SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Доказательство. Дано, что функция y f (x) при x имеет предел

найдётся такое число N1 , что для всех x N1 будет выполняться неравенство

оба неравенства (3), (4). Из них получим, что b1 b . Но это противоречит условию, что b1 b , поэтому сделанное предположение должно

быть отброшено.

Функция называется ограниченной на некотором множестве M значений x , если существует такое положительное числоC , что для всех x из множества M выполняется неравенство f x C..

Например, функция sin x является ограниченной на всей числовой оси, , так как для всех x имеем sin x 1. В то же время, функция 1/ x не яв-

ляется ограниченной в интервале 0 x . В самом деле, с уменьшением x , т. е. с приближением x к нулю, в этом интервале функция 1/ x неограниченно увеличивается, и не существует такого положительного числаC , чтобы выполнялось неравенство1 / x C в интервале 0,1 .

С учётом определения предела функции можно дать следующее определение бесконечно малой функции: функция y f (x) называется бесконечно малой

Например, функция 1/ x является бесконечно малой при x . В самом де-

рующего в определении, можно взять N 1/ .

При других способах изменения x определение бесконечно малой функции будет аналогичным (с учётом определения предела). Например, функция

82

5354.ru

Свойства бесконечно малой функции

Теорема 4. Если x x – бесконечно малые функции при x , то их сумма x x также является бесконечно малой функцией, при x

.

Доказательство. Пусть – заданное сколь угодно малое число. Нужно доказать, что для этого числа найдётся такое число N 0 , что для всех x N будет выполняться неравенство x x .

Для указанного числа возьмём число / 2 . Так как (x) является беско-

Пусть N – наибольшее из чисел N1, N2 . Тогда для x N имеют место оба

неравенства (5), (6). Поэтому с учётом свойства абсолютной величины суммы имеем для всех x N

| (x) (x) | | (x) | | (x) | / 2 / 2 .

Теорема доказана.

Если (x) – бесконечно малая функция, то - (x) тоже является бесконечно малой функцией. Это ясно из определения, так как (x) (x) . Ясно

также, что разность двух бесконечно малых функций есть снова бесконечно малая функция, т. к. разность можно записать в виде суммы

(x) (x) (x) ( (x)) .

Доказанная теорема сразу распространяется на любое конечное число слагаемых бесконечно малых функций. Можно сказать, что алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций – бесконечно малая функция.

Теорема 5. Если (x) – бесконечно малая функция при x , а f (x) – ограниченная функция на некотором бесконечном интервале N1, , то произведение (x) f (x) – бесконечно малая функция при x .

83

5354.ru

Доказательство. Пусть 0 – заданное сколь угодно малое число. Нужно доказать, что для этого числа найдётся такое число N 0 , что для всех x N будет выполняться неравенство (x) f (x) . Это будет означать, что

рассматриваемое произведение есть бесконечно малая функция при x . Так как f (x) – ограниченная функция в интервале N1, , то существует та-

кое число c 0 , что для всех точек интервала N1, , т. е. для всех x N1 , имеет место неравенство

Пусть N – наибольшее из чисел N1, N2 . Тогда для всех x N неравенства (7)

и (8) выполняются одновременно, поэтому с учётом свойства абсолютной величины произведения для всех x N имеем

(x) f (x) (x) f (x) c c .

Теорема доказана.

Следствия из теорем 2 – 5

Следствие 1. Функция, бесконечно малая при x , является функцией, ограниченной в некотором бесконечном интервале N, (согласно тео-

реме 2, поскольку указанная бесконечно малая функция имеет предел, равный нулю, при x ).

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых функций есть беско-

нечно малая функция (согласно теореме 5, так как любая из этих бесконечно малых функций – функция ограниченная).

Следствие 3. Произведение постоянной на бесконечно малую функцию – функция бесконечно малая (согласно теореме 5, т. к. постоянная есть ограниченная функция).

84

5354.ru

§8. Бесконечно большая функция,

еесвязь с бесконечно малой

x2 – бесконечно большая функция при x , и в качестве числа N , указан-

или / 1. Эти символы лишь обозначения бесконечно большой функции.

Покажем связь между бесконечно большой и бесконечно малой функ-

циями.

Теорема 6. Если f (x) – бесконечно большая функция при x , то 1/ f (x) – бесконечно малая функция при x .

Доказательство. Пусть 0 – заданное сколь угодно малое число. Докажем, что для него найдётся такое число N 0 , что для всех x N будет вы-

на.

Теорема 7 (обратная предыдущей). Если (x) – бесконечно малая функ-

ция при x , не обращающаяся в нуль, то 1/ (x) – бесконечно большая

функция при x .

Доказательство аналогично предыдущему.

Теоремы 6 и 7 условно записывают так: 1/ 0 и 1/ 0 . Отметим, что при других способах изменения x определение бесконечно большой функции

§ 9. Свойства пределов

Теорема 8. Если f (x) – функция, имеющая при x предел, равный числу b , то эту функцию можно представить в виде суммы числа b и некоторой бесконечно малой функции (x) при x , т. е. f (x) b (x) .

Доказательство. Пусть 0 – заданное сколь угодно малое число. Обозначим

Итак, для всех x N имеем (x) . Это означает, что (x) – бесконечно малая функция, и мы получаем из (10) f (x) b (x) . Теорема доказана.

Теорема 9 (обратная теореме 8). Если функцию f (x) можно представить в виде суммы числа b и некоторой бесконечно малой функции (x) при

86

5354.ru

Теорема 10. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых функций, если последние пределы существуют.

Например, для двух функций

Теорема 11. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, если последние пределы существуют.

Например, для двух функций

Теорема 12. Предел дроби (частного) равен отношению предела числителя к пределу знаменателя, если оба последних предела существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Эти три теоремы доказываются аналогичным образом. Докажем теорему 11. Нам дано, что

f (x) (x) bc [b (x) c (x) (x) (x)]. Слагаемые в правой части в квадратных скобках -бесконечно малые функции, согласно следствиям из теорем 2 – 5. Тогда сумма в этих скобках, согласно теореме 4, тоже бесконечно малая функция, поэтому число bc , согласно теореме 9, есть предел функции

f (x) (x) . Итак, lim f (x) (x) b c . Подставив в правую часть вместо b и c

x

пределы (12), придем к формуле (11). Теорема доказана.

Следствие из теоремы 11. Постоянный множитель можно выносить за

постоянной равен этой же постоянной, что ясно из определения предела). По формуле (11) получим

87

5354.ru

§ 10. Переход к пределу в неравенствах

Теорема 13. Пусть (x) f (x) g(x) для всех x и функции g(x) и (x) при x имеют один и тот же предел, равный b . Тогда тот же предел b при x имеет функция f (x) , заключённая между g(x) и (x) .

Доказательство. Пусть 0 – заданное сколь угодно малое число. Так

N2 . Тогда для всех x N выполняются оба предыдущих неравенства. Значит,

f (x) при x . Теорема доказана.

Легко проверить, что теорема остаётся справедливой и в том случае, когда x) f x) g x) для всех x .

Теорема 14. Если для всех x функция f (x) 0 и существует предел этой

обозначим b . Нужно доказать, что b 0 .

Предположим обратное, т. е. что b 0 (хотя все условия теоремы выполняются). Выберем число 0 настолько малым, чтобы было b 0 . Так как функция f (x) имеет при x предел, равный b , то для выбранного числа0 найдётся такое число N 0 , что для всех x N будет выполняться неравенство f x b или равносильное ему неравенство b f (x) b . По-

этому для всех x N получим f (x) b 0 . Итак, для всех x N будем иметь f x 0 . Но это противоречит условию теоремы, следовательно, предположение, что b 0 , должно быть отброшено. Теорема доказана.

88

5354.ru

Легко проверить, что теорема остаётся справедливой, когда f (x) 0 для всех x .

§ 11. Первый замечательный предел

2sin x ) cos x x / sin x cos x . В последнем неравенстве перейдём к обратным величинам, при этом знаки неравенства изменятся на обратные:

Последнее неравенство получено для x 0 . Пусть теперь x 0 . Тогда x 0 и справедлива формула (13), т. е. 1/ cos( x) sin( x)) /( x) cos( x) . Учитывая, что sin( x) sin x и cos( x) cos x , опять придём к неравенству (13), но уже для

x 0 .

Итак, неравенство (13) справедливо как для x 0 , так и для x 0 . Перейдем в нем при x 0 к пределу (к обычному пределу, когда x 0 , принимая как положительные, так и отрицательные значения). Однако крайние части (13) имеют один и тот же предел, равный 1. Поэтому по теореме 13 получим

89

5354.ru

§ 12. Предел последовательности.

Второй замечательный предел. Натуральные логарифмы

Дана функция yn f (n) , где n принимает целые положительные значения. Она называется функцией натурального аргумента n и принимает значения

образом, задание функции натурального аргумента равносильно заданию последовательности. По аналогии с определением предела функции f (x) при x дадим определение предела функции натурального аргумента (последовательности).

Число b называется пределом функции натурального аргумента yn f (n)

yn f (n) 1/ n или последовательность 1/ n являются убывающими. В самом

деле, каждое последующее значение меньше предыдущего, т. е. 1

Кроме того, последовательность является ограниченной, т. к. для всех n выполняется неравенство 1/ n 1 .

Без доказательства запишем несколько теорем.

Теорема 15. Всякая возрастающая ограниченная последовательность (функция натурального аргумента) имеет конечный предел.

Эта теорема утверждает только лишь существование предела, но не указывает, как его найти.

Теорема 16. Функция натурального аргумента yn (1 1n)n имеет при n предел, заключённый между числами 2 и 3.

90

5354.ru