SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

f x 1/ x2

точка x 0

является критической

точкой,

так как

в ней производная

f x 2 / x3 не существует. Знак этой произ-

водной изменяется с «+» на «-». При этом

точка x 0 не является точкой максимума,

так как в

ней функция имеет разрыв: при

x 0 f x . График этой функции пока-

Рис. 67

зан на рис. 67.

x0 – критическая точка дважды дифференцируемой функции f x ,

т. е.

f x0 0. Тогда, если f x0 0, то x0 является точкой экстремума f

x , а

именно, точкой максимума при f x0 0 и точкой минимума при f x0 0.

Доказательство. Докажем теорему для случая, когда f x0 0. Нужно

казательстве дополнительно предположим, что

f x

непрерывна в точке x0 .

Это означает, что lim f x f x0 .

x x0

Возьмём число ,

равное f x0 / 2.

Это число положительное согласно

условию. Для этого числа согласно определению предела функции

f x

при

x x0 найдётся

такое число

,

что

для

всех точек

интервала

x0 x x0

будет выполняться неравенство

f x f x0

f x0 / 2

или

равносильное

ему

неравенство

f x0 / 2

f x f x0 f x0 / 2,

т. е.

f x0 / 2 f x

3 f x0 / 2. Итак, для всех

x

из интервала x0 x x0

всюду

в интервале

a, b , то в этом интервале

кривая y f x выпуклая

вверх.

Если f x 0

всюду в интервале a, b , то

в этом интервале кривая

ции, в этом интервале f x

убывает с увеличением x. Значит,

f x tg

убывает всюду в интервале

a, b . Следовательно, кривая y f x

является

выпуклой вверх, что очевидно геометрически. Теорема доказана.

необходимому

признаку

выпуклости

кривой,

f x 0,

поэтому

lim f x f x0 0.

Для выпуклой вниз части кривой

y f x , согласно не-

x x0

обходимому

признаку

выпуклости

кривой,

f x 0,

поэтому

lim f x f x0 0.

Но эти два соотношения должны выполняться одновре-

x x0

менно, следовательно, f x0 0. Теорема доказана.

Абсциссой точки перегиба может служить и

значение x0 ,

при котором f x не существует.

Покажем это на примере кривой y 3 x.

Здесь

f (x) 3 x,

f x (1/ 3) x 2 3 ,

f x (2 / 9) x 53 .

Отметим, что

при

x 0

вторая производная

f x не существует, т. е. не существует

f 0 .

Рис. 71

Доказательство. Пусть знак f x

изменяется с «-» на «+» при переходе

x через x0

с увеличением x, т. е. при x x0 имеем f x 0, а при x x0 полу-

чим f x

0. Тогда, согласно достаточному признаку выпуклости кривой,

слева от x0

лежит участок выпуклости вверх кривой, а справа от x0 – участок

выпуклости вниз. Следовательно, x0

– абсцисса точки перегиба кривой

Пример. Найти точку перегиба линии y x3. Здесь

f x x3 ,

f x 3x2 ,

f x 6x. Далее,

производная f x 6x существует всюду и обра-

щается в нуль в единственной точке x 0 ;

исследуем точку x 0 с помощью

достаточного

признака точки перегиба: при x 0 имеем

f x 6x 0, а

при

x 0

f x 6x 0, т. е. знак «-» изменяется на «+»,

следовательно, x 0 есть абсцисса точки перегиба;

Рис. 72

найдём ординату точки перегиба, подставив

x 0 в

Вертикальные асимптоты. Дана кривая с урав-

нением y

x x

0

– заданное

f

x

. Если lim

f

x

,

x

0

число, то кривая имеет вертикальную асимптоту с

уравнением

x x0 .

Здесь

график

функции будет

иметь вид, указанный, например, на рис. 73.

На кривой

y f x возьмём точку M с абсцис-

сой x и ординатой

f x . Пусть точка N

– основание

перпендикуляра, опущенного из точки

Рис. 73

M на пря-

но MN x x0 .

По условию

при x x0 , когда

x x0 MN стремится к нулю, имеем

f x , а точка

M кривой неограниченно удаляется от начал координат.

Иначе говоря, когда точка M неограниченно удаляется от начала координат,

Наклонные

асимптоты.

Пусть

кривая

y f x имеет наклонную асимптоту с уравнени-

ем y kx b,

где k

– угловой коэффициент асимп-

тоты, т. е.

k tg

угол образован с осью Ox

асимптотой (рис. 74). На кривой

y f x

возьмём

точку M с координатами x, y ,

y f ( x).

На пря-

мой y kx b (асимптоте рассматриваемой кривой)

Рис. 74

возьмём точку M1

с той же абсциссой,

что и у

MM1 f x kx b .

(3)

MM1 NM / cos .

(4)

Прямая y kx b

есть асимптота линии y f x ,

следовательно, расстоя-

ние MN от точки M до прямой стремится к нулю, когда точка M неограни-

ченно удаляется от

начала координат, т. е. её абсцисса x стремится к беско-

нечности.

Итак, MN 0 при x , значит, согласно (4)

MM1 0 при x ,

т. е.

lim MM1 0. Подставим сюда вместо MM1 выражение (3) и получим

x

lim f x kx b 0.

(5)

x

ция, которую

обозначим

через p(x) . Тогда p( x) f x kx b

или

f (x) kx b p(x),

где p(x)

при x . Это соотношение поделим на x,

пе-

lim

f x

lim k lim b

lim

p(x)

.

x

x

x

x x

x

x

Поскольку 1 x 0 при

x ,

произведение постоянной b на 1 x есть беско-

нечно малая величина, а её предел равен нулю. Аналогично

lim( p(x) / x) 0.

x

Предел постоянной k

равен k,

поэтому

k lim[ f x / x].

(6)

x

Соотношение (5) запишем так:

lim

f x kx b

0.

Учтём, что слева предел

x

разности равен разности пределов и

limb b.

Поэтому

x

lim

f

x

kx

lim b 0, lim

f

x

kx

b 0,

x

x

x

b lim

f

x

kx

.

(7)

x

Функция определена всюду, кроме точки x 1,

которая является точкой

разрыва, и f x при

x 1. Областью определения является совокуп-

ность интервалов ; 1 ,

1; .

Производная f x обращается в нуль в

точках x 2 и x 0 и не существует в точке x 1.

Итак, критическими точ-

ками являются x1 2, x2 1, x3 0.

Ими определяются интервалы возраста-

ния и убывания функции:

; 2 ,

2; 1 , 1; 0 ,

0; . На них соответ-

ственно f x 0, f x 0,

f x 0,

f x 0, т. е.

f x сначала возрастает,

Вторая производная f x не существует в точке

x 1; на интервале ; 1

она отрицательна, зна-

чит, кривая выпукла вверх,

а на интервале 1;

кривая выпукла вниз, так как здесь f x 0. Точка

x 1 не является абсциссой точки перегиба, по-

скольку функция в этой точке не определена. Кри-

вая имеет асимптоты: вертикальную x 1 и наклон-

Рис. 75

ную y x 1. График исследуемой функции пред-

Рис. 76

Поэтому за длину дуги кривой M0 M

есте-

M0M.

ственно принять

s lim ln .

Так как M – переменная точка с абсциссой x,

то с

n

на дуги s

изменяется. Следовательно, эта дуга есть функция от x

– абсциссы

точки M .

Обозначим ее s s x .

На кривой возьмём точку M1 с абсциссой x x.

На рис. 76 показан слу-

чай, когда x 0.

Длина дуги кривой

получается из функции s x

заме-

M0M1

ной x на x x,

т. е. заменой абсциссы x

точки M на абсциссу

x x

точки

M1.

Итак,

длина дуги кривой

есть

s x x . Длина

дуги

M0M1

s x в точке

x, соответ-

MM1 s x x s x s – это приращение функции

ствующее приращению x. Поэтому

lim

s s x .

(1)

x 0

x