SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

Теорема 20. Частное от деления двух функций, непрерывных в точке, есть функция, непрерывная в этой точке, если знаменатель в ней не обращается в нуль.

Эти теоремы доказываются, исходя из определения непрерывности функции (16), с привлечением ранее доказанных теорем о пределе суммы, произведения и частного. На этом не останавливаемся.

Теорема 21. Сложная функция, состоящая из непрерывных функций, есть функция непрерывная.

Доказательство. Теорему докажем для сложной функции, состоящей из двух функций. В случае большего числа образующих функций теорема доказывается аналогично.

Пусть дана функция y f (U ) , в которой U , в свою очередь, является функцией от x (U (x) ), т. е. дана сложная функция

Дано также, что функция U (x) непрерывна в точке c , соответствующей

Теорема доказана.

Теорема 22. Всякая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Эта теорема принимается без доказательства.

Из теорем 18 – 22 и определения элементарной функции вытекает, что элементарные функции непрерывны в каждой точке, в которой они определены. Отсюда в соответствии с (16) следует, что предел элементарной функции

91

5354.ru

M0 ). Через точки M0 , M1 проведём секущую для графика данной функции. Эта секущая образует с осью Ox угол . Пусть K - точка с абсциссой x x и

Рис. 47

Если при стремлении точки M1 к точке M0 с любой стороны секущая M0 M1 стремится к определённому положению M0T , то эта прямая M0T называется

касательной к кривой y f (x) в её точке M0 .

Пусть – угол, образованный этой касательной с осью Ox , тогда при

Иначе говоря, эта производная равна угловому коэффициенту k tg касательной.

96

5354.ru

§ 3. Касательная и нормаль к кривой. Существование производной

f x0 tg - угловой коэффициент касательной к кривой в точке M 0 . Зная координаты точки M0 и угловой коэффициент касательной, запишем уравнение касательной M0T (см. формулу (31) главы 2):

y y0 f (x0 )(x x0 ) .

Прямая, проходящая через точку M0 перпендикулярно к касательной,

называется нормалью к кривой y f (x) в точке

M0 . В силу перпендикулярности нор-мали и касательной угловой коэффициент этой нормали ра-вен 1/ f '(x0 ) , поэтому урав-нение нормали запишется так:

стороны (для x 0 ) эта секущая стремится к другому положению, то в точке M0 касательная к данной кривой не существует. Ясно, что кривая y f (x) в

этом случае в точке M0 имеет излом. При этом в точке M0 не существует производная f (x) , вычисляемая по формуле (3).

В самом деле, при x 0 , когда x 0 , отношение y x стремится к одному пределу, а при x 0 , x 0 , это отношение стремится к другому пределу, т. е. это отношение имеет разные односторонние пределы при x 0 . Это означает, что обычный двусторонний предел (3) не существует, т. е. в точке M0 с абсциссой x не существует производная f (x) . Последние рассуждения проиллюстрируем на следующем примере.

Пусть функция y f (x) определена формулой

97

5354.ru

учтём, что предел правой части равен произведению пределов сомножителей:

lim y lim ( y / x) lim x. В правой части первый предел, согласно (6), су-

x 0 x 0 x 0

ществует и равен f ( x0 ) (в силу условий теоремы, так как функция в точке x0

lim y 0. Согласно второму определению непрерывности функции в точке

x 0

это означает, что в точке x0 функция y f (x) непрерывна. Теорема доказана.

Отметим, что утверждение, обратное утверждению теоремы, не справедливо, т. е. нельзя утверждать следующее: если функция непрерывна в точке, то она дифференцируема в этой точке. Сказанное продемонстрируем на примере функции y f (x) 3 x. Она непрерывна в точке x0 0 , так как является основной элементарной функцией (степенной функцией), и в точке x0 0 определена (равна нулю). Производная f (x) этой функции, как будет показано дальше, равна x 2 / 3 / 3. Но эта производная в точке x0 0 не существует, т. е. функция в этой точке не дифференцируема, хотя и непрерывна.

§ 5. Производная постоянной. Правила дифференцирования

Здесь при доказательстве теорем будем исходить из определения производной, согласно которому для функции y f (x) производная выражается формулой

(b)U V U V U V ;

(c)U U V 2U V .V V

Доказательство. Докажем лишь последнее утверждение (c) ((a) и (b) доказываются аналогично).

По формуле (8), в которой вместо f (x) нужно взять U (x)V (x) , имеем

Выражение в числителе правой части этой формулы приведем к общему знаменателю и представим ее в виде

Предел правой части формулы (11) равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя. Но предел числителя равен разности пределов, так как там стоит предел разности. Предел знаменателя равен сумме пределов слагаемых, но здесь пределы берутся при x 0, когда x, следовательно, и U (x), V (x), не изменяются, т. е. являются постоянными, и эти множители выносятся за знак предела. Поэтому (11) примет вид

дифференцируемая функция, значит, она непрерывна, поэтому согласно вто-

100

5354.ru