SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Если столбцы матрицы сделать строками с теми же номерами, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается

Если в матрице число строк и число столбцов совпадают, то матрица называется квадратной:

Элементы a11, a22 , , ann образуют главную диагональ матрицы. Число n

называется порядком матрицы. Квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем матрицы, обозначаемое A и

равное

Матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, называется единичной и обозначается

Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной и обозначается Y y1, y2 , , yn . Матрица, состоящая из одного столбца, называется столб-

цевой, например,

i 1, 2, , m, j 1, 2, , n.

61

5354.ru

Аналогично найдём C1 BA , если число столбцов матрицы B равно числу

строк матрицы A . Если это не так, то произведения BA не существует. Если даже AB и BA существуют, то легко проверить на примерах, что, вообще говоря, AB BA .

Свойства умножения матриц. Пусть даны три матрицы A , B и C . Тогда

A BC AB C ; A B C AB AC .

Пусть A – квадратная матрица, а E – единичная матрица того же порядка, что и A . Нетрудно проверить, что AE EA A .

Обратная матрица. Пусть дана квадратная матрица

полученную матрицу транспонировать.

Из приведенного определения видно, что для нахождения A 1 нужно вычислить определитель матрицы A и все алгебраические дополнения для

всех ее элементов.

§ 4. Системы n линейных алгебраических уравнений с n неиз-

вестными. Матричный метод решения

Дана система уравнений

называемые коэффициентами уравнений системы, b1, b2 , , bn – заданные числа, называемые свободными членами системы уравнений. Нужно найти x1, x2 , , xn . Введём три матрицы

вестных, B – матрицей свободных членов. Определитель матрицы A называ-

ется определителем системы и обозначается . Итак, определитель системы

(7) равен

Элементы этого произведения равны согласно системе (7) свободным членам соответствующих уравнений этой системы, т. е. соответствующим элементам матрицы B . Следовательно, эти две матрицы равны друг другу. Таким образом,

Это есть матричная запись системы (7).

Пусть определитель системы (7), т. е. определитель (11), отличен от нуля. Тогда по известной матрице (8) коэффициентов системы (7) найдём для неё обратную матрицу A 1 . На эту матрицу (все элементы которой известны) умножим обе части (12), считая матрицу A 1 первой матрицей в произведениях, и получим

Согласно первому свойству умножения матриц, левая часть формулы (13) равна AA 1 X , но так как A 1 A E , EX X , то левая часть формулы (13) равна

Правая часть формулы содержит известные матрицы. Найдём произведение A 1B . Это будет столбцевая матрица с известными элементами, но эта матрица по формуле (14) равна матрице неизвестных X . Поэтому их соответствующие элементы равны друг другу. Приравняв эти элементы, найдём неизвестные x1, x2 , , xn .

§ 5. Формулы Крамера

Покажем, что решение системы (7) определяется формулами Крамера

определители, получаемые из определителя заменой соответственно первого, второго, … n -го его столбца на столбец свободных членов системы (7), т. е.

65

5354.ru

прибавление к обеим частям данного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое ненулевое число.

Если в процессе элементарных преобразований системы (20) появится уравнение вида 0x1 0x2 0xn 0 , то это соотношение отбрасывается, так

как ему удовлетворяют любые значения неизвестных x1, x2 , , xn (что приводит к уменьшению числа уравнений системы). Если в процессе элементарных преобразований системы (20) появится соотношение 0x1 0x2 0xn b, b 0 ,

т. е. противоречивое соотношение, которое не может быть выполнено, то система (20) является несовместной.

Метод Гаусса заключается в следующем. Пусть a11 0 (если a11 0 , то

переставим уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент при первом неизвестном не равнялся нулю, или с этой же целью перенумеруем неизвестные, что приведет к перестановке соответствующих столбцов коэффициентов). Из всех уравнений, кроме первого, в системе (20) исключим неизвест-

Пусть a22' 0 (если a22' 0 , то снова переставим уравнения или перенумеруем неизвестные x2 , , xn ). Теперь аналогично предыдущему из всех уравнений, кроме первого и второго, исключим x2 . Если система (20) совместна, т. е. при указанных преобразованиях в ней не окажется противоречивого соотношения 0x1 0x2 0xn b, b 0 , процесс продолжим. В конечном счёте путём вышеуказанных преобразований придём к одному из следующих случаев:

к ступенчатой системе

68

5354.ru

висходной системе (20));

к треугольной системе

системе (22), далее поступим так: из последнего уравнения (22) найдем xn ; из предпоследнего найдем xn 1 , затем xn 2 , и, наконец, x1 , т. е. найдём все иско-

мые неизвестные.

Итак, в этом случае система (20) имеет единственное решение. Определитель преобразованной системы (22) обозначим . Он равен

0bnn

Впоследнем легко убедиться, разложив этот определитель по элементам первого столбца, в котором только один элемент ( b11 ) отличен от 0, и разложив

аналогично оставшиеся миноры также по элементам первого столбца. Определитель исходной системы (20), когда m n , обозначим . Он равен 1 , т. е. может отличаться лишь знаком от . В самом деле, прибавлению к одному из уравнений системы (20) другого уравнения, умноженного на определённое число, отвечает соответствующая операция над строками определителя , которая не изменяет этот определитель. Перестановке уравнений в исходной системе отвечает перестановка строк в определителе системы , а перенумерации неизвестных – перестановка столбцов, каждая из которых изменит лишь знак определителя. Как видно из предыдущей формулы, 1 0 , следова-

тельно, и 0 . Итак, определитель системы (20) при m n отличен от нуля, если эта система приводится к треугольной системе (22). Таким образом, при m n система (20), приводящаяся к треугольной системе, имеет единственное решение и ее определитель отличен от нуля.

69

5354.ru

Пусть система (20) приводится к ступенчатой системе (21). Перенесем в

В этой системе всем неизвестным xr 1, xr 2 , , xn придадим произвольные (по нашему выбору) значения. Тогда в правых частях (23) будут извест-

то система (23), следовательно, и (20), имеет бесконечное множество решений. Итак, система (20), приводимая к ступенчатой системе, имеет бесконечное множество решений.

Отметим, что метод Гаусса применим и в случае

§ 7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли

Поставим в соответствие системе (20) две матрицы

ренной матрицей системы (20). Элементарным преобразованиям над (20) отвечают соответствующие преобразования над строками матриц A и A . Матрица, получаемая из данной путём элементарных преобразований над строками, а также перестановкой столбцов, называется матрицей, эквивалентной данной. Основные матрицы систем (21) и (22) называются соответственно

ступенчатой и треугольной.

Строка матрицы называется нулевой, если все её элементы равны нулю, и ненулевой, если она содержит хотя бы один отличный от нуля элемент. Например, если a11 0 , a12 0 , …, a1n 0 , b1 0 , то первая строка матрицы A будет нулевой, а первая строка матрицы A будет ненулевой.

Ранг матрицы – это такое число r , что по крайней мере один определитель порядка r , получаемый из этой матрицы при удалении некоторого числа строк и (или) столбцов, отличен от нуля, а все определители (r 1) -го порядка

70

5354.ru