Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.69 Mб

Скачать

☆

1 / 191 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Р. Б. Салимов

МАТЕМАТИКА

ДЛЯ СТУДЕНТОВ БАКАЛАВРИАТА

2011г.

5354.ru

УДК

ББК

Салимов Р. Б. Математика для студентов бакалавриата. 5354.ru, 2011.

Книга рассчитана на студентов бакалавриата, обучающихся на строительных, технологических и других родственных специальностях и изучающих курс математики в объёме примерно 350 часов аудиторных занятий с разбиением последних поровну на лекционные и практические. Она содержит все основные разделы математики, изучаемые студентами названных специальностей: элементы аналитической геометрии и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, элементы теории вероятностей и математической статистики.

Для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов, специали-зирующихся в области математики и ее приложений.

ISBN

5354.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.............................................................................................................................	6
Глава 1. ЭЛЕМЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ..................................................................	7
§ 1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков.....	7
§ 2. Декартовы координаты. Полярные координаты..............................................................	9
§ 3. Векторы, линейные операции над ними.........................................................................	10
§ 4. Проекция вектора на ось...................................................................................................	12
§ 5. Разложение вектора по базисным векторам...................................................................	13
§ 6. Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями.........................	14
§ 7. Длина вектора. Расстояние между двумя точками........................................................	15
§ 8. Направляющие косинусы вектора...................................................................................	16
§ 9. Скалярное произведение векторов, угол между векторами. Условие ортогональности
двух векторов............................................................................................................................	16
§ 10. Векторное произведение векторов, условие коллинеарности двух векторов,
площадь треугольника.............................................................................................................	18
§ 11. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл. Условие
компланарности трех векторов...............................................................................................	22
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.....................................................	25
§ 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве........................................	25
§ 2. Плоскость, общее уравнение плоскости.........................................................................	26
§ 3. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей.................................................................................................................................	28
§ 4. Расстояние от точки до плоскости в пространстве........................................................	28
§ 5. Прямая в пространстве и ее уравнения...........................................................................	30
§ 6. Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две
заданные точки.........................................................................................................................	31
§ 7. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности.........	32
§ 8. Уравнение линии на плоскости........................................................................................	33
§ 9. Общее уравнение прямой на плоскости, угол между прямыми...................................	34
§ 10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, условия параллельности и
перпендикулярности прямых..................................................................................................	35
§ 11. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым
коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки...................	36
§ 12. Кривые второго порядка. Окружность..........................................................................	36
§ 13. Эллипс..............................................................................................................................	37
§ 14. Гипербола.........................................................................................................................	39
§ 15. Парабола...........................................................................................................................	41
§ 16. Преобразование координат на плоскости.....................................................................	43
§ 17. Понятие о многомерном евклидовом пространстве....................................................	45
§ 18. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр .........................................................	48
§ 19. Эллипсоид........................................................................................................................	49
§ 20. Конус ................................................................................................................................	50
§ 21. Однополостный и двуполостный гиперболоиды.........................................................	51
§ 22. Эллиптический и гиперболический параболоиды.......................................................	52
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ........................................................................	54
§ 1. Определители высших порядков.....................................................................................	54
§ 2. Свойства определителей...................................................................................................	55
§ 3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица.......................................................	56
§ 4. Системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Матричный
метод решения..........................................................................................................................	60

5354.ru

§ 5. Формулы Крамера.............................................................................................................	61
§ 6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.........................	63
§ 7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли...............................................................	66
§ 8. Однородные системы........................................................................................................	67
Глава 4. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ....................................................................................................	69
§ 1. Обозначения, переменные, интервалы............................................................................	69
§ 2. Свойства абсолютной величины числа...........................................................................	70
§ 3. Функция, способы задания...............................................................................................	71
§ 4. Предел функции при x и его геометрический смысл ........................................	73
§ 5. Предел функции при x x0 и его геометрический смысл. Односторонние пределы
....................................................................................................................................................	75
§ 6. Теоремы о пределах. Ограниченные функции...............................................................	76
§ 7. Бесконечно малые функции и их свойства.....................................................................	78
§ 8. Бесконечно большая функция, ее связь с бесконечно малой........................................	81
§ 9. Свойства пределов ............................................................................................................	82
§ 10. Переход к пределу в неравенствах................................................................................	84
§ 11. Первый замечательный предел......................................................................................	85
§ 12. Предел последовательности. Второй замечательный предел. Натуральные
логарифмы.................................................................................................................................	86
§ 13. Сравнение бесконечно малых функций........................................................................	88
§ 14. Непрерывность функции в точке и на интервале.........................................................	89
§ 15. Свойства непрерывных функций...................................................................................	90
§ 16. Точки разрыва функции..................................................................................................	92
Глава 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО......................................	94
§ 1. Задача об определении скорости.....................................................................................	94
§ 2. Определение, механический и геометрический смыслы производной.......................	95
§ 3. Касательная и нормаль к кривой. Существование производной..................................	97
§ 4. Дифференцируемость функции.......................................................................................	98
§ 5. Производная постоянной. Правила дифференцирования.............................................	99
§ 6. Производные тригонометрических и логарифмической функций.............................	101
§ 7. Производная сложной функции.....................................................................................	103
§ 8. Производные степенной и показательной функций. Логарифмическое
дифференцирование...............................................................................................................	104
§ 9. Неявная функция и её производная...............................................................................	105
§ 10. Обратная функция и ее производная...........................................................................	106
§ 11. Производные обратных тригонометрических функций............................................	107
§ 12. Функция, заданная параметрически, и ее дифференцирование...............................	109
§ 13. Дифференциал функции и его применение в приближённых вычислениях...........	111
§ 14. Производные и дифференциалы высших порядков...................................................	113
Глава 6. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ В ЗАМКНУТОМ ИНТЕРВАЛЕ. ПРАВИЛО
ЛОПИТАЛЯ................................................................................................................................	115
§ 1. Свойства функций, непрерывных в замкнутом интервале .........................................	115
§ 2. Теоремы Ферма и Ролля.................................................................................................	117
§ 3. Теоремы Коши и Лагранжа............................................................................................	119
§ 4. Правило Лопиталя...........................................................................................................	121
§ 5. Раскрытие неопределённостей.......................................................................................	123
Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.......	126
§ 1. Возрастание и убывание функции.................................................................................	126
§ 2. Точки экстремума функции. Необходимый признак экстремума. Наибольшее и
наименьшее значения функции в замкнутом интервале...................................................	127

5354.ru

§ 3. Достаточные признаки экстремума функции...............................................................	130
§ 4. Выпуклость линии. Точки перегиба кривой.................................................................	133
§ 5. Асимптоты кривой..........................................................................................................	136
§ 6. Общая схема исследования функций и построения графиков ...................................	138
Глава 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ......................................	140
§ 1. Производная длины дуги кривой...................................................................................	140
§ 2. Кривизна кривой на плоскости......................................................................................	141
§ 3. Радиус, центр и круг кривизны кривой на плоскости .................................................	144
§ 4. Параметрические и векторное уравнения линии в пространстве...............................	145
§ 5. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента............................	146
§ 6. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для пространственной
кривой......................................................................................................................................	149
Глава 9. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ...................................................................	151
§ 1. Функции двух переменных и способы их задания ......................................................	151
§ 2. Геометрическое представление функции двух переменных ......................................	153
§ 3. Функции трёх и большего числа переменных. Частное и полное приращения
функции...................................................................................................................................	154
§ 4. Предел функции ..............................................................................................................	155
§ 5. Непрерывность, точки и линии разрыва функций.......................................................	157
§ 6. Свойства функций, непрерывных в конечной (ограниченной) замкнутой области.158
§ 7. Частные производные.....................................................................................................	159
§ 8. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных .............	160
§ 9. Полный дифференциал...................................................................................................	162
§ 10. Применение полного дифференциала функции в приближённых вычислениях....	164
§ 11. Производная сложной функции...................................................................................	165
§ 12. Дифференцирование функций, заданных неявно......................................................	167
§ 13. Частные производные высших порядков....................................................................	169
§ 14. Экстремумы и необходимые признаки экстремума функции двух переменных ...	170
§ 15. Достаточный признак экстремума Схема исследования на экстремум функции двух
переменных.............................................................................................................................	172
§ 16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в
замкнутой области..................................................................................................................	174
§ 17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности......................................................	175
§ 18. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности..................................	177
§ 19. Производная по направлению......................................................................................	178
§ 20. Градиент функции и его связь с производной по направлению...............................	180

5354.ru

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга рассчитана на студентов втузов бакалавриата, обучающихся на строительных, технологических и других родственных специальностях и изучающих курс математики в объёме примерно 200 часов аудиторных занятий с разбиением последних поровну на лекционные и практические. В отличие от ряда учебников по математике, широко используемых во втузах, в которых

математика изучается в вышеуказанном	объёме (например, учебников
Н. С. Пискунов «Дифференциальное и	интегральное исчисления»,

А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович «Краткий курс математического анализа»), данная книга содержит все основные разделы математики, изучаемые студентами названных специальностей: элементы аналитической геометрии и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, элементы теории вероятности и математической статистики.

Изложение материала в книге ведётся на достаточно высоком уровне математической строгости; за редким исключением, когда используются нестрогие методы доказательства, основанные на геометрическом истолковании рассматриваемых понятий. В то же время в рассуждениях и при проведении доказательств авторы стремились избежать излишне частого использования математических символов вместо слов, которое могло бы затруднить восприятие материала студентами. В отдельных случаях доказательства теорем и выводы формул предлагается учащимся провести самостоятельно, и даются подробные указания, как это сделать.

В книге не нашли отражение численные методы математики в связи с тем, что эти методы стали излагаться в таких дисциплинах, как «Численные методы» и «Информатика», предусмотренных учебными планами втузов.

Многолетний опыт преподавания авторами курса математики во втузе показывает, что принятое в книге изложение обеспечивает доступность материала, и добросовестные дисциплинированные студенты хорошо воспринимают такое изложение.

5354.ru

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков

Одним из основных понятий в математике является понятие числа. Оно возникло в глубокой древности в результате счёта и измерений и совершенствовалось. Числа бывают рациональные и иррациональные.

Рациональное – это число, которое можно представить в виде отношения p / q двух целых чисел p и q . Известно, что рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Иррациональным называется число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Примерами иррациональных чисел являются 2 ,

Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел образует мно-

	жество действительных (вещественных) чисел.
	Числовая ось – это прямая, на которой вы-
	браны: точка O – начальная точка отсчёта, по-
	ложительное направление (на рис. 1 оно указа-
	но ), масштаб для измерения длины. На	Рис. 1
	рис. 1 ось проведена горизонтально, положи-	Рис. 1
	рис. 1 ось проведена горизонтально, положи-

тельное направление выбрано вправо.

Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Если число x положительное, то его изображают точкой M для которой расстояние от начала O равно OM x, а направление от точки O до точки M совпадает с положительным направлением оси; если число x1 отрицательное, то его изображают точкой M1 для которой расстояние от начала O равно OM 1 x1 , а направление от точки O до точки M1 противоположно положительному направлению оси. Число x называют координатой точки M на оси Ox; пишут M (x); x1 – координата точки M1, пишут M1(x1 ). Числовую ось обознача-

ют Ox и называют координатной или осью координат.

Без обоснования: между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие: каждому числу x отвечает определённая точка M числовой оси и, наоборот, каждой точке M числовой оси отвечает определённое действительное число, которое изоб-

5354.ru

ражается этой точкой. В дальнейшем вместо «точка M с координатой x » будем говорить «точка x » и число x будем писать рядом с точкой M .

Абсолютной величиной (модулем) числа x называется число, обозначаемое | x | и равное

	x	при x 0;

\| x \|=	x	при x 0.

Ясно, что абсолютная величина | x | числа x – это расстояние от точки x до начала O .

Определители второго и третьего порядков. Пусть даны четыре числа a11, a12 , a21, a22. Определителем второго порядка называют число

a11 a12 a11a22 a12a21, где левая часть формулы – обозначение определителя.

a21 a22

Пусть даны девять чисел a11, a12 , a13, a21, a22 , a23, a31, a32 , a33. Определителем третьего порядка называется число, определяемое формулой

a11 a12 a13

a22

a23

a21 a23

a21 a22

a32

a33

a31 a33

a31

a32

a31

a32

a33

Левая часть формулы – обозначение определителя третьего порядка. Числа a11, a12 , a13 , a21, a22 , a23, a31, a32 , a33 называются элементами определителя. Бу-

дем обозначать их aij , где i – номер строки, j – номер столбца, к которым

принадлежит элемент.

Минором, соответствующим элементу aij определителя третьего поряд-

ка, называется число Mij , равное определителю второго порядка, получаемо-

му вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент aij .

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij

определителя третьего по-

рядка называют число, определяемое формулой Aij

( 1)i j

Mij . Это число рав-

но Mij , если i j чётно, и равно Mij , если i j

нечётно. Из этого определе-

ния следует, например,

A ( 1)

a22

a23

, A

( 1)

1 1

1 2

a32

a33

a31

a33

5354.ru

Ox, Oy

A13 ( 1)1 3 M13 a21 a22 .

a31 a32

Таким образом, формула определителя третьего порядка примет вид

a11	a12	a13
a11	a12	a13
a21	a22	a23	a11 A11 a12 A12 a13 A13 .
a31	a32	a33

Можно сделать вывод, что определитель третьего порядка есть сумма произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Легко проверить, что сказанное справедливо для элементов любой строки (любого столбца) определителя, например,

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 A31 a32 A32 a33 A33 . a31 a32 a33

§ 2. Декартовы координаты. Полярные координаты

Декартовы координаты. Пусть в пространстве заданы три взаимно перпендикулярные числовые оси и Oz с общим началом O и общим мас-

штабом (рис. 2). Будем говорить, что в пространстве введена система координат Oxyz, а указанные числовые оси называть осями координат. Пространство обозначается R3. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными и обозначаются Oxy, Oxz и Oyz .

Пусть М – произвольная точка пространства, M1 , M 2 , M 3 – проекции точки М на оси Ox, Oy и Oz , т. е. это точки пересечения соответственно с осями и Oz плоскостей, проведённых через точку М

	перпендикулярно к этим осям (рис. 2).
	Пусть x, y, z – координаты точек M1 , M 2 , M 3 на
	соответствующих осях. Эти числа называются коорди-
	натами точки М в пространстве Oxyz. При этом пи-
	шут M (x, y, z) , где x – абсцисса, y – ордината, z – ап-
	пликата. Таким образом, каждой точке пространства
Рис. 2	Oxyz отвечают три числа – координаты этой точки.
	Ясно, что и наоборот каждой тройке чисел в указанном

пространстве отвечает определенная точка.

5354.ru

Оси координат Ox и Oy на плоскости образуют систему координат Oxy. Пусть M1 , M 2 – проекции точки A на оси Ox и Oy (рис. 2). Они являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки A на оси Ox и Oy соответственно. Пусть x и y - координаты точек соответственно M1 иM 2 . Числа x и y называются координатами точки A на плоскости. Этот факт записывают в виде A(x, y). Плоскость указанной системы координат обозначают R2 . Опи-

санные выше системы координат в пространстве и на плоскости называют прямоугольными декартовыми. Система координат, изображенная на рис. 2,

называется правой.
Полярные координаты на плоскости. Возьмем на
плоскости положительную полуось Ox , т. е. ту часть
оси, где x неотрицателен. Пусть A – произвольная точ-
ка плоскости и – расстояние от точки A до начала O,
– угол, образованный отрезком OA с осью Ox , отсчи-
тываемый от оси Ox	в направлении против хода часо-
вой стрелки, причём	0 2 (рис. 3). Числа		и	Рис. 3
называются полярными координатами точки		A ,	при-
чем – полярный радиус, – полярный угол, O – полюс, положительная по-

луось Ox – полярная ось.

Пусть Oxy – декартова система координат в рассматриваемой плоскости, x, y – декартовы координаты точки А. Из рис. 3 видно, что x cos , y sin . Эти формулы выражают декартовы координаты точки A через её полярные координаты.

§ 3. Векторы, линейные операции над ними

Скалярной называется величина, которая полностью определяется своим численным значением. Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объём, масса.

	Вектором называется направленный отрезок прямой,
соединяющий две точки в пространстве (рис. 4). Если А и
В – начало и конец вектора, то он обозначается
В – начало и конец вектора, то он обозначается		AB или

a	AB .	Рис. 4
	Длиной (модулем) вектора называется число,	равное
длине отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора
			a AB

5354.ru

1 / 191 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.05.2015371.27 Кб10rulturologiy 2.pdf
#
14.11.2018293.89 Кб4russkij-yaz.-egye-chast-s-yenciklopediya.doc
#
17.03.2016150.23 Кб8rutrvar56.pdf
#
17.03.2016311.15 Кб4ryady_metod_ukazaniya_kgasu_5354.pdf
#
12.05.20153.88 Mб42SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web.pdf
#
12.05.20153.69 Mб71SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web.pdf
#
11.05.2015988.67 Кб44Sbornik_testov_s_otvetami_marketing.doc
#
12.05.20159.79 Mб13SGH_i900_service_manual-spaces_ru.pdf
#
12.05.2015526.35 Кб48Shavali_Burova_109_13.pdf
#
11.05.2015710.66 Кб22Shpargalka_po_pravookhranitelnym_organam.doc
#
27.09.2019520.19 Кб15shpora1.doc