SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

случае, кроме того, она проходит через точку О (поскольку D 0 ). Остальные случаи рассматриваются по аналогии.

§ 3. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть в пространстве Oxyz заданы две плоскости соответственно уравнениями

31

5354.ru

ражение (12) подставим в левую часть формулы (11), а в правой части раскроем скобки. Получим

плоскости с уравнением (10) нужно в левую часть уравнения (10) вместо x, y, z поставить координаты x1, y1, z1 заданной точки M1 , а затем найденное

32

5354.ru

число поделить на A2 B2 C2 . Полученное число будет равно d , если оно

положительное, и d, если это число отрицательное. Тем самым найдём искомое расстояние d .

§ 5. Прямая в пространстве и ее уравнения

Общие уравнения прямой в пространстве. Пусть в пространстве Oxyz

две плоскости заданы уравнениями

где A1, B1, C1, D1, A2 , B2 , C2 , D2 – известные числа. Пусть эти плоскости не па-

раллельны (не выполняется условие параллельности плоскостей), тогда они пересекаются по прямой. Уравнения в системе (15) являются уравнениями этой прямой. Их называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.

Пусть в системе Oxyz прямая определена следующим образом:

заданы координаты x0 , y0 , z0 точки M0 , лежащей на прямой;

заданы проекции m, n, p ненулевого век-

Это соотношение называется векторным уравнением рассматриваемой пря-

мой, а скалярная величина t – параметром. Каждому значению t согласно

33

5354.ru

(18) отвечает вектор r , конец M которого лежит на прямой. При изменении t

Как известно, при умножении вектора на число умножаются на это число все проекции вектора на оси координат, поэтому ta tm,tn,tp . При сложении

Эти соотношения называют параметрическими уравнениями рассматривае-

мой прямой. Каждому значению параметра t на прямой отвечает определённая точка M , координаты x, y, z которой вычисляются по формуле (19). При

изменении t точка M с указанными координатами движется по прямой, и её координаты изменяются согласно (19).

§ 6. Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Из каждого уравнения в (19) выразим t , полученные выражения приравняем и тогда будем иметь

Эти соотношения называют каноническими уравнениями рассматриваемой прямой; здесь – заданные координаты точки M0 прямой; x, y, z – текущие координаты, т. е. координаты произвольной точки M прямой; m, n, p – заданные числа, равные проекциям на оси координат направляющего вектора a прямой. Из формулы (20) можно получить уравнения

34

5354.ru

Ясно, что каждое из них, как уравнение первой степени относительно текущих координат в пространстве Oxyz, определяет плоскость. Пересекаясь, эти плоскости определяют рассматриваемую прямую. Соотношение (20) исполь-

случае числители дробей, знаменатели которых равны нулю, мы также будем считать равными нулю, т. е. x x0 0, y y0 0 . Эти два уравнения определя-

ют рассматриваемую прямую, причём каждое из них определяет плоскость, а прямая является линией их пересечения.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Даны две точки M1 x1, y1, z1 , M 2 x2 , y2 , z2 , лежащие на прямой. Координаты этих точек

заданные числа. Нужно записать уравнения прямой, проходящей через эти

две точки.

Вектор M1M2 x2 x1, y2 y1, z2 z1 лежит на рассматриваемой прямой, по-

этому его можно взять в качестве ее направляющего вектора. В качестве начальной точки прямой можно взять любую из указанных точек, например, M1 . Тогда уравнения (20) запишутся так:

§ 7. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности

Пусть в пространстве Oxyz две прямые заданы уравнениями

За угол между этими прямыми примем угол между их направляющими

Если m1 / m2 n1 / n2 p1 / p2 , то прямые (22), (23) параллельны, так как коллинеарны их направляющие векторы. Если m1m2 n1n2 p1 p2 0 , то прямые (22), (23) перпендикулярны, так как перпендикулярны их направляющие векторы.

§ 8. Уравнение линии на плоскости

Поступив так же, как в случае уравнения поверхности в пространстве, можно показать, что каждой линии на плоскости Oxy отвечает соотношение вида

которому удовлетворяют координаты x, y любой точки линии. Здесь F – известное выражение, содержащее x, y . Соотношение (24) называют уравнением

36

5354.ru

§ 9. Общее уравнение прямой на плоскости, угол между прямыми

Мы знаем, что уравнение первой степени

стью Oxy по прямой PQ (рис. 21) и M x, y, 0 – произвольная точка этой пря-

мой. Так как точка M лежит на плоскости с уравнением (26), то координаты этой точки в пространстве удовлетворяют этому уравнению. Таким образом, координаты x, y произвольной точки M прямой PQ удовлетворяют (26). Следовательно, это и есть уравнение указанной прямой PQ .

Итак, уравнение (26) в пространстве Oxyz определяет плоскость, параллельную оси Oz. Это же уравнение на плоскости Oxy определяет прямую, являющуюся линией пересечения указанной плоскости с плоскостью Oxy .

Уравнение (26) называется общим уравнением прямой на плоскости.

В дальнейшем у точки M этой прямой и у нормального вектора N этой прямой третьи нулевые координаты записывать не будем. Прямую будем изображать в плоскости Oxy (рис. 22).

ра N прямой на оси координат. По аналогии с общим уравнением плоскости можно рассмотреть частные случаи общего уравнения прямой, когда те или иные коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.

Пусть на плоскости Oxy две прямые заданы уравнениями

37

5354.ru

мем один из двух смежных углов, равный углу между нормальными векторами N1 и N2 этих прямых. Но последний определяется через косинус угла , который найдем по формуле (18) главы 1:

В этой формуле, выведенной ранее для косинуса угла между векторами в пространстве, угол берётся без знака, т. е. считается положительным и измеряется от 0 до .

§ 10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, условия параллельности и перпендикулярности прямых

следовательно, эта точка лежит на рассматриваемой прямой (в этом и состоит геометрический смысл числа b ).

Пусть – угол, образованный рассматриваемой прямой с осью Ox. Он считается положительным, если отсчитывается от оси Ox против хода часовой стрелки. Пусть M (x, y) – произвольная точка рассматриваемой прямой. Из рис. 23 видно, что (y b) / x tg . С другой стороны, из (30) следует, что ( y b) / x k. Сравнив два последних соотношения, получим k tg . Это соотношение определяет геометрический смысл коэффициента k , который назы-

вают угловым коэффициентом прямой на плоскости.

38

5354.ru

Условие параллельности прямых. Если A1 / A2 B1 / B2 , то прямые (27),

(28) параллельны, так как коллинеарны их нормальные векторы. С учётом формулы (29) записанное выше условие параллельности прямых можно представить в виде k1 k2 .

Условие перпендикулярности прямых. Если имеет место равенство

A1 A2 B1B2 0 , то прямые (27) и (28) перпендикулярны. С учётом формулы (29) условие перпендикулярности прямых запишем так: k1 1/ k2 .

§11. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку

сзаданным угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть дана точка M1 x1, y1 , лежащая на прямой, и известен угловой коэф-

фициент k этой прямой. Нужно записать ее уравнение.

Так как эта прямая проходит через точку M1 x1, y1 , то ее координаты удовлетворяют уравнению (30), т. е. y1 kx1 b . Полученное соотношение вычтем из (30) и придем к уравнению прямой, проходящей через точку M1 x1, y1 :

Пусть теперь даны две точки M1 x1, y1 и M 2 x2 , y2 . Нужно записать урав-

нение прямой, проходящей через них. Здесь можем воспользоваться уравнением (31). Величина k пока не известна. Учтём, что прямая проходит также через точку M2 , поэтому координаты этой точки должны удовлетворять

уравнению (31), т. е. y2 y1 k x2 x1 . Исключим k из последних двух урав-

нений. Для этого нужно соотношение (31) почленно поделить на последнее. Получим искомое уравнение ( y y1 ) /( y2 y1 ) (x x1 ) /(x2 x1 ).

§ 12. Кривые второго порядка. Окружность

Кривой второго порядка называется линия на плоскости Oxy, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат x , y вида

менно не обращаются в нуль, поскольку в противном случае (32) обращается в уравнение первой степени.

Рассмотрим отдельные случаи уравнения (32) и соответствующие им кривые.

Окружность. Как мы уже знаем, окружность радиуса R с центром в точ-

В уравнении (34) коэффициенты при квадратах текущих координат равны друг другу. Кроме того, в этом уравнении отсутствует член, содержащий произведение текущих координат. Легко проверить, что если в уравнении (32) A C , B 0 , то оно будет определять окружность в плоскости Oxy (если уравнению отвечает множество точек). Чтобы убедиться в сказанном, достаточно уравнение (32) поделить на A C , после чего в левой части выделить полные квадраты членов, содержащих x , и полные квадраты членов, содержащих y . Таким образом перейдём к уравнению вида (33):

§ 13. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Эту постоянную обозначим через 2a , a 0 , а фокусы – через F1 и F2 . Расстояние между ними F1F2 2c . Ось Ox проведём через фокусы.

Начало координат О возьмём в середине отрезка, соединяющего фокусы. При указанном выборе осей координаты имеемF1 c, 0 , F2 c, 0 . Пусть M x, y –

произвольная точка эллипса, соединим ее с F1 и F2 (рис. 24). По определению эллипса сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов равна 2a , т. е.

40

5354.ru