SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

MM1 f x kx b .

(3)

MM1 NM / cos .

(4)

Прямая y kx b есть асимптота линии

y f x , следовательно, расстоя-

Итак, MN 0

при x , значит, согласно (4)

MM1 0 при

x ,

т. е.

lim MM1 0.

Подставим сюда вместо MM1 выражение (3) и получим

x

lim f x kx b 0.

(5)

x

ция, которую

обозначим

через p(x) . Тогда p( x) f x kx b

или

f (x) kx b p(x),

где p(x)

при x . Это соотношение поделим на x,

пе-

lim

f x

lim k lim b

lim

p(x)

.

x

x

x

x x

x

x

Поскольку 1 x 0 при x ,

произведение постоянной b на 1 x есть беско-

нечно малая величина, а её предел равен нулю. Аналогично

lim( p(x) / x) 0.

x

Предел постоянной k равен k, поэтому

k lim[ f

x / x].

(6)

x

x

f

x

kx

x

x

f

x

kx

b 0,

lim

lim b 0,

lim

b lim

f

x kx .

(7)

x

141

5354.ru

сел k

и b, входящих в уравнение асимптоты. И наоборот, если для линии

y f x

существуют два конечных предела (6), (7), то

эта линия имеет

наклонную асимптоту y kx b. В этом можно убедиться,

проведя изложен-

ные выше рассуждения в обратном порядке.

Пример. Возьмём кривую с уравнением y f x , где

f x x2 /(1 x). Эта

кривая имеет вертикальную асимптоту с уравнением x 1. В самом деле,

lim[x2 /(1 x)] .

x 1

Найдём наклонную асимптоту этой линии. Вычислим сначала предел (6):

k lim

f x

lim

x

. Последний предел найдём по правилу Лопиталя, так как

x

x

x

x 1

lim

x

lim

x

lim1 1.

Итак, k 1.

Теперь найдём предел (7):

1 x

1 x

x

x

x

x2

x

b lim f x kx lim

x 1

lim

.

1 x

x

x

x

1 x

Последний предел равен 1, следовательно, b 1.

Зная k

и b , запишем урав-

нение наклонной асимптоты y x 1.

находим область определения функции и ее точки разрыва;

отыскиваем сначала критические точки, в которых производная f x

и убывания функции, в которых f x сохраняет знак,

точки максимума и

минимума, максимальное и минимальное ее значения;

определяем точки, в которых вторая производная

f x обращается в

пуклости вниз функции f x , в которых

f x сохраняет знак, и точки пере-

гиба;

142

5354.ru

Функция определена всюду, кроме точки x 1,

которая является точкой

разрыва, и f x при

x 1. Областью определения является совокуп-

ность интервалов ; 1 ,

1; .

Производная f x обращается в нуль в

точках x 2 и x 0 и не существует в точке x 1.

Итак, критическими точ-

ками являются x1 2, x2 1, x3 0.

Ими определяются интервалы возраста-

ния и убывания функции:

; 2 ,

2; 1 , 1; 0 ,

0; . На них соответ-

ственно f x 0, f x 0,

f x 0,

f x 0, т. е.

f x сначала возрастает,

ную

y x 1. График исследуемой функции пред-

Рис. 75

Точка

M с абсциссой x

кривой

y f x

имеет ординату

f x , а ордината

точки

M1

равняется

f x x .

Тогда

разность

этих

ординат есть

f x x f x y – приращение функции,

соответствующее приращению

x и вычисляемое для

точки

x ,

причем

lim( y / x) yx .

Из треугольника

x 0

MKM

1

, у которого сторона KM

1

y,

получаем MM 2 x 2

y 2 . Это от-

1

ношение разделим на x 2 и получим MM1 2

/ x 2

1 y 2 / x 2 . Отсюда

MM

2

s

2

y 2

(2)

1

1

.

x

2

s

x

Будем считать, что кривая с уравнением y f x такова,

что функция y f x

имеет непрерывную производную

f x . Можно показать, что для такой кри-

вой (принимается без доказательства) имеет место условие

lim MM1 1.

(3)

s 0

s

M1 M

Иначе говоря, предел отношения длины хорды

MM1 ,

стягивающей дугу с

длиной s ,

к длине s

этой дуги

равен 1.

В соотношении (2) перейдём к

пределу, когда M1 M и

x 0.

Учтём, что слева предел произведения равен

lim

MM

1

2

s 2

y

2

s

lim

1 lim

.

M1 M

x 0

x

x 0

x

Слева первый предел согласно (3) равен 1, а второй предел равен s x

со-

гласно (1). Справа предел равен y x . Значит, s x 2 1 y x 2 , т. е.

s x 1 yx 2 .

(4)

точке M , называется углом смежности дуги MM1. Отношение угла смежно-

сти

к длине дуги MM1

(5)

MM1

характеризует искривленность дуги

данной дли-

MM1

ны.

В самом деле, чем больше дуга

искривлена,

Рис. 77

MM1

дуги

M M1

той же длины, что и дуга MM1

, угол смежности , так как дуга

M M1

искривлена больше, чем исходная дуга, и

/ M M1

/ MM1. Но нас инте-

ресует искривлённость не всей дуги MM1, а искривлённость кривой в точке

M . Ясно, что чем ближе точка M1 к точке M, тем лучше отношение (5) ха-

рактеризует искривлённость кривой в точке M . Ясно также,

что искривлён-

ность кривой в точке M наиболее полно характеризует предел отношения (5),

когда M1 M. Этот предел называют кривизной кривой в точке M и обозна-

чают K . Итак,

(6)

K lim [ / MM1 ].

M1 M

Пусть

на

плоскости

Oxy

задана кривая

y f x (рис.

78) и функция f x имеет вторую

производную. В точке M этой кривой с абсцис-

сой x требуется вычислить кривизну K этой кри-

вой. Пусть на рассматриваемой кривой M0 –

фиксированная точка, а M – переменная точка с

абсциссой

x.

Длину дуги

обозначим s x .

M0M

Рис. 78

На кривой возьмём точку M1 с абсциссой x x. Длина дуги

M0M1 s x x .

– приращение функции

Поэтому длина дуги MM1 s x x s x s, где s

s x в точке

x , соответствующее приращению x.

Поэтому

lim( s / x) sx .

x 0

Известно,

что вычисленная в точке x производная

yx f (x)

равна тангенсу

146

5354.ru

точке кривой M1 с абсциссой x x

этот угол будет равен

x x . Ясно, что

разность x x x – приращение функции x

в точке x,

соответ-

ствующее приращению x. Поэтому

lim[ / x] x.

(7)

x 0

Из треугольника N1N2 N3 (см. рис. 78), образованного вышеука-занными каса-

тельными и осью Ox , видно, что x x x

– угол между касатель-

ными, следовательно, есть угол смежности дуги

длина которой рав-

MM1,

на s.

Поэтому согласно формуле

(6) (в которой

нужно заменить на

)

для K – кривизны кривой в точке M – имеем

] lim[ / s]. В

K lim [ / MM1

M1 M

x 0

s 0

правой

части и числитель,

и

знаменатель поделим

на

x,

получим

K lim

x . Предел отношения равен отношению пределов, поэтому

x 0

s x

s 0

K (lim x) / lim s x.

x 0

x 0

Согласно (7) предел числителя равен x ,

а предел знаменателя равен sx .

Сле-

довательно,

K x / sx . .

(8)

Но tg yx , следовательно, arctg yx .

Возьмём отсюда производную по x,

при этом учтём, что правая часть – сложная функция от x.

Имеем

1

x

yx

yxx

.

yx 2

1

x

1 yx 2

yxx

(9)

K 1 yx 2 3 2 .

рётся без знака. Например, пусть

2

,

y x

yx 2x,

yxx 2. Фор-

мула (9) даёт K 2 1 2x 2 3 2 . Эта формула определяет кри-

визну параболы с уравнением y x2

(рис. 79) в любой её точке

M с абсциссой x. Например, в начале координат (0.0) кривиз-

Рис. 79

на K 2.

Пусть в плоскости Oxy задана кривая с урав-

нением y f x ,

причем функция

f x

имеет вто-

рую производную (рис. 80). Для этой кривой по

формуле (9) найдем кривизну в точке M с абсцис-

сой x. Будем считать, что K 0.

Радиусом кривизны этой кривой в точке M

называется

число, обозначаемое

R

и равное

Рис. 80

R 1/ K, где

K – только что найденная кривизна.

В точке

M

проведём нормаль (прямую, перпендикулярную к касатель-

Пусть

в пространстве

Oxyz задана

точка

M x; y; z

(рис. 81), а ее координаты представляют

собой заданные функции некоторого аргумента t –

параметра, т. е.

x x t , y y t ,

z z t .

(10)

С изменением t значения этих функций изменяют-

Рис. 81

ся, следовательно, изменяются координаты x,

y, z

шения (10) называются параметрическими уравнениями этой линии. Каждое

из уравнений (10) умножим соответственно на базисные векторы

i,

j,

k и

сложим. Получим

xi y j zk x t i y t j z t k.

(11)

Левую и правую части этого соотношения обозначим

r xi y j zk.

(12)

r t x t i y t j z t k.

(13)

Тогда соотношение (11) запишется так:

r r t .

(14)

он отсчитывается в противоположном направлении.

Как видно из рис. 82, координаты точки P определяются формулами

x a cos t, y a sin t. Такими же будут абсцисса и ордината точки M .

Пусть ап-

пликата z точки M выражается формулой z ht /(2 ), где h – заданное поло-

жительное число.

Итак, координаты точки M определяются формулами

x a cos t, y a sin t, z ht /(2 ).

(15)

точка

M винтовой линии уходит неограниченно вниз.

Рис. 82

h

r

t a cos ti

a sin t j

tk.

2

r t x t i y t j z t k

(16)

lim r t lim x t

i lim y t

j lim z t k.

(17)

t t0

t t0

t t0

t t0