SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web
.pdfОтметим, что фигурирующая в теоремах Ролля, Коши, Лагранжа точка x c ( a c b ) неизвестна, известно лишь, что такая точка существует. Поэтому формулы Лагранжа и Коши для вычислений не используются, но они имеют большое теоретическое значение.
§ 4. Правило Лопиталя
Теорема. Пусть функции f x |
и x |
|
одновременно стремятся к нулю |
или к бесконечности при x x0 ( x0 |
– заданное число) или при x . Если |
||
при этом отношение производных |
f ( x) |
x имеет предел, то отношение |
|
|
|
|
|
функций также имеет предел, равный пределу отношения производных, т. е.
lim |
f (x) |
lim |
f (x) |
. |
|
(7) |
|
|
|
|
|||||
|
x |
x |
|
|
|||
Доказательство. Докажем теорему для |
случая, когда |
при x x0 |
обе |
||||
функции имеют пределы, равные нулю, |
и |
непрерывны в |
точке x0 , |
т. е. |
lim f x f x0 0,
x x0
ния производных
lim x x0 0. В теореме говорится о пределе отноше- |
||
x x0 |
|
|
f x |
и x |
при x x0. Это означает, что указанные про- |
изводные мы предполагаем существующими всюду вблизи x0 как слева, так и справа.
Возьмём интервал x0 , x , считая, что x – некоторое фиксированное зна-
чение, достаточно близкое к x0. |
Тогда в этом интервале, включая x, |
всюду |
существуют производные f x |
и x . Следовательно, в интервале |
x0 , x |
функции f x и x |
являются непрерывными, поскольку они дифференци- |
|
руемы. Кроме того, функции |
f x , x непрерывны и в точке x0. Таким об- |
|
разом, функции f x |
и x |
непрерывны в замкнутом интервале x0 , x и |
дифференцируемы всюду внутри него. Дополнительно предположим, чтоx нигде в этом интервале не обращается в нуль (это предположение явля-
ется естественным, т. к. x в формуле (7) стоит в знаменателе). Таким об-
разом, эти две функции удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Поэтому для них и интервала x0 , x справедлива указанная теорема, когда в ней x0 a и x b. Итак,
f x f x0 |
|
|
f c |
, |
x c x. |
|
x x0 |
|
c |
||||
|
|
0 |
121
5354.ru
Но f x0 0 и x0 0. Следовательно, эта формула примет вид
f x |
|
f c |
, x0 c x. |
(8) |
|
x |
c |
||||
|
|
|
Согласно условию теоремы существует предел отношения производных
lim[ f (x) / |
x ]. Отсюда согласно определению предела заключаем, что суще- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
c ], |
x0 c x. Этот предел будет равен предыду- |
|||||
ствует и предел lim[ f (c) / |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
щему, и получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
lim |
f (c) |
lim |
f (x) |
. |
(9) |
|
|
|
|
|
c |
|
||||
|
|
|
|
|
c x0 |
x x0 |
x |
|
||
В соотношении (8) перейдём к пределу, когда x x0 и c x0 , |
учитывая, |
что предел правой части существует. Тогда будет существовать и предел левой части, равный первому:
lim |
f (x) |
lim |
f (c) |
. |
(10) |
x |
|
||||
x x0 |
c x0 |
c |
|
Сравнив формулы (9) и (10), придем к формуле (7). Теорема для указанного случая доказана. Случай, когда x , приводится к рассмотренному заменой x 1 x , при этом x 0. Доказательство, когда x , f x , опускаем.
Замечание. Может оказаться, что функции f x и x одновременно стремятся к нулю или к бесконечности при x x0 или x . Тогда к пределу отношения производных вновь можем применить правило Лопиталя, т. е.
lim |
|
f (x) |
lim |
f (x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x x0 |
x |
x x0 |
x |
|
|
|
|||
|
|
Пример. |
Требуется найти предел |
lim |
1 cos x . |
Поскольку cos x 1 при |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x2 |
|
x 0, то согласно правилу Лопиталя |
|
|
|
||||||
lim |
1 cos x |
lim sin x , если существует последний предел. Здесь снова и числи- |
|||||||
x 0 |
|
x2 |
x 0 2x |
|
|
|
|||
тель, и знаменатель стремятся к нулю при x 0, |
поэтому для нахождения по- |
следнего предела снова можем воспользоваться правилом Лопиталя. Поэтому
окончательно lim sin x |
lim cos x |
1/ 2 |
и |
lim |
1 cos x |
1/ 2. |
|
x 0 2x |
x 0 |
2 |
|
|
x 0 |
x2 |
|
122
5354.ru
Замечание к теореме. |
Если |
предел |
отношения |
производных |
||||||
lim[ f (x) / |
x ] не существует, то правило Лопиталя не применимо. Сказанное |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
покажем на примере. Рассмотрим предел отношения функций |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
x sin x |
. |
(11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
||
Возьмём предел отношения производных этих функций |
|
|||||||||
|
|
lim |
x sin x |
lim 1 cos x |
lim |
1 cos x , |
|
|||
|
|
x |
x |
x |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но этот предел не существует, так как при неограниченном изменении угла x, измеренного в радианах, функция принимает значения, заключённые между –1 и 1, следовательно, 1 cos x ни к какому пределу не стремится. Итак, предел отношения производных не существует. Однако предел (11) отношения функций существует. Убедимся в этом.
Предел (11) запишем так: Согласно теореме о пределе суммы он равняется сумме пределов, а предел постоянной равен ей самой.
Следовательно, |
|
|
sin x |
1 |
|
Здесь второй предел равен нулю, |
|
lim 1 |
|
1 lim |
sin x . |
||||
|
x |
|
x |
x x |
|
|
|
так как 1 x 0, |
т. е. является бесконечно малой функцией при |
x , а sin x |
является ограниченной функцией при x , так как sin x 1. Но произведе-
ние бесконечно малой функции и ограниченной функции есть снова бесконечно малая функция. Итак, предел в правой части последней формулы равен
нулю, и мы получили lim |
x sin x |
|
|
sin x |
|
||
|
lim 1 |
|
|
|
1. |
||
x |
x |
||||||
x |
x |
|
|
|
Таким образом, предел (11) отношения функций существует и равен 1, в то время как предел отношения их производных не существует.
§ 5. Раскрытие неопределённостей
Всюду в настоящем параграфе будем рассматривать предел, когда
( x0 – заданное число) или когда x . |
В дальнейшем это условие указывать |
не будем. Пусть при этом f x и x |
стремятся к нулю, и требуется найти |
предел отношения lim[ f x / x ]. Чтобы найти этот предел, мы не можем воспользоваться теоремой о пределе частного, так как предел знаменателя ра-
123
5354.ru
вен нулю. Говорят, что здесь имеется неопределённость типа 00 . Эта не-
определённость раскрывается по правилу Лопиталя.
Пусть теперь f x , x одновременно стремятся к бесконечности, и требуется найти предел их отношения lim[ f x / x ]. Говорят, что здесь имеется неопределённость типа . Эта неопределённость также раскрывается с
помощью правила Лопиталя. Рассмотрим другие виды неопределённостей. Требуется найти
|
lim f x x , |
(12) |
|
|
|
|
|
когда f x 0, |
а x . Тогда говорят, что имеется неопределённость типа |
0 . Эту неопределённость можно привести к одному из двух предыдущих
видов неопределённости. Предел (12) можно записать так: lim |
f x |
, и по- |
|||||||||||||
[1/ x ] |
|
||||||||||||||
лучаем неопределённость типа 0 |
|
, так как |
|
1 |
|
0. |
Предел (12) можно за- |
||||||||
x |
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
x , как и x , |
|
|
|
|
||||||||
писать и так: lim |
|
. Здесь 1 f |
поэтому получаем не- |
||||||||||||
[1/ f x ] |
|||||||||||||||
определённость типа , т. е. остаётся применить правило Лопиталя. |
|||||||||||||||
Пример 1. Требуется найти lim x ln x . Здесь |
ln x , и имеем неопре- |
||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
делённость типа 0 . Согласно предыдущему утверж-дению |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
x ln x |
|
lim ln x . |
(13) |
|||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x 0 1/ x |
Получили неопределённость типа . Для нахождения предела в правой части применим правило Лопиталя:
lim ln x |
lim |
ln x x |
lim |
1/ x |
. |
(14) |
|
||||||
x 0 1/ x |
x 0 |
1/ x |
x 0 |
1/ x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Здесь снова и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности при x 0, и для нахождения этого предела снова можно воспользоваться правилом Лопиталя. Тогда вновь придем к неопределённости , так как в числителе
появится дробь 1 x2 , а в знаменателе дробь 1 x3 . Этот процесс можно продолжать, никогда не доходя до конца. Поэтому к (14) правило Лопиталя применять не нужно, а достаточно просто преобразовать предел. Он будет равен
124
5354.ru
lim x . Искомый предел функции (13) также равен нулю. Таким образом,
x 0
lim x ln x 0.
x 0
Рассмотрим предел
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
|
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
|
x |
|
|
|
|
|
в котором |
f x 0, |
x 0. Говорят, что здесь имеется неопределённость |
|||||||||||||
типа 00. Если требуется найти предел (15), когда |
|
f x , а x 0, |
|
то го- |
|||||||||||
ворят, что имеется неопределённость типа 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если f x 1, |
а x и нужно найти (15), то говорят, что имеется не- |
||||||||||||||
определённость типа 1 . |
Все эти неопределённости раскрываются одним ме- |
||||||||||||||
тодом. Рассмотрим первый случай. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть |
f x |
|
0, |
|
x |
|
0. Искомый предел |
обозначим |
|
|
x |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A lim f |
|
x . |
Пока будем искать не сам предел A, а ln A. Согласно предыдущему соотношению имеем ln A ln lim f x x . Но логарифм, как основная элементарная функция, является непрерывной функцией, поэтому знак логарифма и знак предела можно переставить местами, и получим ln A lim ln f x x . В правой части воспользуемся свойством логарифмов: ln A lim x ln f x . Но здесь
по условию x 0, а |
ln f x , так как |
f x 0, т. е. получили неопре- |
делённость типа 0 , |
которую раскрывать умеем. Раскрыв ее, найдём пре- |
|
дел правой части последнего соотношения, |
который обозначим a, тогда |
ln A a, a – найденное число. Отсюда A ea .
Пример 2. Вычислить предел lim xx .
x 0
Здесь имеем неопределённость типа 00. Искомый предел обозначим через
A lim xx . |
Будем пока искать ln A. |
Возьмём от последнего соотношения нату- |
||
x 0 |
|
|
|
|
ральный логарифм: ln A ln lim xx . |
В правой части знаки логарифма и предела |
|||
|
x 0 |
|
|
|
поменяем местами и получим ln A lim ln xx , отсюда |
ln A lim(x ln x). |
Предел |
||
|
|
x 0 |
x 0 |
|
правой части, как было показано выше, равен нулю, т. е. ln A 0, |
поэтому |
|||
A e0 1. |
Итак, искомый предел lim xx 1. |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
125
5354.ru
ГЛАВА 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Возрастание и убывание функции
Функция называется возрастающей в интервале, если большему значению аргумента отвечает большее значение функции, а интервал называется
интервалом возрастания функции.
Функция называется убывающей в интервале, если большему значению аргумента отвечает меньшее значение функции, а интервал называется интервалом убывания функции.
Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности, а сама функция называется монотонной.
Ясно, что график возрастающей функции y f x на плоскости Oxy является восходящей
линией (рис. 61), так как ордината y f x точки графика
функции увеличивается с увеличением абсциссы x этой точки (график убывающей функции является нисходящей линией).
Теорема 1 (необходимый признак возрастания и убывания функции).
Если дифференцируемая функция f x возрастает в интервале, то всюду в этом интервале f x 0 ; если она убывает в интервале, то всюду в нём
f x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть функция f x возрастает в интервале, |
тогда по |
||||||
определению |
при |
x 0 |
имеем |
f x x f ( x) 0. |
Поэтому |
||
( f x x f ( x)) / x 0. |
Отсюда |
согласно |
теореме |
14 |
главы |
4 имеем |
|
f '(x) lim{[ f x x f (x)]/ x} 0. |
Для убывающей функции доказательство |
||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|
Теперь получим достаточный признак возрастания и убывания функции. |
|||||||
Теорема 2. Если производная |
f x от функции |
f x |
всюду в интервале |
||||
положительна (отрицательна), то функция |
f x в этом интервале возрас- |
тает (убывает). Если всюду в интервале производная f x от функции f x
126
5354.ru
равна нулю, то функция f x в этом интервале остаётся постоянной величиной, т. е. f x const .
Доказательство. Докажем одно из утверждений теоремы (остальные до-
казываются аналогично). |
|
|
|
|
|
||
Пусть всюду в интервале |
f x 0 и x1 , x2 – две произвольные точки этого |
||||||
интервала, причём x1 x2 , т. е. |
x2 x1 0. Возьмём интервал x1 , x2 . Для него и |
||||||
рассматриваемой функции f x запишем формулу Лагранжа: |
|
||||||
|
|
f x2 f x1 f c x2 x1 , |
x1 c x2 . |
(1) |
|||
По условию f x 0 |
всюду, поэтому f c 0, а так как |
x2 x1 0, в правой |
|||||
части |
формулы (1) |
выражение положительное, |
т. е. |
f x2 f x1 0 |
или |
||
f x2 |
f x1 для любого x2 x1. Это означает, что |
f x |
– возрастающая функ- |
ция в рассматриваемом интервале.
§ 2. Точки экстремума функции. Необходимый признак экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом интервале
Пусть x0 – внутренняя точка области определения функции f (x). Точка x0 называется точкой максимума функции f x , если для всех отличных от x0 точек некоторой окрестности точки x0 (другими словами, некоторого малого интервала, содержащего внутри себя точку x0 ), выполняется неравенство
f x0 f x .
Точка x0 называется точкой минимума функции f x , если для всех отличных от x0 точек некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство
f x0 f x .
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума этой функции, а значения функции в этих точках – экстремаль-
ными (максимальными или минимальными) значениями.
Возьмём, например, непрерывную в интервале
Рис. 62
127
5354.ru
[a,b] функцию, график которой изображён на рис. 62. Для этой функции x1 – точка максимума, так как значение f x1 больше значений функции f x во
всех соседних точках, т. е. оно является наибольшим значением функции f x в некоторой окрестности точки x1. Аналогично x1 – точка максимума
функции f x . Кроме того, x2 и x2 являются точками минимума функции f x . В то же время для функции с графиком, указанным на рисунке, минимальное значение f x2 больше f x1 – максимального значения этой функ-
ции.
Отметим также, что максимальное значение функции, как и минимальное ее значение, определяются для достаточно малого интервала, содержащего точку максимума или минимума функции. Эти значения нельзя путать с наибольшим и наименьшим значениями функции на интервале a, b . Дело в
том, что последние значения функция может принять на концах интервала. Эти значения могут также совпадать с максимальным и минимальным значениями функции. Например, для функции, график которой указан на рис. 62, наибольшим значением функции в интервале является – значение
на правом конце интервала, а наименьшее значение функции здесь совпадает с одним из минимальных значений f x2 .
Из сказанного следует, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f x на a, b нужно поступить так:
найти все максимальные и минимальные значения функции в интервале
a, b ;
вычислить значения f a , f b этой функции на концах интервала
a, b ;
из всех найденных значений выбрать наибольшее, а затем наименьшее. Эти значения будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на интервале
Теорема 3 (необходимый признак экстремума функции). Если диффе-
ренцируемая функция f x в точке x0 имеет экстремум, то её производная f x в этой точке обращается в нуль, т. е. f x0 0.
Доказательство. Пусть x0 – точка экстремума функции f x , например, точка ее максимума. Это означает, что значение f x0 функции в этой точке
128
5354.ru
является наибольшим значением функции в некотором, достаточно малом
интервале, |
содержащем внутри себя точку x0 . |
Но тогда согласно теореме |
||||
Ферма производная |
f x в точке x0 равна нулю, |
т. е. f x0 0. Теорема дока- |
||||
зана. |
|
|
|
|
|
|
Однако в точке экстремума производная |
|
|||||
функции f |
x может не существовать. Покажем |
|
||||
это на примере функции |
f x 3 x2 . В |
точке |
|
|||
x0 0 она принимает значение, равное нулю, ко- |
|
|||||
торое является минимальным значением |
f x , |
|
||||
так как значения функции положительны во всех |
|
|||||
соседних |
точках |
x. |
Производная |
этой |
функции Рис. 63 |
|
f x 2x 1/ 3 / 3 в точке |
x 0 |
не существует. График функции показан на |
рис. 63.
Заметим, что не всякая точка, в которой производная функции обращается в нуль или не существует, является точкой экстремума. Покажем это на примере функции производная которой f x 3x2 . В точке x 0 произ-
водная обращается в нуль. Но эта точка не является точкой экстремума функции. В самом деле, для всех x , отличных от нуля, производная положи-
тельна. Отсюда согласно доста-точному признаку возрастания функции полу-
|
чаем, что функция f x возрастает и слева, и справа от |
|
точки x 0, следовательно, x 0 не есть точка экстре- |
|
мума. Эта функция имеет график, показанный на |
|
рис. 64. |
|
Точки, в которых производная f x функции f x |
|
обращается в нуль или не существует, называются |
|
критическими точками функции f x . Как мы видели, |
Рис. 64 |
не всякая критическая точка является точкой экстремума |
функции f x . |
На вопрос о том, будет критическая точка точкой экстремума |
функции или нет, отвечают достаточные признаки экстремума функции.
129
5354.ru
§ 3. Достаточные признаки экстремума функции
Теорема 4 (первый достаточный признак экстремума функции). Кри-
тическая точка x0 является точкой экстремума дифференцируемой всюду за исключением, быть может, точки x0 функции f x , если её производная f x изменяет знак при переходе x через x0 (с увеличением x ). При перемене знака с «+» на «-» x0 – точка максимума функции, а при перемене с «-» на «+» x0 – точка минимума функции f x .
Доказательство. Пусть, например, производная f x изменяет знак с «+»
на «-» при переходе x |
через критическую точку |
x0 с увеличением x. Это |
||||
означает, |
что при x x0 |
имеем |
f x 0, а при x x0 |
выполняется неравенство |
||
f x 0. |
Но тогда согласно |
достаточному |
признаку |
|||
возрастания и убывания функции слева от |
x0 |
имеется |
||||
интервал возрастания функции, а справа от |
x0 |
имеется |
||||
интервал убывания функции. Следовательно, график |
||||||
функции имеет вид, представленный на рис. 65. Это |
||||||
означает, |
что x0 – точка мак-симума функции |
f x . |
||||
Вторая часть теоремы доказывается аналогично. |
Рис. 65 |
|||||
|
Рассмотрим схему исследования функции на экстремум. Чтобы найти экстремум функции y f x , нужно:
найти критические точки этой функции, т. е. точки, в которых производная f x обращается в нуль или не существует;
каждую критическую точку исследовать с помощью достаточного признака экстремума;
найти экстремальные значения функции, подставив вместо x в выражение f x точки экстремума.
Пример 1. |
Найдём |
экстремумы функции |
|||
y x2 |
(ее график показан на |
рис. 66). Здесь |
|||
f x x2 , тогда |
f x 2x. |
Следуя описанной схе- |
|||
ме, получим: |
|
|
|
|
|
|
производная |
этой функции |
f x 2x 0 в |
||
|
точке x 0 |
(это единственная критическая |
|||
|
точка функции); |
|
Рис. 66 |
||
|
|
|
130 |
5354.ru |
|