SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

z

U

U

z

U

U

x

e

sinV y e

cosV 2x,

y

e

sinV x e

cosV 2 y.

z F U , V ,

U x ,

V x .

(27)

Здесь U , V – функции одного аргумента x,

поэтому в конечном счёте z

тоже

няют силу), но только производные по x

от U , V ,

z будут не частными, а

обычными производными. В результате будем иметь

dz

F U, V

dU

F U, V

dV .

(28)

dx

U

dx

V

dx

Пусть в (27) U x, т. е.

z F x, V , V x .

(29)

Тогда для производной zx формула (28) примет вид

dz

F x, V

F x, V

dV .

(30)

V

dx

x

dx

Пример 2. Дана функция

z x2 eV , V cos x.

По формуле

(30) имеем

dz / dx 2x eV ( sin x) 2x ecos x ( sin x).

Если z F U1, U2 ,..., Un , U1

1 x ,

U2 2 x , … , Un n x ,

то, поступив

аналогично предыдущему, придём к формуле

dz

F

dU1

F

dU2 ...

F

dUn .

U2

Un

dx

U1

dx

dx

dx

Дано соотношение

F x, y 0,

(31)

в котором F x, y есть известное выражение, содержащее x, y.

Это соотноше-

ние определяет неявную функцию y x .

Нужно найти производную yx

этой функции. Запишем соотношение (31),

обозначив левую часть через t :

водную по формуле (30), заменив V

на y и z на t :

dt

F

F

dy .

dx

x

y

dx

dy

F x .

(32)

dx

F y

dy

Fx x, y

.

(33)

dx

Fy x, y

Рассмотрим теперь функцию z двух переменных x

и y , заданную неявно

соотношением

F x, y, z 0.

(34)

вместо y должны взять z. Получим

z

F

x , но производная

z

здесь

x

F

z

x

частная производная, так как считаем, что y const. Итак,

z

F x .

(35)

x

F z

Аналогично найдём

z

F y .

(36)

y

F z

z

Fx x, y, z

,

z

Fy x, y, z

.

(37)

x

Fz x, y,

z

y

Fz x, y, z

Здесь в правой части z

есть значение, отвечающее паре x, y

согласно (34).

Пример. Пусть z – функция двух аргументов, заданная соотношением

exy 2z 2 ez

0.

(38)

Здесь F x, y, z exy 2z 2 ez . По формулам (35) и (36) имеем

z

exy y

,

z

exy x

.

y

z

x

2 ez

2 e

Найдем, например, значение z / x

при x 0

и

y 0. Как видно из (38), паре

чисел x 0, y 0 отвечает z 0, поэтому

z

exy

y

0.

x

x 0

2 e

z

x 0

y 0

y 0

z 0

Дана функция

z f x, y .

Пусть она имеет частные производные

z / x fx x, y ,

z / y f y x, y ,

при этом каждая из них в свою очередь есть

функция от x

и

y.

Например,

z

x

y

,

z /

x

3y

x

,

z /

y

3x

y

. Поэтому от

3

3

3

2

3

2

водными второго порядка от функции z f

x,

y и обозначаются так:

z

2 z

,

z

2 z

x2

zxx z

2

fxx

y2

zyy z

2

fyy ,

x

x

x

y

y

y

z

2 z

z

2 z

,

x y

zxy

fxy

y x

zyx fyx .

y

x

x

y

ла находим zx' 3x2 y3,

z'y 3x3 y2 , отсюда

zxx'' 6xy3,

z''yy 6 yx3,

zxy'' 9x2 y2 ,

z''yx 9x2 y2.

173

5354.ru

z f x, y . В рассматриваемом примере fxy fyx

и это оказывается не случай-

но.

Теорема 2. Если для функции z f x, y

её смешанные

производные

fxy x, y и fyx x, y непрерывны, то они равны друг другу, т. е. fxy

fyx .

Принимается без доказательства.

Поскольку вторые частные производные функции z f x, y

в свою оче-

чаются n z xn

(когда мы дифференцируем n

раз по

x ). Если вначале n k

раз дифференцируем по

x ,

а затем k раз –

по y ,

то обозначаем это как

n z

xn k yk . Если дифференцируем вначале k

раз по

x , а затем n k раз – по

то получим

z

x

y

.

Если дифференцируем

n раз по

, то пишем

y,

n

k

n k

y

Точка x0 , y0 называется точкой максимума функции

z f x, y , если значе-

ние функции в этой точке больше ее значений

в любой точке (x, y)

некоторой малой окрестности точки (x0 , y0 ), отличной от

последней,

то есть

f (x0 , y0 ) f (x, y). График функции для точек, близких к

точке x0 , y0 , может, например, иметь вид, показанный на рис. 94.

Точка

x0 , y0

называется точкой минимума

функции, если значение функции в этой точке

меньше ее значений в любой точке (x, y) некото-

рой малой окрестности точки (x0 , y0 ) , отличной от

последней,

т. е.

f (x0 , y0 ) f (x, y). График этой

функции для точек,

непосредственно близких к

x0 , y0 , может иметь, в частности, форму чаши с

Рис. 94

дном, обращенным вниз. Например, 0, 0 – точка

минимума функции z x2

y2 . В самом деле, значение

функции в этой точке меньше её значений в любой

другой точке x, y . График этой функции представ-

лен на рис. 95.

Точки максимума и минимума называются

точками экстремума функции, а значения функции в

них – экстремальными значениями (минимальными и

Рис. 95

максимальными).

Теорема 3. Если x0 ,

y0 – точка экстремума функции z f x, y , то в

этой точке производные

f (x, y)

x x0 ,

f (x, y)

равны нулю или не существу-

x

y

x x0

y y0

y y

ют.

0

x0 , y0

Доказательство. Дано, что

есть

точка

экстремума функции

z f x, y . Это означает, что при фиксированном y y0

z f x, y0 – функция

одного переменного x –

в точке x x0 имеет экстремум. Следовательно, со-

изводная

zx fx x, y0 в

точке x x0 равна нулю или не существует.

Однако

последняя

производная

является

частной производной

по x

от функции

z f x, y ,

так как y y0 . Итак,

z / x f x, y0 / x при

x x0

обращается в

нуль или не существует, следовательно, частная производная

f x,

y / x

x x0

y y0

Пример. Функция z f x, y x2 y2

имеет минимум в начале координат и

её частные производные f x, y / x 2x,

f x, y / y 2 y обращаются в нуль в

точке 0, 0 .

точного признака экстремума;

найти экстремальные значения функции z f (x, y) , подставив вместо x

и y

координаты точки максимума или минимума.

Пример.

Исследуем

на

экстремум

функцию z f (x, y), где

f x, y x3 y3 3xy. Имеем

z

3x

2

3y,

z

3y

2

3x,

2 z

6x,

2 z

3,

2 z

6 y.

x

y

x2

x y

y2

Поступим согласно указанной выше схеме.

Найдем критические точки функции:

2

3y 0,

2

y 0,

3x

x

x 0.

3y2 3x 0,

y2

вим в первое уравнение. Тогда y4 y 0 или

y y 1

y2 y 1

0.

Приравняв

A

2

f x, y

6x

6, B

2 f x, y

3,

x2

x 1

x 1

x y

x 1

y

1

y 1

C

2 f x, y

6y

6.

y2

y 1

x 1

y 1

Таким образом, AC B2 27 0,

следовательно, точка 1;1 – точка экстремума,

а именно, точка минимума, так как A 6 0 .

177

5354.ru

Найдём теперь минимальное значение функции в точке

1;1 . Подставим

координаты этой точки в выражение для функции z x3 y3

3xy и получим

zmin z

x 1 13 13 3 1.

y 1

Проиллюстрируем сказанное на примере области D,

граница L которой состоит из двух частей L1

и L2 , за-

данных

соответственно

уравнениями

y x ,

a x b,

и x y ,

c y d, где x ,

x

– одно-

значные непрерывные функции (см. рис. 97). Здесь

Рис. 97

(a) c, (b) d,

c a, d b. Так как

y

x есть

ордината точки с абсциссой x кривой L1, значения

функции f x,

y

на L1

представляют собой значения функции одного аргу-

b. Аналогично значения функции f

2

мента f x, x

,

a x

x,

y

на L есть

значения функции аргумента

y :

f y

, y ,

c

y

d.

Пусть

M L

и mL

– соответственно наибольшее и наименьшее значения

1

1

функции

f x, x

в интервале a x b, а

M L

и mL

– соответственно

2

2

наибольшее и наименьшее значения функции

f y , y в интервале c y d.

окружности x2 y2 1.

Последнее уравнение запишем в виде

y

1 x2 при y 0;

y 1 x2 при y 0.

ная окружность. В точках первой полуокружности ( y 0)

функция z x2 y2

принимает значения z x2 (1 x2 ), т. е. z 2x2 1,

1 x 1.

Такие же значения

F(x, y, z) 0

(39)

Доказательство. Пусть поверхность, задан-

ная уравнением (39), имеет вид, указанный на

рис. 98. Пусть L – произвольная линия, лежащая

на поверхности и проходящая через ее точку

P x, y, z . Параметрические уравнения этой ли-

Рис. 98

нии запишем так:

x x t ,

y y t , z z t . (40)

r t x t

i y t j z t k.

(41)

Здесь r r(t) – радиус-вектор точки P x, y, z .

Мы знаем, что производная от

функции (41), r t x t i y t j z t k, вычисленная для точки P,

отвечаю-

щей выбранному значе-нию параметра t,

есть вектор с началом в точке

P,

направленный по касательной к линии L.

Будем считать, что кривая

L

вы-

брана так, что r t 0. С другой стороны,

вычислим частные производные от

левой части уравнения (39) для точки P. Построим вектор N с началом в точ-

ке P,

проекции на оси координат которого равны этим частным производ-

ным:

N F / x, F / y, F / z . По условию теоремы проекции этого вектора

не обращаются в нуль одновременно, следовательно, длина вектора

N

0.

Но