SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Пусть векторы заданы своими проекциями: a (ax ,ay ,az ),

b (bx ,by ,bz ), поэтому

a = ax

i + ay

j + az k , b = bx

i + by j + bz k . Сначала для произведений

базисных

векторов i , j , k докажем справедливость соотношений

( i , i )=1;

( j , j )=1;

( k , k )=1;

(15)

( i , j )=0;

( j , k )=0;

( i , k )=0;

(16)

,

Действительно, по формуле (13) имеем ( i , i )=| i || i | cos i,

i , поэтому ( i

i )=1. Далее, ( i

, j )=| i ||

j | cos i, j =0. Остальные равенства в (15) и (16) дока-

зываются аналогично.

Запишем скалярное произведение

( a , b )=( ax

i + ay j + az k , bx i + by j + bz k ).

Использовав второе и третье свойства скалярного произведения, будем иметь

( a

, b )= ax bx (

i , i )+ ax by ( i , j )+ ax bz ( i , k )+ ay bx ( j , i )+

+ ay

by ( j , j )+ ay bz ( j , k )+ az bx ( k , i )+( azby (k, j) azbz (k,k).

Отсюда с учётом (15) и (16) получим

( a , b )= ax bx + ay by + az bz .

(17)

cos

axbx ayby azbz

.

(18)

a2

a2

a2

b2

b2

b2

x

y

z

x

y

z

провести плоскость, перпенди-

мую, параллельную a, через конец вектора b

кулярную a,

точка их пересечения служит концом b0 и началом

b1 (начало

b0

совпадает с началом b , конец b1 – с концом b ).

a,

Замечая,

что площадь параллелограмма,

построенного на

векторах

b b0

b1 , равна площади параллелограмма, построенного на векторах a,

b1 , по-

Аналогично для вектора

где вектор

коллинеарен

а вектор

c c0

c1

,

c0

a,

c1

ортогонален

будем иметь

a,

Покажем, что

или

a (b1 c1 ) a b1

a

c1

d

d1

d2

,

где d a (b1 c1), d1

a b1, d

2 a c1

суть векторы, лежащие в одной плоскости,

так как они перпендикулярны a. Здесь имеем

|d1 | | a | | b1 |,

|d2 | | a || c1 |,

поскольку вектор a

ортогонален и b1 , и c1

. Кроме того, | d | | a || b1

c1 | . Заметим,

ортогонален

что (d1 , d2 )

(b1 , c1 ), так как вектор d1

b1 ,

а вектор d2 ортогонален

c1.

и

Но d

ортогонален b1 c1 , поэтому угол

(d1 , d ) равен углу между векторами b1

Таким образом,

векторы

b1

c1.

d,

d1

,

d2

получаются поворотом вокруг a соот-

ветственно векторов

b1 c1 ,

b1 ,

c1

на

угол, равный

/ 2,

в одном и том же

направлении (против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора a )

и

умножением

их

на

Учитывая,

что

| a | . Это означает, что

d d1

d2

.

b

c b0 c0 b1 c1 ,

где

b0 c0

– вектор, коллинеарный

a ,

b1

c1

ортогонален

a , и

Пусть

векторы

a и b

заданы своими

проекциями: a =( ax , ay , az ),

b (bx , by ,

bz ) . Тогда

a = ax

i + ay

j + az k , b = bx i + by

j + bz k . Сначала рассмотрим

(19)

i

j

k; j k

i; k

i

j;

j i

k;

k j

i; i

k

j;

i

i 0;

j j 0; k k 0.

(20)

Итак, пустьi j c.

Вектор c обладает свойствами:

c

i

j

sin i, j = 1 1 1 = 1;

c i ,

c j , т. е.

c перпендикулярен к плоскости, в которой лежат век-

торы i

и j ;

c

направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот

от первого вектора i

ко второму вектору

j совершается против хода часовой

стрелки, т. е. c

совпадает с k , следовательно,

i j k.

Покажем, что i i 0. Пусть i i c. Тогда

c

i

i

sin i,i =0,

c =0, т. е. i

i 0. Аналогично доказываются остальные равенства (19) и (20).

Рассмотрим векторное произведение

a b (ax i ay

j az k) (bx i by j bz k).

Использовав последние два свойства, запишем

a b axbx[i i] axby [i j] axbz [i k] aybx[

j i] ayby [ j j]

aybz [ j k] azbx[k

i] azby [k

j] azbz [k

k].

Отсюда с учётом (19) и (20) имеем

a b = ax by k ax bz j

ay bx k + ay bz i + az bx

j - az by

i .

Итак,

a b =( ay bz - az by ) i -( ax bz - az bx

) j +( ax by - ay bx ) k .

(21)

Следовательно (см. § 1),

a b i

ay

az

j

ax

az

k

ax

ay

. .

(22)

b

b

b

b

b

b

y

z

x

z

x

y

24

5354.ru

i

j

k

(23)

a b

ax

ay

az

.

bx

by

bz

Таким образом, если a и b заданы своими проекциями, то векторное про-

изведение двух векторов определяется по формуле (23).

Условие коллинеарности двух векторов. Если для ненулевых векторов

b коллинеарны.

В самом деле, если

выполняется условие a

b

0, то a и

sin 0

и sin 0 ,

т. е. 0

или .

Следовательно,

a

b 0, то

a

b

a

b

векторы a ,

b

коллинеарны.

В этом случае из (21) имеем ay bz - az by =0, ax bz - az bx =0, ax

by - ay bx =0. Зна-

чит,

ax / bx

ay / by

az / bz .

Это и есть условие коллине-арности двух векторов,

заданных своими проекциями.

Решим следующую задачу: определить площадь треугольника, заданного

своими вершинами.

Пусть

A(x1, y1, z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) , C(x3, y3, z3 ) – вершины треугольника в про-

x1, y3 y1, z3

z1),

AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1), AC (x3

Тогда

векторное произведение которых обозначим d dxi dy j

dz k =

AB AC.

согласно (22)

dx

y2 y1 z2 z1

, dy

x2 x1 z2 z1

,

dz

x2 x1 y2 y1

y3 y1 z3 z1

x3 x1 z3 z1

x3 x1 y3 y1

и

dx2 d y2 dz2 . Площадь параллелограмма, построенного на векторах

| d |

AB

и

, поэтому искомая площадь треугольника

AC,

равна найденному числу | d |

Даны векторы a , b

и c . Векторы a , b перемножим векторно и получим

d

a b. Этот вектор умножим скалярно на c

и получим число d, c , которое

25

5354.ru

( a , b ,

,c .

(24)

c ) = d, c = a b

ay az

c

a

x

a

z

c

ax ay

.

(d, c) c

x

b

b

y

b

b

z

b

b

y

y

z

x

z

x

a,b, c

ax ay az

.

(25)

bx by bz

cx cy cz

Эта формула позволяет вычислить смешанное произведение векторов, за-

данных своими проекциями. Выясним теперь

ди S нижнего основания параллелепипеда (т. е. площади параллелограмма,

построенного на векторах a и b

как на сторонах). Через конец c проведём

плоскость, перпендикулярную к d

(ясно, что верхнее

основание параллелепипеда лежит в этой плоскости).

Эта плоскость пересечёт вектор d (или его продол-

жение) в точке К (К – проекция конца вектора c на

указанную линию). Из построения следует, что рас-

стояние ОК равно высоте h параллелепипеда. Пусть

– угол между d и c . На рис. 14 изображен случай,

когда / 2, при этом OK h | c |cos . Смешанное

Рис. 14

26

5354.ru

произведение

(a,b, c) (d, c) | d || c |cos .

Но | d | S и

h | c |cos . Поэтому

(a,b, c) Sh V ,

где V – объём параллелепипеда. Этот результат мы получили

для случая,

когда . Если ,

то вектор c лежит ниже плоскости

векторов a ,

b , при этом OK h | c |cos и (a,b, c) Sh V . Итак, справедли-

ва формула

(a,b, c) V ,

(26)

Условие компланарности трех векторов. Если для трёх ненулевых век-

торов a ,

b и c выполняется условие

(a, b, c) 0 ,

(27)

то эти векторы компланарны.

Действительно, в этом случае согласно (26) имеем (a,b, c)

V Sh 0.

Отсюда следует, что три вектора лежат в одной плоскости, так как или S 0,

или h 0.

Если

a ,

b и c заданы своими проекциями, то условие компланарности

(27) с учётом (25) можно записать так:

ax ay az

0 .

bx by bz

cx cy cz

F x, y, z 0 ,

(1)

где левая часть F x,

y, z – известное выражение, содержащее x,

y, z . Фор-

x2 y2 z2 R2

0 .

(2)

например,

x2 y2 z2 1 0 , или когда уравнение определяет одну точку,

например,

x2 y2 z2 0 .

F ( x, y, z) 0,

(3)

1

F2 ( x, y, z) 0.

Пусть M x , y , z

–

произвольная точка плоскости. Рассмотрим вектор

(см. рис. 16). Он лежит на рассматриваемой плоско-

M0M x x0 , y y0 , z z0

сти и поэтому перпендикулярен нормальному вектору N

этой плоскости,

следовательно, скалярное произведение этих векто-

ров M0 M , N 0 . Выразим скалярное произведение

через проекции векторов. Получим

A x x0 B y y0 C z z0 0 .

(4)

Это есть уравнение рассматриваемой плоскости,

Здесь x, y, z – текущие координаты, т. е. координа-

ты произвольной точки плоскости.

Рис. 16

29

5354.ru

Ax By C z D 0 ,

(5)

A x 0 B y 0 C z ( D / C) 0 .

(6)

определяет в

пространстве Oxyz

плоскость,

проходящую через точку

M0 0,0, D / C

и перпендикулярную к вектору N A, B,C .

Итак, уравнение (5) в пространстве всегда определяет плоскость с нор-

мальным вектором N A, B,C . Оно называется общим уравнением плоско-

сти. Мы показали также, что в (5)

числа A, B,C

(коэффициенты уравнения

/ 2 .

N cos Oz, N

0 . Следовательно, cos Oz, N

0 , значит, угол Oz, N

ПустьD 0 , C 0 . Тогда имеем уравнение Ax By 0 . Плоскость проходит