Лекции по алгебре.Баскаков

13.Докажите, что если f и g – движения, то f 1 и f g также являются движениями.

14.Докажите, что в абелевой группе G множество элементов вида fg2 : g 2 Gg образует подгруппу в G.

15.Докажите, что если H1 и H2 – нормальные подгруппы из группы G и

18.Докажите, что гомоморфизм f : G ! S групп является инъективным отображением тогда и только тогда, когда Kerf = feg:

19.Докажите, что любые две группы, состоящие из трех элементов, изоморфны.

20.Пусть Z – группа целых чисел (по сложению). Какие из следующих отображений fk : Z ! Z; k = 1; 2; 3 являются гомоморфизмами группы

Z :

1)f1(m) = m + 1; 2)f2(m) = 2m; 3)f3(m) = m; m 2 Z:

Какие из гомоморфизмов являются изоморфизмами?

21.Пусть f : G ! S – гомоморфизм групп. Докажите, что образ f(G) отображения f является подгруппой группы S .

22.Пусть A – некоторая вершина правильного тетраэдра. Докажите, что множество самосовмещений тетраэдра, оставляющих неподвижной точку A, есть группа, изоморфная группе перестановок S3:

23.Докажите, что группа самосовмещений правильного тетраэдра изоморфна группе S4 .

24.Докажите, что множество всех самосовмещений куба, оставляющих неподвижной некоторую его вершину, есть группа. Опишите эту группу.

25.Пусть G – группа и a – некоторый элемент из G. Докажите, что отображение f : G ! G; f(g) = a g a 1 является изоморфизмом группы

G.

26. Пусть G – группа. Докажите, что отображение f : G ! G; f(g) = g 1; g 2 G является гомоморфизмом группы G тогда и только тогда, когда G – абелева группа.

27.Докажите, что группа перестановок S(A) конечного множества A = fa1; : : : ; ang изоморфна симметрической группе Sn .

28.Найдите фактор-группы G=G0 и G=G, где G0 – подгруппа из G, состоящая только из единичного элемента e (G0 = feg):

29.Пусть f : G ! S – гомоморфизм групп. Докажите, что группа f(G) изоморфна фактор-группе G=Ker f:

30.Найдите (с точностью до изоморфизма) фактор-группу R=Z:

31.Докажите, что натуральное число (m 1)! + 1 делится на простое число m 2 N (указание: рассмотрите группу Z=mZ и докажите, что если G -

группа из m элементов, то gm = e 8g 2 G):

x 6. Группы перестановок

В этом параграфе более подробно остановимся на изучении группы S(An) перестановок конечного множества An = fa1; a2; : : : ; ang и, в частности, симметрической группы Sn = S(f1; : : : ; ng): Важность изучения групп перестановок связана с теоремой Кэли (см. теорему 8), в которой утверждается, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы Sn для подходящего n.

Т е о р е м а 1. Число Pn перестановок множества An равно n!. Доказательство теоремы проведем индукцией по числу n. Если

n = 1, то группа S(A1) состоит только из тождественного отображения. Поэтому P1 = 1!.

Число элементов в каждом из этих множеств одно и то же и, следовательно, равно числу элементов множества M1 , которое, очевидно, равно числу перестановок множества fa2; a3; : : : ; ang; т.е. числу Pn 1 = (n 1)!: Поэтому Pn = n(n 1)! = n! Теорема доказана.

Определение 1. Пусть ' = (ak1 ; ak2 ; : : : akn) – некоторая перестановка множества An = fa1; : : : ; ang: Если найдется пара (ki; kj), такая, что i < j, но ki > kj , то будем говорить, что пара (aki; akj ) образует инверсию. Общее

число инверсий перестановки ' обозначим символом N('): Если N(') –

четное число, то перестановка называется четной, а если N(') нечетно, то

– нечетной.

нечетная.

Определение 2. Символом sign : S(An) ! f1; 1g обозначим отображение из группы S(An) в группу f1; 1g (см. пример 3 из x 5), определенное формулой sign(') = ( 1)N('):

Определение 3. Перестановка ' 2 S(An), переставляющая только два элемента (остальные остаются на месте), называется транспозицией.

многоточиями заменены числа, остающиеся на месте. Легко видеть, что sign(') = 1 для любой транспозиции ' 2 S(An):

Т е о р е м а 2. sign( ') = sign(' ) = sign(') 8' 2 S(An) и

для любой транспозиции :

Доказательство проведем для симметрической группы Sn; так как в общем случае оно проводится аналогично. Аналогично проводимому доказательству устанавливается равенство sign' = sign':

и ту же инверсию с числами, остающимися на месте. Если пара (ki; ki+1) не образовывала инверсии, то в новой перестановке ' появляется одна новая инверсия, т.е. число инверсий увеличивается на единицу. Если же эта пара образует инверсию, то в перестановке ' она не будет образовывать инверсию, т.е. число инверсий уменьшится на единицу. И в том, и другом случае

2 – числа i + 1 и i + 2 и т.д.

Наконец, транспозиция m будет переставлять местами числа j и j 1. Тогда sign ' = (sign ')( 1)2m 1 = sign ': Теорема доказана.

Т е о р е м а 3. Всякая перестановка ' 2 S(An); An = fa1; : : : ; ang может быть разложена в произведение (суперпозицию) транспозиций, причем число сомножителей четно, если она четна и нечетно, если ' – нечетная перестановка.

Доказательство проведем индукцией по числу n. Если n = 2, то S(A2)

являющейся транспозицией, причем, e = '2 = ' ':

Допустим теперь, что наше утверждение доказано для n 1 и докажем его для n.

из группы S(An). Вначале предположим, что k1 6= 1 и '(am) = a1 при

Ввиду свойства f(a1) = a1 , перестановку f по сути дела можно рассматривать как перестановку только n 1 элементов a2; : : : ; an; которую в силу индуктивного предположения, можно представить в виде суперпозиции транспозиций. Следовательно, это же верно и для '. Случай k1 = 1 в силу проведенных рассуждений очевиден. Теорема доказана.

Т е о р е м а 4. Отображение sign : S(An) ! f1; 1g является гомоморфизмом групп.

Доказательство. Пусть f; ' – две перестановки из S(An); которые в силу теоремы 3 можно представить в виде суперпозиций транспозиций f = f1 fm; ' = '1 'k и тогда f ' = f1 fm '1 'k: Из теоремы 2 получаем, что sign(f ') = ( 1)m+k = sign(f)sign('): Теорема доказана.

Следствие 1. sign(') = sign(' 1); ' 2 S(An):

Утверждение следствия следует из равенств

sign(' ' 1) = sign(')sign(' 1) = 1:

Следствие 2. Множество четных перестановок из S(An) образует нормальную подгруппу.

Доказательство. Если f – четная перестановка и ' – произвольная перестановка из S(An), то sign(' f ' 1) = sign(')sign(f)sign(' 1) = 1:

Проверка того факта, что четные перестановки образуют подгруппу отнесены

вупражнение 10. Следствие доказано.

Квопросам о разложении перестановок в произведение транспозиций и определения их четности (нечетности) можно подойти несколько по-другому, используя следующие понятия.

Определение 4. Элемент x0 из множества X называется неподвижной точкой отображения ' : X ! X , если '(x0) = x0: Если же '(x0) 6= x0; то

движных точек состоит из двух чисел 1 и 4, а числа 2,3 и 5 являются ее подвижными точками.

Определение 5. Перестановка ' 2 S(An) называется циклической или циклом, если для любой пары (a; b) подвижных точек из An существует такое натуральное число m, что 'm(a) = b: Число подвижных точек цикла называется длиной цикла.

является циклической, так как подвижными ее точками являются числа 2,3,6,8, причем ' переводит число 2 в 8, 8 в 3, 3 в 6, а 6 снова в 2. Длина цикла равна 4.

Отметим, что циклами являются транспозиции.

Непосредственно из определения циклической перестановки следует, что ее граф можно представить в виде объединения непересекающихся связных

графов вида

Рис. 10

Так граф, рассмотренной в примере 1 перестановки '; имеет вид

Лемма. Взаимно простые перестановки перестановочны. Доказательство. Пусть f; ' – две взаимно простые перестановки из

S(An) и a 2 An . Если a – неподвижная точка обеих перестановок f и ', то

(f ')(a) = f('(a)) = f(a) = a и аналогично (' f)(a) = a:

Пусть теперь b = f(a) 6= a и, значит, f(b) 6= b (иначе отображение f не инъективно). Следовательно, '(a) = a и '(b) = b: Тогда

(f ')(a) = f('(a)) = f(a) = b; (' f)(a)) = '(f(a)) = '(b) = b;

т.е. f ' = ' f: Лемма доказана.

Т е о р е м а 5. Каждую перестановку f 2 S(An) можно однозначно (с точностью до порядка сомножителей) представить в виде произведения взаимно простых циклов.

Доказательство. Каждому элементу a из An поставим в соответствие множество ff(a); f2(a); : : : g, которое называется орбитой элемента a. То-

гда множество A подвижных точек из An представляется в виде объедине-

m

S

ния Mj взаимно непересекающихся множеств Mj; 1 j m, каждое

j=1

из которых является орбитой некоторого элемента из An , содержит более одной точки и поэтому f(b) 2 Mj 8b 2 Mj (см. упражнение 3). Сужение fj : Mj ! Mj перестановки f на каждое множество Mj (напомним fj(b) = f(b) 8b 2 Mj; см. определение 8 из x 3) является циклом и однозначно определяется перестановкой f . Каждую из перестановок fj расширим до некоторой перестановки fj : An ! An; положив fj(b) = fj(b) 8b 2 Mj и fj(b) = b 8b 2 Mi; i 6= j(fj называется расширением перестановки fj на An ).

Перестановки fj; 1 j m будут циклическими, и множество подвижных

точек для fj совпадает с множеством Mj . Поскольку fj(b) 2 Mj 8 b 2 Mj; 1 j m; то перестановки fj; 1 j m взаимно просты, причем f = f1

f2 fm (порядок их не играет роли ввиду перестановочности сомножителей; см. лемму). Теорема доказана.

Пример 2. Для перестановки

найдем разные орбиты. Имеем '(1) = 2; '(2) = 3; '(3) = 1; '(4) = 6; '(6) = 4; '(5) = 7; '(7) = 5; '(8) = 8: Таким образом, орбиты перестановки ' имеют вид: M1 = f1; 2; 3g; M2 = f4; 6g; M3 = f5; 7g: Сужения перестановки ' на эти множества являются перестановками вида

Расширениями этих перестановок на множество A8 (см. доказательство теоремы 5) являются перестановки

Поэтому ' = '1 '2 '3 .

Теорему 5 можно сформулировать по-иному, используя следующее

Определение 7. Подмножество G0 из группы G называется системой образующих группы G, если каждый элемент из G можно представить в виде произведения элементов из G .

Таким образом, имеет место Т е о р е м а 6. Множество всех циклических перестановок является

системой образующих группы перестановок S(An). Пусть

– некоторая циклическая перестановка. Тогда ее можно представить в виде произведения транспозиций '2 'k , где 'j 2 S(An) – транспозиция, переставляющая элементы aj 1 и aj; 2 j k. Отсюда, используя теорему 2, получаем, что sign(') = ( 1)k 1; где k – длина цикла '. Применяя теорему 4, получаем, что имеет место

Т е о р е м а 7. Транспозиции из группы S(An) являются системой

образующих этой группы, и для любой перестановки ' имеет место формула sign(') = ( 1)k1+ +km m; где k1; : : : ; km – длины взаимно простых циклов,

произведением которых является перестановка '; m – их число.

Пусть ' – перестановка из S(An). Тогда множество перестановок вида '; '2; : : : конечно, и поэтому существуют такие числа m; k; m < k; что 'k = 'm: Тогда e = ' k'k = ' k'm = 'm k , т.е. 'm k = e: Таким образом, для любой перестановки ' существует такое натуральное s, что 's = e: Этот факт оправдывает следующее

Определение 8. Пусть ' 2 S(An). Наименьшее из натуральных чисел m таких, что 'm = e; называется порядком перестановки.

Пример 3. Для циклической перестановки вида

порядок ее равен k, т.е. длине цикла.

Те о р е м а 8. Порядок перестановки ' 2 S(An), раскладывающейся

впроизведение взаимно простых циклов длины k1; : : : ; km соответственно, есть наименьшее общее кратное чисел k1; : : : ; km:

Доказательство. Согласно теореме 5, перестановку ' можно представить в виде взаимно простых циклов: ' = '1 'm . В силу леммы взаимно простые циклы перестановочны и поэтому имеет место равенство

'k = ('1 '2 'm) ('1 '2 'm) = 'k1 'k2 'km:

Из этого равенства следует (проверьте !), что 'k = e тогда и только тогда, когда 'kj = e 8j = 1; : : : ; m. Если перестановки '1; : : : ; 'm есть циклы длины k1; : : : ; km , соответственно, т.е. имеют порядок k1; : : : ; km , то наименьшее число k, для которого выполняются все равенства 'kj = e; 1 j m, равняется наименьшему общему кратному чисел k1; : : : ; km . Теорема доказана.

Т е о р е м а 9 (теорема Кэли). Каждая конечная группа G изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок S(G) группы G.

Доказательство. Пусть G = fg0 = e; g1; : : : ; gn 1g: Каждому элементу g группы G поставим в соответствие перестановку ' = (g) 2 S(G) этой группы, определенную таблицей

моморфизма является подгруппой в S(G) (см. упражнение 21 из x 5) и поскольку – инъективное отображение (докажите !), то устанавливает биективное отображение между G и подгруппой (G) группы S(G). Теорема доказана.

Т е о р е м а 10 (теорема Лагранжа). Пусть G – конечная группа. Тогда для любой нормальной подгруппы H из G имеет место равенство

jGj = jHj jG=Hj;

где jSj обозначает число элементов конечного множества S .

Доказательство. Из леммы 2 x 5 следует, что имеет место равенство

m

S

giH = G; причем классы эквивалентности g1H; : : : ; gmH взаимно непе-

i=1

ресекаются, имеют одно и то же число элементов, равное jHj, и m = jG=Hj: Поэтому jGj = jHj jG=Hj. Теорема доказана.

Замечание. Нами сформулирован "ослабленный" вариант теоремы Лагранжа. В действительности в теореме Лагранжа (см., например, [9]) условия нормальности подгруппы H нет. В частности, отсюда следует, что число jGj делится на число jHj.

Определение 9. Группа G называется циклической, если существует элемент a 2 G такой, что для всякого элемента g 2 G существует целое число n 2 Z такое, что g = an .

Примером циклической группы являются группы Z и Zm: Ясно, что всякая циклическая группа абелева.

Упражнения к § 6

1. Докажите, что подгруппа из S6 , состоящая из перестановок вида

изоморфна группе S3 .

2.Разложите следующие перестановки в произведение простых циклов и проверьте их четность (постройте графы этих перестановок)

3. Докажите указанные при доказательстве теоремы 5 три свойства

m

S

разложения An = Mj:

j=1

4.На стенах круглого зала картинной галереи висели картины. Как-то решили разместить их в другом порядке, меняя картины, которые висят рядом. Всегда ли можно с помощью таких перемещений разместить картины как задумано ?

5.Докажите, что перестановка ' четная, если ее порядок – нечетное число.

6.Найдите порядок следующих перестановок

7.Какой наивысший порядок могут иметь перестановки на множестве, состоящем из а) пяти элементов, б) десяти элементов ?

8.Сколько существует перестановок 15-го порядка на множестве из 8 элементов ?