SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

191

5354.ru

ГЛАВА 11. НЕПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Определение первообразной и неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов

Раньше мы решали задачи вида: дана функция F x и нужно найти производную, которая сама является функцией от x, т. е. F x f x . Теперь нам нужно научиться решать обратную задачу, когда дана производная f x функции F x и нужно найти эту функцию F x . Будем считать, что заданная производная f x – непрерывная функция в рассматриваемом интервале. Дадим определение.

Функция F x называется первообразной для функции f x в интервале

В самом деле, F x x2 2x. В то же время функция

также является первообразной для функции f (x) 2x . Действительно, произ-

левую часть формулы (1) и получим утверждение теоремы.

Из теоремы 1 непосредственно вытекает, что если F x есть какая-либо

подинтегральное выражение, x – переменная интегрирования, dx – дифференциал переменной интегрирования.

Операция нахождения неопределённого интеграла (первообразной), называется неопределённым интегрированием. Эта операция является обратной дифференцированию, поэтому операцию интегрирования можно проверить последующим дифференцированием.

Исходя из определения неопределённого интеграла, запишем следующую таблицу основных интегралов:

Покажем, например, справедливость формулы 2. В самом деле, например, для x 0 имеем | x | x, поэтому

ln | x | x ln x x 1x x x 1x .

§2. Свойства неопределённого интеграла

Из формулы (2), т. е. из определения неопределённого интеграла, вытекают следующие утверждения.

Производная от неопределённого интеграла равна подинтегральной функции, т. е.

Действительно, f x dx x F x C x F x f x .

Дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению, т. е.

Убедимся в этом:

d f (x)dx d F x C F x C x dx F x dx f x dx.

Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

dF x F x C.

(5)

Справедливость этой формулы становится ясной после того, как мы, учи-

Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от слагаемых функций. Например, для двух функций

194

5354.ru

Для доказательства этого свойства запишем производную левой части этой формулы. Согласно формуле (3) будем иметь

Теперь запишем производную правой части формулы (6), учитывая формулу (3), а также принимая во внимание, что производная от суммы равна сумме производных:

f (x)dx (x)dx x f (x)dx x (x)dx x f (x) (x).

Сравнив последнее выражение с формулой (7), заключаем, что левая и правая части формулы (6) имеют одну производную. По доказанной выше теореме 1 имеем, что разность этих частей есть константа, следовательно, левая часть формулы (6) отличается от правой на постоянное слагаемое. В этом смысле и понимается равенство (6), как и любое другое равенство, связывающее неопределённые интегралы.

функции формулы (8).

Таким образом, формулы интегрирования остаются справедливыми и тогда, когда переменная интегрирования не является независимой переменной, а является дифференцируемой функцией. Этот факт используется при интегрировании для того, чтобы рассматриваемые интегралы привести к известным.

195

5354.ru

cos(2x)dx (1/ 2) cos(2x)d 2x (1/ 2) sin 2x c.

§ 3. Замена переменной в неопределённом интеграле

Дан интеграл f x dx, который непосредственно не вычисляется. Переменную интегрирования заменим по формуле x t , где t – дифферен-

Тогда справедлива формула замены переменной в неопределённом интеграле:

f x dx f [ t ] t dt, t t(x). (10)

Докажем это утверждение. Производная левой части формулы (10) равнаf x dx f x . Запишем производную по x от правой части, которая является функцией от x, поскольку t t x . В результате по формуле для производной сложной функции с учетом (9) имеем

f [ t ] f x .

Итак, производная от правой части формулы (10) равна производной по x от ее левой части, следовательно, эти части отличаются лишь на постоянное слагаемое, что и требовалось доказать.

Пример. Вычислить интеграл 1 x2 dx.

Избавимся от корня, для этого сделаем замену x sin t. Тогда dx costdt и

196

5354.ru

§ 4. Интегрирование по частям

Даны две функции U U x и V V x , которые имеют непрерывные производные Ux , Vx . Мы знаем, что производная произведения равна (UV )'x Ux' V UVx' , поэтому

(UV )'x dx (Ux' V UVx' )dx.

Справа интеграл от суммы равен сумме интегралов слагаемых, следовательно,

Из формулы (5) следует d U V U V C1, dV V C2 . В этих соотношени-

ях константы возьмём равными нулю, учитывая, что равенство (12) выполняется с точностью до постоянного слагаемого. Теперь (12) запишем в виде

Формула (13) называется формулой интегрирования по частям. Такое название объясняется тем, что вычисление интеграла левой части UdV при-

водится к нахождению двух интегралов VdU и dV V .

Успех интегрирования по частям зависит от того, насколько удачно выбраны множители U и dV в подинтегральном выражении левой части. Однако нельзя указать правила, годные для всех случаев. Отметим только, что обычно за U принимают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

197

5354.ru

Примеры.

1. Вычислить xexdx.

Возьмём U x, тогда dV ex dx. dU Uxdx dx. Отсюда V exdx ex . По формуле (13) имеем

xexdx xex exdx xex ex C.

2.Вычислить x2ex dx.

Возьмём U x2 , dV exdx, тогда dU 2xdx, V exdx ex . По формуле (13) имеем x2exdx x2ex 2xexdx x2ex 2 xexdx. Последний интеграл вновь вычисляется интегрированием по частям, его вычислили в предыдущем примере. В

Полученное выражение для интеграла левой части подставим в (14). Придём

ксоотношению, которое содержит искомый интеграл в обеих своих частях:

ex cos xdx ex sin x ex cos x ex cos xdx.

Отсюда 2 ex cos xdx ex sin x ex cos x C.

§ 5. Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшими рациональными дробями называются дроби следующего вида:

Здесь все величины, кроме x, суть постоянные действительные числа, k – целое число, k 2. Будем считать, что x2 px q не имеет действительных корней, т. е. не разлагается на произведение линейных множителей. Это утверждение имеет место, когда p2 4 q 0. Обозначим m2 q p2 / 4 . Вычислим интегралы от указанных дробей.

198

5354.ru

I.x Aadx. За знак интеграла вынесем постоянный множитель A , учтём,

что d x a x a x dx dx, и будем иметь

II.Совершенно аналогично вычисляется интеграл от дроби II:

Прежде чем вычислить интеграл от третьей дроби, рассмотрим интеграл J1 (t2 m2 ) 1 dt, где m2 – введённая ранее величина. Здесь m2 вынесем за

скобки, затем одну степень m вынесем за знак интеграла, а другую отнесём к дифференциалу dt , учитывая, что d (t / m) (t / m)t dt (1/ m)dt. Таким образом,

получим

чала дифференциал знаменателя, получим

d x2 px q x2 px q x dx 2x p dx.

Учитывая, что в числителе подынтегрального выражения стоит двучлен, содержащий x, постараемся в числителе образовать дифференциал знаменателя подынтегрального выражения, т. е. 2x p dx. С этой целью в числителе вынесем за скобки A, после этого интеграл умножим и разделим на 2. Двойку в числителе внесём под знак интеграла. Далее в числителе прибавим и вычтем p. В результате получим

Дробь под знаком интеграла запишем в виде суммы двух дробей и интеграл представим в виде суммы интегралов от этих дробей. Тогда

199

5354.ru

Во втором интеграле в знаменателе выделим полный квадрат членов суммы и получим

Теперь M1 примет вид

Первый интеграл равен логарифму знаменателя. Во втором интеграле сделаем

Последний интеграл в соотношении (16) есть интеграл J1 и он вычисляется по формуле (15). Здесь мы должны учесть, что t x p / 2.

IV. Интеграл от четвёртой дроби обозначим Mk . Поступая аналогично предыдущему случаю, будем иметь

Таким образом, вычисление интеграла Mk приводится к вычислению интеграла Jk t2 m2 k dt.

Умножим и разделим этот интеграл на m2 . Далее m2 в числителе внесём под знак интеграла. После этого в числителе прибавим и вычтем t2 . Подинтегральное выражение запишем как разность двух дробей и интеграл в виде разности интегралов от этих двух дробей:

200

5354.ru