SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

определяется по формуле S | d | / 2 .

§ 11. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл.

Условие компланарности трех векторов

называется смешанным (векторно-скалярным) произведением трёх исходных векторов a , b , c и обозначается

Левая часть этой формулы – смешанное произведение ( a ,b , c ). Правую часть запишем в виде определителя третьего порядка:

Эта формула позволяет вычислить смешанное произведение векторов, заданных своими проекциями. Выясним теперь

22

5354.ru

Геометрический смысл смешанного произведения. Даны векторы a , b

иc . Построим эти векторы, поместив их начала в общей точке, а затем на них

a b ,

–объём параллелепипеда. Этот результат мы получили для случая, когда

. Если , то вектор c лежит ниже плоскости векторов a , b , при

этом OK h | c |cos и (a,b, c) Sh V . Итак, справедлива формула

где V – объем параллелепипеда.

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

(27) с учётом (25) можно записать так:

23

5354.ru

ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

§ 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве

В аналитической геометрии любую поверхность в пространстве рассматривают как геометрическое место точек, обладающих определённым свойством. Расположим указанную поверхность в системе координат Oxyz. Свойство, общее для всех точек поверхности, запишем аналитически, т. е. в виде соотношения, связы-

вающего координаты x, y, z произвольной точки M Рис. 15 поверхности:

мула (1) называется уравнением поверхности в пространстве Oxyz, а величи-

ны x, y, z – текущими координатами. Например, сфера радиуса R с центром (0, 0, 0) (см. рис. 15) определяется уравнением

В самом деле, для любой точки М( x, y, z ) сферы расстояние ОМ=R. Заметив, что OM x 0 2 y 0 2 z 0 2 , подставим это выражение в предыдущую

формулу, возведем в квадрат и перенесем R2 влево, при этом получим (2). Поэтому (2) является уравнением сферы.

По построению уравнению (1) удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности. Можно сформулировать и обратное утверждение: каждому уравнению вида (1) в пространстве Oxyz отвечает некоторая поверхность – геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют (1), если не имеет место случай, когда это уравнение не определяет никакого множества точек,

Итак, каждой поверхности в пространстве Oxyz отвечает уравнение вида

(1). Это обстоятельство позволяет свести изучение геометрических свойств

25

5354.ru

поверхностей к изучению их уравнений аналитическими методами. Этим и занимается аналитическая геометрия.

Уравнения линии в пространстве. Линию L в пространстве Oxyz будем рассматривать как линию пересечения двух поверхностей. Пусть каждая из этих поверхностей определяется одним из уравнений

Тогда координаты x, y, z любой точки M линии L удовлетворяют каждому из этих уравнений, так как эта точка лежит на обеих поверхностях. Таким образом, линии L отвечает система двух уравнений (3). Эта система называется

уравнениями линии L в пространстве.

Итак, линии L в пространстве отвечает система уравнений (3) и, наоборот, каждой системе уравнений (3) в пространстве Oxyz отвечает некоторая линия – геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этой системе.

§ 2. Плоскость, общее уравнение плоскости

Пусть в пространстве Oxyz задана плоскость, т. е. заданы:

координаты x0 , y0 , z0 точки M0 , лежащей на этой плоскости;

A, B, C – проекции на оси координат ненулевого вектора N A, B,C ,

перпендикулярного плоскости, который называется нормальным вектором плоскости.

Общее уравнение плоскости. Возьмём уравнение первой степени относительно x, y, z :

где A, B, C, D – заданные числа. Будем считать, что A, B, C одновременно не обращаются в нуль. Если же эти числа обращаются в нуль одновременно, то

(5) примет вид D 0 и уже не будет уравнением. Пусть C 0 , тогда (5) можно записать в виде

Но это есть уравнение вида (4), поэтому оно (следовательно, и уравнение (5))

Итак, уравнение (5) в пространстве всегда определяет плоскость с нормальным вектором N A, B,C . Оно называется общим уравнением плоскости. Мы показали также, что в (5) числа A, B,C (коэффициенты уравнения при текущих координатах) представляют собой проекции на оси координат нормального вектора N этой плоскости. Отметим отдельные частные случаи уравнения (5).

Пусть в (5) D 0 , тогда уравнение примет вид Ax By Cz 0 , плоскость в этом случае проходит через точку O 0, 0, 0 , так как координаты точки О удо-

влетворяют этому уравнению.

Пусть C 0 , тогда получим уравнение Ax By D 0 . В этом случае плоскость параллельна оси Oz, так как её нормальный вектор N A, B, 0 перпен-

через ось Oz, так как проходит через начало координат О (поскольку D 0 ), кроме того, она параллельна оси Oz (поскольку C 0 ).

Пусть B 0 , C 0 . Тогда Ax D 0 или x D / A . Плоскость параллельна плоскости Oyz , так как она параллельна оси Oz (поскольку C 0 ) и параллельна оси Oy (поскольку B 0 ).

Пусть B 0 , C 0 , D 0 . Тогда Ax 0 или x 0 . Это уравнение определяет плоскость Oyz , так как плоскость параллельна Oyz , как и в предыдущем

27

5354.ru

ражение (12) подставим в левую часть формулы (11), а в правой части раскроем скобки. Получим

плоскости с уравнением (10) нужно в левую часть уравнения (10) вместо x, y, z поставить координаты x1, y1, z1 заданной точки M1 , а затем найденное

29

5354.ru