 + x2 x3; x1 + x2 x3);

b) Ax = (2x1 x2 x3; x1 2x2 + x3; x1 + x2 2x3); c) Ax = (0; x1 x2; x1 + x3); x = (x1; x2; x3) 2 R3:

3.Приведите пример линейного оператора из L(R3) такого, что R3 не является прямой суммой ядра и образа этого оператора.

4.В пространстве Pn(K) постройте два различных линейных оператора с одним ядром и образом.

5.Пусть M – подпространство из конечномерного пространства X и N –

A 2 L(X; Y ), для которого M = Ker A N = Im A:

6. Пусть A 2 L(X; Y ) и подпространство L из Y содержится в образе Im A оператора A. Докажите, что прообраз A 1(L) подпространства L является подпространством в X и его размерность равна dim L+def A:

7.Рассмотрите линейный оператор T : Pn(C) ! Cm , определенный формулой

T ' = ('(z1); '(z2); : : : ; '(zm));

где z1; : : : ; zm – различные числа из C: Найдите размерность ядра и ранг этого оператора.

8.Найдите ядро и образ линейного оператора интегрирования J : Pn 1(R) ! Pn(R); определенного формулой

Z t

(J')(t) = '(s)ds:

0

Будет ли он инъективным, сюръективным, биективным?

9.Докажите, что ранг суммы двух операторов не превосходит суммы рангов операторов.

10.Докажите, что каждый линейный оператор A : X ! Y ранга 1 имеет

вид Ax = (x)b; x 2 X; где 2 X и b – некоторый вектор из Y .

11.Пусть A; B 2 L(X; Y ) имеют ранг 1, одно и то же ядро и одинаковый образ. Докажите, что A и B коллинеарны.

12.Докажите, что любой линейный оператор ранга r представим в виде суммы r линейных операторов ранга 1, но не представим в виде суммы меньшего числа операторов ранга 1.

13.Какие из следующих множеств линейных операторов из L(X; Y ) являются подпространствами

1)множество всех операторов ранга 1;

2)множество всех операторов ранга k (k 1);

3)множество всех операторов, ядра которых содержат некоторое фиксированное подпространство;

4)множество всех инъективных операторов;

5)множество всех сюръективных операторов;

6)множество всех операторов, множество значений которых лежит в заданном подпространстве из Y ?

14. Докажите, что n линейных функционалов fi : X ! K; 1 i n; где X - линейное пространство размерности n, линейно независимы тогда и только тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпространство.

x20. Линейные операторы и матрицы. Алгебры линейных операторов и алгебры матриц

Всюду в этом параграфе X; Y – два конечномерных линейных пространства (над полем K ) с базисами e1; : : : ; en и f1; : : : ; fm соответственно. Излагаемые здесь результаты относятся к изучению взаимосвязи линейных операторов и их матриц (пространств L(X; Y ) и Matrm;n(K)).

Т е о р е м а 1. Линейное пространство L(X; Y ) изоморфно линейному пространству матриц Matrm;n(K). Изоморфизм M : L(X; Y ) ! Matrm;n(K) можно определить формулой

где A = (aij) 2 Matrm;n(K) – матрица оператора A (относительно заданных в X и Y базисов).

Доказательство. По доказанному ранее,

dim L(X; Y ) = dim Matrm;n(K) = mn

и, следовательно, пространства L(X; Y ) и Matrm;n(K) изоморфны. Изоморфизм пространств одинаковой размерности был установлен в теореме 4 из x 19 и строился он так: базисные векторы одного пространства переводились в базисные векторы другого пространства. На том же принципе основано и построение изоморфизма M , определенного формулой (1).

то M(Iij) = Eij , т.е. M : L(X; Y ) ! Matrm;n(K) – изоморфизм согласно теореме 4 из x 19. Теорема доказана.

Наряду с пространствами X и Y рассмотрим еще одно конечномерное линейное пространство Z . Пусть A 2 L(Y; Z) и B 2 L(X; Y ) – два линейных оператора. Тогда естественным образом определена их суперпозиция (см. x 3)

A B : X ! Z; которая задается формулой

(A B)(x) = A(Bx); x 2 X;

Лемма 1. Суперпозиция A B : X ! Z является линейным оператором.

Доказательство. Для любой пары векторов x1; x2 2 X и любой пары чисел 1; 2 2 K имеют место равенства

(A B)( 1x1 + 2x2) = A(B( 1x1 + 2x2)) = A( 1Bx1 + 2Bx2) =

1(A B)x1 + 2(A B)x2:

Замечание 1. Суперпозиция A B линейных операторов далее назы-

вается произведением операторов и обозначается символом AB.

Вычислим матрицу оператора AB : X ! Z; если известны матрицы

A = (aik) 2 Matrp;m(K); B = (bkj) 2 Matrm;n(K) операторов A : Y ! Z и

Из этих равенств получаем, что имеет место

Лемма 2. Матрица (cij) 2 Matrp;n(K) оператора C = AB определяется равенствами

Свойство ассоциативности операции умножения было ранее установлено для общих отображений (§ 3).

Осталось проверить, что A является кольцом, т.е. выполнены условия 1) - 3) из определения 1, x 7: Свойства 1) и 3) выполнены. Поэтому проверке подлежит выполнение равенств из свойства 2). Докажем только первое из них (второе устанавливается аналогично). Пусть x 2 X . Тогда для любых трех операторов A; B; C 2 L(X) имеют место равенства

((A + B)C)x = (A + B)(Cx) = A(Cx) + B(Cx) =

= (AC)x + (BC)x = (AC + BC)x:

Теорема доказана.

Т е о р е м а 4. Пусть dim X 2: Тогда L(X) - некоммутативная

алгебра, не являющаяся полем.

Доказательство. Так как dim X 2; то dim L(X) (dim X)2 4:

Пусть Iij; 1 i; j n - обычный базис в L(X). Тогда I12I21 = I11 6= I21I12 =

= I22; т.е. L(X) - некоммутативная алгебра.

Поскольку Rang Iij = 1 8i; j = 1; : : : ; n; то Im(I(ij)) 6= X и поэтому все

операторы Iij; 1 i; j n необратимы. Теорема доказана.

Замечание 4. Если dim X = 1; то алгебра L(X) изоморфна полю K ,

так как любой оператор A 2 L(X) имеет вид Ax = x; x 2 X; где 2 K:

Теперь рассмотрим линейное пространство квадратных матриц

Matrn(K) = Matrn;n(K): Нами было определено произведение матриц. В случае квадратных матриц A = (aij); B = (bij) из Matrn(K) их произведение AB есть матрица (cij) из Matrn(K); которая определяется равенствами (см. равенства (2))

k=1

Непосредственно из теоремы 1 следует, что линейные пространства L(X) и

Matrn(K) (n = dim X) изоморфны и изоморфизм задается линейным оператором M : L(X) ! Matrn(K); определенным формулой (1) (при X = Y ):