SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web
.pdfЭлементы этого произведения равны согласно системе (7) свободным членам соответствующих уравнений этой системы, т. е. соответствующим элементам матрицы B . Следовательно, эти две матрицы равны друг другу. Таким образом,
AX B . |
(12) |
Это есть матричная запись системы (7).
Пусть определитель системы (7), т. е. определитель (11), отличен от нуля. Тогда по известной матрице (8) коэффициентов системы (7) найдём для неё обратную матрицу A 1 . На эту матрицу (все элементы которой известны) умножим обе части (12), считая матрицу A 1 первой матрицей в произведениях, и получим
A 1 AX A 1B . |
(13) |
Согласно первому свойству умножения матриц, левая часть формулы (13) равна AA 1 X , но так как A 1 A E , EX X , то левая часть формулы (13) равна
X . Таким образом, |
|
X A 1B . |
(14) |
Правая часть формулы содержит известные матрицы. Найдём произведение A 1B . Это будет столбцевая матрица с известными элементами, но эта матрица по формуле (14) равна матрице неизвестных X . Поэтому их соответствующие элементы равны друг другу. Приравняв эти элементы, найдём неизвестные x1, x2 , , xn .
§ 5. Формулы Крамера
Покажем, что решение системы (7) определяется формулами Крамера
x1 |
, |
x2 , , |
xn |
n . |
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь – определитель системы (7), считается, |
что 0 . |
1, |
2 , , |
n – |
|||
определители, получаемые из определителя заменой соответственно первого, второго, … n -го его столбца на столбец свободных членов системы (7), т. е.
|
b1 a12 |
a1n |
, |
|
a11 b1 |
a1n |
, |
|
|
|
|
||||
|
bn an2 |
ann |
|
|
an1 bn |
ann |
|
…….
61
5354.ru
n |
a11 |
a12 |
b1 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
an1 |
an2 |
|
bn |
|
Запишем разложение определителя (11) системы (7) по элементам первого столбца:
|
|
a11 |
a1n |
|
a11 A11 a21 A21 ... an1 An1. |
(16) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
an1 |
|
ann |
|
|
|
Заменим |
элементы первого столбца a11, a21, , |
an1 соответственно |
на |
b1, b2 , , |
bn – свободные члены системы (7). Тогда |
|
|
|
b1 A11 b2 A21 |
bn An1 . |
(17) |
Получили разложение определителя по элементам первого столбца. Ана-
логично запишем разложение определителя |
по элементам второго столбца |
|
b1 A12 |
b2 A22 bn An2 |
(18) |
и т. д. Наконец, получим разложение определителя n по элементам последнего столбца:
n b1 A1n b2 A2n bn Ann . |
(19) |
По формуле (14) будем иметь
x1
x2xn
|
A11 |
|
An1 |
|
b |
|
||
|
A |
A |
||||||
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
b |
. |
|
|
|
2 |
||||||
|
A |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1n |
|
nn |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
bn |
|
|||
|
|
A |
|
|
|
|||
В правой части матрицы перемножим и получим столбцевую матрицу. Теперь последнюю формулу запишем так:
x1
x2xn
b1 A11 b2 A21 bn An1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
A |
|||
|
|
|
|
|
b1 A12 b2 A22 bn An2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
A |
|||
|
. |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
b1 A1n |
b2 A2n bn Ann |
|||
|
A |
|
||
|
|
|||
62
5354.ru
Согласно (17) – (19) в последней формуле суммы, стоящие в числителях матрицы правой части, равны соответственно 1, 2 , , n . Следовательно, эту формулу можно записать в виде
x1
x2xn
1 |
/ A |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
/ A |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
/ A |
|
||
В этом соотношении матрицы слева и справа равны друг другу, следовательно, их соответствующие элементы равны, т. е. получаем соотношение (15). Из формул Крамера вытекает следующая
Теорема. Если определитель системы (7) не равен нулю, то эта система имеет единственное решение (которое можно найти, например, по формулам Крамера).
§ 6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса
Дана система m линейных алгебраических уравнений с x1, x2 , , xn
a |
|
x |
a |
|
x |
... a |
x b , |
||
11 |
1 |
12 |
|
2 |
1n n |
1 |
|||
a21x1 |
a22 x2 |
... a2n xn b2 , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
x a |
m2 |
x ... a |
x |
b . |
|||
|
m1 1 |
|
|
2 |
mn n |
m |
|||
n неизвестными
(20)
Здесь коэффициенты a11, a12 , , amn и свободные члены b1, b2 , , bm – заданные
числа. Будем считать, что число m уравнений не больше числа n неизвестных (случай m n требует особого рассмотрения).
Система (20) называется совместной, если она имеет решение, т. е. существуют числа x1, x2 , , xn , удовлетворяющие всем уравнениям системы. Си-
стема называется несовместной, если она не имеет решения. Две системы называются равносильными (эквивалентными), если любое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Следующие преобразования, называемые элементарными, переводят заданную систему в равносильную (эквивалентную) ей:
перестановка любых двух уравнений системы;
умножение любого уравнения системы на ненулевое число;
63
5354.ru
прибавление к обеим частям данного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое ненулевое число.
Если в процессе элементарных преобразований системы (20) появится уравнение вида 0x1 0x2 0xn 0 , то это соотношение отбрасывается, так
как ему удовлетворяют любые значения неизвестных x1, x2 , , xn (что приводит к уменьшению числа уравнений системы). Если в процессе элементарных преобразований системы (20) появится соотношение 0x1 0x2 0xn b, b 0 ,
т. е. противоречивое соотношение, которое не может быть выполнено, то система (20) является несовместной.
Метод Гаусса заключается в следующем. Пусть a11 0 (если a11 0 , то
переставим уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент при первом неизвестном не равнялся нулю, или с этой же целью перенумеруем неизвестные, что приведет к перестановке соответствующих столбцов коэффициентов). Из всех уравнений, кроме первого, в системе (20) исключим неизвест-
ную x1 , |
для этого ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на |
||||||
a21 / a11 , |
к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на |
a31 / a11 , и |
|||||
т. д. Тогда придём к системе вида |
|
|
|
|
|
||
|
a |
x a |
x |
... a |
x |
b , |
|
|
11 |
1 12 |
2 |
1n |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 x2 |
... a2n xn b2 , |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am2 x2 |
... ann xn bm . |
|
|||
Пусть a22' 0 (если a22' 0 , то снова переставим уравнения или перенумеруем неизвестные x2 , , xn ). Теперь аналогично предыдущему из всех уравнений, кроме первого и второго, исключим x2 . Если система (20) совместна, т. е. при указанных преобразованиях в ней не окажется противоречивого соотношения 0x1 0x2 0xn b, b 0 , процесс продолжим. В конечном счёте путём вышеуказанных преобразований придём к одному из следующих случаев:
к ступенчатой системе
b x |
b x |
... b x |
... b x |
B , |
|
|
|
|
11 1 |
12 2 |
1r r |
1n n |
1 |
|
|
|
|
b22 x2 |
... b2r xr ... b2n xn B2 |
, |
(21) |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
brr xr ... brn xn Br , |
|
|||
|
|
|
|
||||
64
5354.ru
здесь число |
уравнений |
r n , |
так как система содержит неизвестные |
xr 1, xr 2 , , xn |
(если xr 1, |
xr 2 , , |
xn не входят в систему (21), то их не будет и |
висходной системе (20));
к треугольной системе
b x |
b |
x |
... b x |
B , |
|
|
|
|
11 1 |
12 |
2 |
1n n |
1 |
|
|
|
|
b22 x2 |
... b2n xn B2 |
, |
(22) |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
bnn xn Bn . |
|
||
|
|
|
|
|
|||
В системах |
(21), (22) по построению все коэффициенты |
b11, b22 , brr , , bnn |
отличны от нуля. В случае системы (20), приведённой к |
системе (22), далее поступим так: из последнего уравнения (22) найдем xn ; из предпоследнего найдем xn 1 , затем xn 2 , и, наконец, x1 , т. е. найдём все иско-
мые неизвестные.
Итак, в этом случае система (20) имеет единственное решение. Определитель преобразованной системы (22) обозначим . Он равен
b11 |
|
b1n |
|
|
b11b22 bnn 0. |
0bnn
Впоследнем легко убедиться, разложив этот определитель по элементам первого столбца, в котором только один элемент ( b11 ) отличен от 0, и разложив
аналогично оставшиеся миноры также по элементам первого столбца. Определитель исходной системы (20), когда m n , обозначим . Он равен 1 , т. е. может отличаться лишь знаком от . В самом деле, прибавлению к одному из уравнений системы (20) другого уравнения, умноженного на определённое число, отвечает соответствующая операция над строками определителя , которая не изменяет этот определитель. Перестановке уравнений в исходной системе отвечает перестановка строк в определителе системы , а перенумерации неизвестных – перестановка столбцов, каждая из которых изменит лишь знак определителя. Как видно из предыдущей формулы, 1 0 , следова-
тельно, и 0 . Итак, определитель системы (20) при m n отличен от нуля, если эта система приводится к треугольной системе (22). Таким образом, при m n система (20), приводящаяся к треугольной системе, имеет единственное решение и ее определитель отличен от нуля.
65
5354.ru
Пусть система (20) приводится к ступенчатой системе (21). Перенесем в
ее правую часть все слагаемые, содержащие неизвестные xr 1, |
xr 2 , , xn , |
|
|||||
b |
x b x |
... b x |
B b x |
... b x |
|
||
|
11 1 12 2 |
1r r |
1 |
1r 1 r 1 |
1n n |
|
|
|
|
b22 x2 ... b2r xr B2 |
b2r 1xr 1 |
... b2n xn |
(23) |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
brr xr |
Br |
brr 1xr 1 |
... brn xn . |
|
|
|
|
|
||||
В этой системе всем неизвестным xr 1, xr 2 , , xn придадим произвольные (по нашему выбору) значения. Тогда в правых частях (23) будут извест-
ные числа, и из последнего уравнения найдём |
xr , из предыдущего – xr 1 и |
т. д., найдём x1 . Так как значения xr 1, xr 2 , , xn |
выбраны нами произвольно, |
то система (23), следовательно, и (20), имеет бесконечное множество решений. Итак, система (20), приводимая к ступенчатой системе, имеет бесконечное множество решений.
Отметим, что метод Гаусса применим и в случае
§ 7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли
Поставим в соответствие системе (20) две матрицы
a11 |
a1n |
|
|
a11 |
a1n |
b1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
|
A |
b |
. |
||||||||
a |
m1 |
a |
|
|
|
|
a |
a |
mn |
|
||
|
|
mn |
|
|
m1 |
|
|
n |
||||
Матрица A называется основной матрицей системы, |
|
|
называется расши- |
|||||||||
|
A |
|||||||||||
ренной матрицей системы (20). Элементарным преобразованиям над (20) отвечают соответствующие преобразования над строками матриц A и A . Матрица, получаемая из данной путём элементарных преобразований над строками, а также перестановкой столбцов, называется матрицей, эквивалентной данной. Основные матрицы систем (21) и (22) называются соответственно
ступенчатой и треугольной.
Строка матрицы называется нулевой, если все её элементы равны нулю, и ненулевой, если она содержит хотя бы один отличный от нуля элемент. Например, если a11 0 , a12 0 , …, a1n 0 , b1 0 , то первая строка матрицы A будет нулевой, а первая строка матрицы A будет ненулевой.
Ранг матрицы – это такое число r , что по крайней мере один определитель порядка r , получаемый из этой матрицы при удалении некоторого числа строк и (или) столбцов, отличен от нуля, а все определители (r 1) -го порядка
66
5354.ru
равны нулю. Без доказательства отметим, что при m n данное определение ранга матрицы равносильно другому, используемому здесь определению: рангом матрицы называется число ненулевых строк в эквивалентной треугольной или ступенчатой матрице. Ясно, что для определения ранга матрицы сначала её нужно преобразовать методом Гаусса и привести к треугольной или ступенчатой матрице, эквивалентной исходной.
Пусть система уравнений (20) преобразована методом Гаусса и приведена либо к системе (21), либо к системе (22). При этих преобразованиях происходят соответствующие преобразования основной и расширенной матриц системы (20). Совместность системы (20) равносильна отсутствию в преобразо-
ванной |
системе |
(21) или (22) противоречивого соотношения |
0x1 0x2 |
0xn b, |
b 0 (здесь равные нулю коэффициенты образовали бы |
нулевую строку основной матрицы преобразованной системы, а эти же коэффициенты и число b 0 - ненулевую строку расширенной матрицы этой системы). Это в свою очередь равносильно совпадению числа ненулевых строк основной и расширенной матриц преобразованной системы (21) или (22). А это последнее, в свою очередь, равносильно совпадению рангов основной и расширенной матриц исходной системы. Итак, справедлива
Теорема Кронекера – Капелли. Если система уравнений совместна, то ранги её основной и расширенной матриц равны, и наоборот, если ранги основной и расширенной матриц равны, то система совместна.
§ 8. Однородные системы
Система уравнений (20) называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю: b1 0, b2 0, , bm 0 . Ясно, что однородная система всегда
совместна, так как имеет очевидное |
тривиальное нулевое решение |
x1 0, x2 0, , xn 0 . Если среди чисел x1, |
x2 , , xn имеется хотя бы одно, от- |
личное от нуля, то такое решение системы называется ненулевым.
Пусть в однородной системе (20) число уравнений меньше числа неизвестных ( m n ). Такая система методом Гаусса приведётся к ступенчатой системе, так как к треугольной системе мы можем прийти, лишь когда m n . Но ступенчатая система имеет бесконечное множество решений, среди которых обязательно найдётся ненулевое. Например, в системе (21) ненулевое решение получим, взяв xr 1 0 . Таким образом, справедлива
67
5354.ru
Теорема 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевые решения.
Рассмотрим случай, когда в однородной системе (20) m n . Для такой системы может быть доказана
Теорема 2. Если однородная система из n уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения, то её определитель равен нулю, и наоборот, если определитель указанной однородной системы равен нулю, то эта система имеет ненулевые решения.
Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы: дана однородная система (20), в которой m n и b1 0, b2 0, , bn 0 , и она имеет ненуле-
вые решения; нужно доказать, что её определитель равен нулю. Предположим противное, т. е. что её определитель 0 . Тогда решение
этой системы из n |
уравнений с n |
неизвестными можем записать по форму- |
|
лам Крамера x1 1 |
/ , x2 2 |
/ , , |
xn n / . Это будет единственное реше- |
ние. Но все определители 1, |
2 , , n содержат столбец свободных членов, |
||
состоящий из одних нулей, поэтому все они равны нулю. Следовательно, по формулам Крамера получим единственное решение рассматриваемой однородной системы x1 0, x2 0, , xn 0 – нулевое решение. Это противоречит
условию теоремы, согласно которому система имеет ненулевое решение, следовательно, предположение, что 0 , должно быть отброшено.
Докажем вторую часть теоремы: определитель однородной системы (20) n уравнений с n неизвестными равен нулю; нужно доказать, что система имеет ненулевые решения.
Заданную однородную систему преобразуем методом Гаусса, при этом придём к ступенчатой системе. Если бы пришли к треугольной системе, то, как было показано раньше, пришли бы к заключению, что определитель исходной системы не равен нулю, что не согласуется с условием теоремы. Итак, система обязательно приводится к ступенчатой. Последняя имеет бесконечное множество решений, среди которых найдутся и ненулевые, поэтому исходная система имеет ненулевые решения. Теорема доказана.
При решении однородной системы целесообразно преобразовать её методом Гаусса и привести к ступенчатой или треугольной системе.
68
5354.ru
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§1. Обозначения, переменные, интервалы
Вматематике используется большое количество символов, рассмотрим некоторые из них.
Квантор общности – символ . Запись x читается так: «для любого x …», «для всех x …». Например, запись x 0 означает «для любого положительного x ».
Квантор существования – это символ . Запись x читается так: «суще-
ствует такое x , что …». Запись x 0 означает «существует такое положи- |
|
тельное x , что …». |
|
Символ обозначает логическое следствие. Запись |
A B означает, |
что из утверждения A следует утверждение B . Символ обозначает логиче- |
|
скую равносильность. Запись означает, что из утверждения A следует |
|
утверждение B , и наоборот. |
|
Например, пусть A есть утверждение «Треугольник |
со сторонами |
a, b, c c a, c b является прямоугольным треугольником», а B есть утвер-
ждение « c2 a2 b2 ». Видим, что , так как и, наоборот, . Например, запись
0 N x N | f (x) b |
читается так: для любого положительного числа существует такое число N , что для всех x N имеет место неравенство | f (x) b | .
Переменные величины. Интервалы. В математике рассматривают только численные значения величин, при этом отвлекаются от их конкретного физического содержания.
Постоянной называется величина, которая принимает лишь одно численное значение. Постоянные величины обозначают обычно буквами a, b, c и
т. д.
Переменной называется величина, которая принимает различные численные значения. Численные значения переменной образуют некоторое множество действительных чисел. Например, множество чисел, удовлетворяющих неравенству a x b . Это множество называется (открытым) интервалом и обозначается ]a,b[ или a, b . Числа a, b называются концами интервала.
69
5354.ru
Множество чисел, удовлетворяющих неравенству a x b , называется за-
крытым или замкнутым интервалом и обозначается a,b .
Рассматриваются также полузакрытые (полуоткрытые) интервалы a x b , a x b , обозначаемые соответственно [a,b) , (a,b] или [a,b[ , ]a,b].
Интервалы могут быть бесконечными. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству x a , называется бесконечным интервалом и обозначается
a, или ]a, [ . |
Множество всех чисел, удовлетворяющих |
неравенству |
|||||
x a |
, обозначается |
[a, |
|
) или [a, |
|
|
|
|
|
[ . Множество всех чисел, удовлетворяю- |
|||||
щих неравенству x b , обозначается ( ,b) |
или ] ,b[ . Множество всех чи- |
||||||
сел, удовлетворяющих неравенству x b , |
обозначается ( ,b] |
или ] ,b] . |
|||||
Наконец, множество всех действительных чисел есть бесконечный интервал, который обозначается или ] , [ .
§ 2. Свойства абсолютной величины числа
Абсолютной величиной числа x называется число |
|
x |
|
, равное |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x при x 0, |
(1) |
||||||||||||||||||||
| x | |
|
при x 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Из этого определения вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
0, x 0. |
(3) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Кроме того |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Действительно, при x 0 по формуле (1) имеем |
x |
|
x |
|
, и неравенство (4) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
выполняется. При x 0 согласно (1) имеем x |
|
x |
|
|
|
x |
|
, так как |
|
x |
|
0 , т. е. сно- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ва выполняется (4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Покажем, что соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
| x | ( 0) |
(5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
равносильно неравенствам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x . |
(6) |
||||||||||||||||||||||||||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
70 |
5354.ru |
|