SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

ГЛАВА 12. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Площадь криволинейной трапеции

Пусть на плоскости Oxy задана кривая AB уравнением y f x , a x b, где a и b

– соответственно абсциссы точек A и B. Будем считать, что в указанном интервале всюду f x 0. Это значит, что кривая AB

ху кривой AB и снизу отрезком a, b оси Ox, а с боков – отрезками aA и bB, параллельными оси Oy (см. рис. 109) Эту фигуру назовем криволинейной трапецией и её площадь обозначим SaABb.

Будем искать площадь криволинейной трапеции. Разобьём интервал a, b на n частей точками x1, x2 , ... , xn 1 так, что каждая следующая точка лежит пра-

ветственно произвольные точки 1, 2 , ... , n (которые могут совпадать также с

тервалах, как на основаниях, построим прямоугольники, высоты которых равны соответственно f 1 , f 2 , , f n . Площадь полученной фигуры, со-

ставленной из этих n прямоугольников, обозначим Sn . Она будет равна сумме площадей прямоугольников, из которых эта фигура составлена:

Коротко сумму (1) будем записывать с помощью символа суммирования следующим образом:

211

5354.ru

значения 1, 2, ... , n и полученные произведения сложить. Ясно, что площадь Sn зависит от способа разбиения интервала a,b , так как точки разбиения x1, x2 , ... , xn 1 влияют на длины оснований прямоугольников. Кроме того, площадь Sn зависит от выбора точек

разбили интервал [a,b]. Число делений n устремим к бесконечности так, чтобы max xi стремился к нулю. При этом все частичные интервалы стягиваются в точки, а ступенчатая фигура с площадью Sn приближается по форме к криволинейной трапеции. Таким образом, естественно за площадь криволинейной трапеции SaABb принять величину

При этом будем считать, что предел правой части не зависит ни от способа разбиения [a,b] на частичные интервалы, ни от выбора точек 1, 2 , ... , n .

§ 2. Определение и геометрический смысл определённого интеграла

Пусть в интервале a, b a b задана функция f x , которая, в отличие от предыдущей (§1), может принимать в этом интервале как положительные, так и отрицательные и нулевые значения. Интервал a, b разобьём на n частей точками x0 a, x1, x2 , ... , xn 1, xn b. Каждая последующая точка лежит правее предыдущей. Длины n частичных интервалов соответственно равныx1 x1 x0 ; x2 x2 x1; ... ; xn xn xn 1. Внутри первого, второго, … , n -го частичных интервалов возьмём произвольные точки 1, 2 , ... , n (они могут совпасть и с концами самих интервалов). В этих точках вычислим значения заданной функции f x и образуем сумму

212

5354.ru

интервалы, ни от выбора точек 1, 2 , ... , n , то этот предел называют опреде-

Числа a, b называют соответственно нижним и верхним пределами интеграла, f x – подинтегральной функцией, dx – дифференциалом переменной x, x – переменной интегрирования, a, b – интервалом интегрирования.

Теорема 1. Если функция f x непрерывна в a, b , то она в этом интервале интегрируема.

Иначе говоря, для этой функции существует конечный предел интегральной суммы, составленной для неё по интервалу a, b . Этот предел не зависит

ни от способа разбиения a, b , ни от выбора точек 1, 2 , ... , n .

Теорема принимается без доказательства.

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в следующем. Если f x 0 всюду в a, b , то правая часть формулы (5), согласно (3),

b

равна площади криволинейной трапеции, следовательно, f (x)dx SaABb. Эта

a

трапеция ограничена снизу интервалом a, b , сверху – кривой AB с уравнением y f x , где f x – подинтегральная функция, с боков – отрезками aA и

bB.

В правую часть формулы (5) не входит переменная интегрирования x. Это означает, что определённый интеграл представляет собой число и не зависит от обозначения переменной интегрирования. Буква может быть любой, например, x или t , при этом

213

5354.ru

До сих пор мы считали, что a b , и понятие определённого интеграла было дано для случая, когда верхний предел больше нижнего. Если же верхний предел будет меньше нижнего b a , то по определению примем

b f x dx a f x dx.

Из этой формулы видно, что при перестановке пределов определённый интеграл изменяет свой знак на противоположный.

Здесь мы учли, что сумма длин всех частичных интервалов равна b a – длине интервала a, b , и предел постоянной есть сама эта постоянная.

§ 3. Свойства определённого интеграла

При доказательстве свойств определённых интегралов пределы берутся при n и далее эти условия указываться не будут.

Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла, т. е. если A const, то ab Af (x)dx A ab f (x)dx.

Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от слагаемых функций. Например, для суммы из двух слагаемых

214

5354.ru

Докажем это свойство (предыдущее доказывается аналогично). Заменив в

Предел в правой части последней формулы, согласно теории пределов, равен

Доказательство. Согласно условию имеем, что f x x 0 всюду в ин-

сумма под знаком предела будет неотрицательной. Как известно из теории пределов, если функция неотрицательная, то и её предел обязательно будет

неотрицательным. Итак, ab [ f (x) (x)]dx 0. Согласно предыдущему свойству интеграл от разности равен разности интегралов, поэтому

215

5354.ru

Доказательство. Так как m есть наименьшее значение функции в интервале a, b , то f x m всюду в a, b . Следуя предыдущему свойству, имеем

ab f (x)dx ab mdx. Согласно первому свойству постоянный множитель m в правой части вынесем за знак определённого интеграла, а оставшийся инте-

a b, то в этом интервале найдётся по крайней мере одно значение a b, для которого справедлива формула

a

Доказательство. Пусть M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции f x в интервале a, b , тогда для рассматриваемой функции справедливо соотношение (9). Умножим все части этого соотношения на положительное число 1 b a (при этом знаки неравенств сохранятся)

a, b , то в этом интервале найдётся по крайней мере одна точка , a b, в которой функция f x принимает значение , т. е. f . Подставим в правую часть (11) f , полученное при этом соотношение умножим наb a . Тогда придём к формуле (10).

Это свойство важно в теоретических исследованиях, но для вычисления определённого интеграла формула (10) не может быть использована, так как

216

5354.ru

Из геометрического смысла интеграла следует, что площадь криволиней-

ем, что предел правой части последней формулы не зависит от способа разбиения интервала a, b . Используя это свойство, при a c b разбиение интервала будем проводить так, чтобы c всегда была точкой деления. Иначе говоря, будем делить отдельно интервал a, c и отдельно c, b . Далее в указанной интегральной сумме соберём отдельно слагаемые, относящиеся к интервалу

предела первая сумма содержит слагаемые, относящиеся к a, c , а вторая сумма – слагаемые, относящиеся к c, b . Предел правой части равен сумме пределов первой и второй сумм. Но согласно определению определённого

217

5354.ru

интеграла предел первой суммы равен ac f (x)dx, а предел второй суммы равен

cb f (x)dx. Таким образом, получили нужное нам соотношение.

Теперь рассмотрим второй случай.. Пусть точка c лежит вне интервалаa, b , например, правее точки b, т. е. a b c. Тогда по доказанному выше

имеем ac f (x)dx ab f (x)dx bc f (x)dx. Во втором интеграле правой части пере-

ставим местами пределы интегрирования. При этом знак интеграла изменится на противоположный, и получим

Перенесем второй интеграл правой части влево и выведем требуемое соотношение.

§ 4. Производная от определённого интеграла по верхнему переменному пределу. Формула Ньютона – Лейбница

Возьмём интеграл ab f (x)dx. Зафиксируем его нижний предел a . Верхний

же предел будем считать величиной переменной. В этом случае рассматриваемый интеграл изменяется с изменением b и является функцией от верхнего

предела b. Обозначим эту функцию (b) ab f ( x)dx. Поясним сказанное геометрически.

следовательно, изменится рассматриваемый интеграл, значит, он является функцией своего верхнего переменного предела.

Обозначим теперь переменный предел b через x. Получим (x) ax f (x)dx. Здесь под знаком

интеграла стоит переменная интегрирования x. Чтобы её не путать с верхним переменным пределом x, переменную интегрирования обозначим

218

5354.ru

буквой t. Таким образом,

тервал интегрирования разделим точкой x на два и запишем интеграл в по-

x

Интеграл в правой части этой формулы запишем, согласно теореме 2 параграфа 3 настоящей главы следующим образом:

ляется непрерывной, то производная от интеграла в этой формуле по переменному верхнему пределу x есть f x . Это означает, что указанный инте-

грал, равный x , является первообразной (неопределённым интегралом)

219

5354.ru

для функции f x . Таким образом, попутно мы доказали, что для любой непрерывной функции f x существует её первообразная. Эту первообразную

всегда можно записать по формуле (12), т. е. в виде определённого интеграла с переменным верхним пределом, хотя эту первообразную не всегда можно выразить через элементарные функции.

интервале a, b , но, как мы видели, функция (12) также является первообразной для функции f x . Согласно теореме 1 параграфа 1 главы 11 две перво-

образные одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянное слагаемое, следовательно, для всех x из a, b

где C const. Эта формула справедлива для всех x из a, b , значит, и для x a, следовательно, aa f (t)dt F (a) c. Левая часть последней формулы равна нулю, поэтому 0 F a c и c F a . Подставим это выражение в формулу (15):ax f (t)dt F (x) F (a). Эта формула справедлива для всех x из a, b , а потому и для x b, следовательно, ab f (t)dt F (b) F (a). Так как переменная интегриро-

вания может быть обозначена любой буквой, заменим t на x. Теорема доказана.

Правую часть формулы (14) коротко записывают так: F x ba F b F a ,

отсюда ab f (x)dx F x ba F b F a .

Формула (14) показывает, что вычисление определённого интеграла приводится к нахождению первообразной F x для подинтегральной функции

f x , т. е. к вычислению неопределённого интеграла. Например,

01 x2dx x3 / 310 1/ 3 0 1/ 3.

220

5354.ru