SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

|gradU |

U 2

U

2

U 2

(49)

y

.

x

z

Через точку P проведем ось с единичным вектором

e

cos cos , cos

(рис. 100). Запишем скалярное произведение векторов e

и

gradU :

gradU , e U

cos U

cos U

cos .

x

y

z

Правая часть этой формулы равна U

– производной

Рис. 100

по направлению от функции U

в точке P. Таким обра-

зом, получим

gradU , e

U

.

(50)

Эта формула связывает производную по направлению в точке

P и gradU в

точке P. Скалярное произведение в формуле (50) выразим через длины векто-

ров и косинус угла между ними:

U | gradU | cos .

(51)

наискорейшего возрастания функции

U по сравнению со всеми другими

направлениями оси .

Пусть U U x, y, z c, где c const,

есть уравне-

ние поверхности уровня рассматриваемого скалярно-

го поля, проходящей через точку P (рис. 101). Запи-

шем это уравнение так:

U x, y, z c 0.

Левую часть

обозначим через F x, y,

z . Тогда уравнение этой по-

верхности будет

иметь вид

F x, y, z 0.

Частные

производные от

функции F

равны

F

U

,

F

U

Рис. 101

x

x

y

y

,

F

U

z

z . Мы знаем, что эти производ-ные, вычисленные в точке P поверхно-

сти уровня, являются проекциями вектора N , направленного по нормали к

U

, U

, U

Но согласно формуле (48) такие же

этой поверх-ности, т. е. N

.

x

y

z

проекции имеет и gradU в точке P,

т. е.

N

gradU. Таким образом, gradU есть