SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web
.pdfР. Б. Салимов
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ БАКАЛАВРИАТА
2011г.
5354.ru
Салимов Р. Б. Математика для студентов бакалавриата. 5354.ru, 2011.
Книга рассчитана на студентов бакалавриата, обучающихся на строительных, технологических и других родственных специальностях и изучающих курс математики в объёме примерно 200 часов аудиторных занятий с разбиением последних поровну на лекционные и практические. Она содержит все основные разделы математики, изучаемые студентами названных специальностей: элементы аналитической геометрии и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, элементы теории вероятностей и математической статистики.
Для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов, специали-зирующихся в области математики и ее приложений.
© Салимов Р. Б. 2011 © 5354.ru. 2011
5354.ru
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................................................................................. |
9 |
Глава 1. ЭЛЕМЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ................................................................ |
10 |
§ 1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков... |
10 |
§ 2. Декартовы координаты. Полярные координаты............................................................ |
12 |
§ 3. Векторы, линейные операции над ними......................................................................... |
13 |
§ 4. Проекция вектора на ось................................................................................................... |
15 |
§ 5. Разложение вектора по базисным векторам................................................................... |
16 |
§ 6. Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями......................... |
18 |
§ 7. Длина вектора. Расстояние между двумя точками........................................................ |
18 |
§ 8. Направляющие косинусы вектора................................................................................... |
19 |
§ 9. Скалярное произведение векторов, угол между векторами. Условие ортогональности |
|
двух векторов............................................................................................................................ |
20 |
§ 10. Векторное произведение векторов, условие коллинеарности двух векторов, |
|
площадь треугольника............................................................................................................. |
22 |
§ 11. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл. Условие |
|
компланарности трех векторов............................................................................................... |
25 |
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ..................................................... |
28 |
§ 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве........................................ |
28 |
§ 2. Плоскость, общее уравнение плоскости......................................................................... |
29 |
§ 3. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности |
|
плоскостей................................................................................................................................. |
31 |
§ 4. Расстояние от точки до плоскости в пространстве........................................................ |
31 |
§ 5. Прямая в пространстве и ее уравнения........................................................................... |
33 |
§ 6. Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две |
|
заданные точки......................................................................................................................... |
34 |
§ 7. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности......... |
35 |
§ 8. Уравнение линии на плоскости........................................................................................ |
36 |
§ 9. Общее уравнение прямой на плоскости, угол между прямыми................................... |
37 |
§ 10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, условия параллельности и |
|
перпендикулярности прямых.................................................................................................. |
38 |
§ 11. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым |
|
коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки................... |
39 |
§ 12. Кривые второго порядка. Окружность.......................................................................... |
39 |
§ 13. Эллипс.............................................................................................................................. |
40 |
§ 14. Гипербола......................................................................................................................... |
42 |
§ 15. Парабола........................................................................................................................... |
45 |
§ 16. Преобразование координат на плоскости..................................................................... |
46 |
§ 17. Понятие о многомерном евклидовом пространстве.................................................... |
49 |
§ 18. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр ......................................................... |
51 |
§ 19. Эллипсоид........................................................................................................................ |
53 |
§ 20. Конус ................................................................................................................................ |
54 |
§ 21. Однополостный и двуполостный гиперболоиды......................................................... |
55 |
§ 22. Эллиптический и гиперболический параболоиды....................................................... |
56 |
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ........................................................................ |
58 |
§ 1. Определители высших порядков..................................................................................... |
58 |
§ 2. Свойства определителей................................................................................................... |
59 |
§ 3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица....................................................... |
60 |
§ 4. Системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Матричный |
|
метод решения.......................................................................................................................... |
64 |
5354.ru
§ 5. Формулы Крамера............................................................................................................. |
65 |
§ 6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса......................... |
67 |
§ 7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли............................................................... |
70 |
§ 8. Однородные системы........................................................................................................ |
71 |
Глава 4. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.................................................................................................... |
73 |
§ 1. Обозначения, переменные, интервалы............................................................................ |
73 |
§ 2. Свойства абсолютной величины числа........................................................................... |
74 |
§ 3. Функция, способы задания............................................................................................... |
75 |
§ 4. Предел функции при x и его геометрический смысл ........................................ |
77 |
§ 5. Предел функции при x x0 и его геометрический смысл. Односторонние пределы |
|
.................................................................................................................................................... |
79 |
§ 6. Теоремы о пределах. Ограниченные функции............................................................... |
80 |
§ 7. Бесконечно малые функции и их свойства..................................................................... |
82 |
§ 8. Бесконечно большая функция, ее связь с бесконечно малой........................................ |
85 |
§ 9. Свойства пределов ............................................................................................................ |
86 |
§ 10. Переход к пределу в неравенствах................................................................................ |
88 |
§ 11. Первый замечательный предел...................................................................................... |
89 |
§ 12. Предел последовательности. Второй замечательный предел. Натуральные |
|
логарифмы................................................................................................................................. |
90 |
§ 13. Сравнение бесконечно малых функций........................................................................ |
92 |
§ 14. Непрерывность функции в точке и на интервале......................................................... |
93 |
§ 15. Свойства непрерывных функций................................................................................... |
94 |
§ 16. Точки разрыва функции.................................................................................................. |
96 |
Глава 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО...................................... |
98 |
§ 1. Задача об определении скорости..................................................................................... |
98 |
§ 2. Определение, механический и геометрический смыслы производной....................... |
99 |
§ 3. Касательная и нормаль к кривой. Существование производной................................ |
101 |
§ 4. Дифференцируемость функции..................................................................................... |
102 |
§ 5. Производная постоянной. Правила дифференцирования........................................... |
103 |
§ 6. Производные тригонометрических и логарифмической функций............................. |
105 |
§ 7. Производная сложной функции..................................................................................... |
107 |
§ 8. Производные степенной и показательной функций. Логарифмическое |
|
дифференцирование............................................................................................................... |
108 |
§ 9. Неявная функция и её производная............................................................................... |
109 |
§ 10. Обратная функция и ее производная........................................................................... |
110 |
§ 11. Производные обратных тригонометрических функций............................................ |
111 |
§ 12. Функция, заданная параметрически, и ее дифференцирование............................... |
113 |
§ 13. Дифференциал функции и его применение в приближённых вычислениях........... |
115 |
§ 14. Производные и дифференциалы высших порядков................................................... |
117 |
Глава 6. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ В ЗАМКНУТОМ ИНТЕРВАЛЕ. ПРАВИЛО |
|
ЛОПИТАЛЯ................................................................................................................................ |
119 |
§ 1. Свойства функций, непрерывных в замкнутом интервале ......................................... |
119 |
§ 2. Теоремы Ферма и Ролля................................................................................................. |
121 |
§ 3. Теоремы Коши и Лагранжа............................................................................................ |
123 |
§ 4. Правило Лопиталя........................................................................................................... |
125 |
§ 5. Раскрытие неопределённостей....................................................................................... |
127 |
Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО....... |
130 |
§ 1. Возрастание и убывание функции................................................................................. |
130 |
§ 2. Точки экстремума функции. Необходимый признак экстремума. Наибольшее и |
|
наименьшее значения функции в замкнутом интервале................................................... |
131 |
4
5354.ru
§ 3. Достаточные признаки экстремума функции............................................................... |
134 |
§ 4. Выпуклость линии. Точки перегиба кривой................................................................. |
137 |
§ 5. Асимптоты кривой.......................................................................................................... |
140 |
§ 6. Общая схема исследования функций и построения графиков ................................... |
142 |
Глава 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ...................................... |
144 |
§ 1. Производная длины дуги кривой................................................................................... |
144 |
§ 2. Кривизна кривой на плоскости...................................................................................... |
145 |
§ 3. Радиус, центр и круг кривизны кривой на плоскости ................................................. |
148 |
§ 4. Параметрические и векторное уравнения линии в пространстве............................... |
149 |
§ 5. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента............................ |
150 |
§ 6. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для пространственной |
|
кривой...................................................................................................................................... |
153 |
Глава 9. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ................................................................... |
155 |
§ 1. Функции двух переменных и способы их задания ...................................................... |
155 |
§ 2. Геометрическое представление функции двух переменных ...................................... |
157 |
§ 3. Функции трёх и большего числа переменных. Частное и полное приращения |
|
функции................................................................................................................................... |
158 |
§ 4. Предел функции .............................................................................................................. |
159 |
§ 5. Непрерывность, точки и линии разрыва функций....................................................... |
161 |
§ 6. Свойства функций, непрерывных в конечной (ограниченной) замкнутой области.162 |
|
§ 7. Частные производные..................................................................................................... |
163 |
§ 8. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных ............. |
164 |
§ 9. Полный дифференциал................................................................................................... |
166 |
§ 10. Применение полного дифференциала функции в приближённых вычислениях.... |
168 |
§ 11. Производная сложной функции................................................................................... |
169 |
§ 12. Дифференцирование функций, заданных неявно...................................................... |
171 |
§ 13. Частные производные высших порядков.................................................................... |
173 |
§ 14. Экстремумы и необходимые признаки экстремума функции двух переменных ... |
174 |
§ 15. Достаточный признак экстремума Схема исследования на экстремум функции двух |
|
переменных............................................................................................................................. |
176 |
§ 16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в |
|
замкнутой области.................................................................................................................. |
178 |
§ 17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности...................................................... |
179 |
§ 18. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.................................. |
181 |
§ 19. Производная по направлению...................................................................................... |
182 |
§ 20. Градиент функции и его связь с производной по направлению............................... |
184 |
Глава 10. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА....................................................................................... |
187 |
§ 1. Комплексные числа и действия над ними .................................................................... |
187 |
§2. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа..188
§3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного
числа........................................................................................................................................ |
190 |
|
Глава 11. НЕПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ............................................................................ |
192 |
|
§ 1. Определение первообразной и неопределённого интеграла. Таблица основных |
|
|
интегралов............................................................................................................................... |
192 |
|
§ 2. Свойства неопределённого интеграла........................................................................... |
194 |
|
§ 3. Замена переменной в неопределённом интеграле ....................................................... |
196 |
|
§ 4. |
Интегрирование по частям............................................................................................. |
197 |
§ 5. |
Интегрирование простейших рациональных дробей................................................... |
198 |
§ 6. |
Разложение многочлена на множители......................................................................... |
201 |
§ 7. |
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби........................ |
202 |
5
5354.ru
§ 8. Интегрирование рациональных дробей........................................................................ |
206 |
§ 9. Интегрирование простейших иррациональных функций........................................... |
206 |
§ 10. Интегрирование тригонометрических функций........................................................ |
207 |
§ 11. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических замен |
|
.................................................................................................................................................. |
209 |
Глава 12. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ............................................................................... |
211 |
§ 1. Площадь криволинейной трапеции............................................................................... |
211 |
§ 2. Определение и геометрический смысл определённого интеграла............................ |
212 |
§ 3. Свойства определённого интеграла............................................................................... |
214 |
§ 4. Производная от определённого интеграла по верхнему переменному пределу. |
|
Формула Ньютона – Лейбница............................................................................................. |
218 |
§ 5. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям........... |
221 |
§ 6. Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур ... |
223 |
§ 7. Площадь криволинейного сектора ................................................................................ |
226 |
§ 8. Вычисление длины дуги кривой.................................................................................... |
227 |
§ 9. Вычисление объёма тела по известным площадям параллельных сечений. Объем |
|
тела вращения......................................................................................................................... |
229 |
§ 10. Приближенное вычисление определенного интеграла методом трапеций............. |
232 |
Глава 13. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ......................................................................................... |
234 |
§ 1. Объём цилиндрического тела......................................................................................... |
234 |
§ 2. Двойной интеграл и его геометрический смысл.......................................................... |
235 |
§ 5. Тройной интеграл и его механический смысл. Теорема существования кратных |
|
интегралов............................................................................................................................... |
237 |
§ 6. Свойства двойного (тройного) интеграла..................................................................... |
239 |
§ 7. Вычисление двойного интеграла................................................................................... |
240 |
§ 8. Замена переменных в двойном интеграле .................................................................... |
244 |
§ 9. Переход в двойном интеграле к полярным координатам............................................ |
246 |
§ 10. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла...................... |
249 |
§ 11. Вычисление объёмов с помощью двойных интегралов............................................ |
252 |
§ 12. Вычисление тройного интеграла................................................................................. |
254 |
Глава 14. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ........................................................................ |
260 |
§ 1. Криволинейные интегралы по координатам и их вычисление................................... |
260 |
§ 2. Применение криволинейных интегралов к вычислению работы............................... |
265 |
§ 3. Формула Грина. Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом по |
|
координатам............................................................................................................................ |
266 |
§ 4. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования......... |
268 |
§ 5. Применение кратных интегралов к вычислению координат центра тяжести тел.... |
272 |
Глава 15. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ............................ |
274 |
§ 1. Общие понятия о дифференциальных уравнениях...................................................... |
274 |
§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка......................................................... |
276 |
§ 3. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка................ |
278 |
§ 4. Приближённое решение дифференциального уравнения первого порядка.............. |
279 |
§ 5. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными280 |
|
§ 6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка................................... |
282 |
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка....................................... |
284 |
§ 8. Дифференциальные уравнения высших порядков....................................................... |
285 |
§ 9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.......................... |
287 |
§ 10. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков и свойства их решений |
|
.................................................................................................................................................. |
289 |
6
5354.ru
§ 11. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными |
|
коэффициентами..................................................................................................................... |
292 |
§ 12. Линейное однородное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами |
|
.................................................................................................................................................. |
296 |
§ 13. Линейные неоднородные уравнения второго порядка.............................................. |
298 |
§ 14. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения |
|
линейного неоднородного уравнения второго порядка ..................................................... |
300 |
§ 15. Линейные неоднородные уравнения n -го порядка................................................... |
303 |
§ 17. Об одном методе решения системы дифференциальных уравнений 1-го порядка305 |
|
Глава 16. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ................................................................................................... |
308 |
§1. Сходимость и сумма ряда................................................................................................ |
308 |
§2. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.............................. |
309 |
§3. Признаки сравнения рядов.............................................................................................. |
311 |
§4. Признак Даламбера.......................................................................................................... |
313 |
§5. Радикальный и интегральный признаки Коши ............................................................. |
315 |
§6. Знакочередующиеся ряды ............................................................................................... |
318 |
§7. Знакопеременные ряды.................................................................................................... |
319 |
Глава 17. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ................................................................................................. |
322 |
§1. Теорема Абеля.................................................................................................................. |
322 |
§2. Радиус сходимости степенного ряда.............................................................................. |
324 |
§3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов........................................... |
326 |
§4. Ряды по степеням x - x0 ............................................................................................... |
327 |
§5. Формула Тейлора ............................................................................................................. |
327 |
§6. Ряды Тейлора и Маклорена............................................................................................. |
329 |
§7. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена....................................................... |
331 |
§8. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях ................................... |
334 |
§9. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов..................... |
336 |
Глава 18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЧАСТЬ 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ |
|
...................................................................................................................................................... |
339 |
§1. Статистическое и классическое определения вероятности случайного события. |
|
Геометрическая вероятность................................................................................................. |
339 |
§2. Вероятность суммы несовместных событий................................................................. |
343 |
§3. Противоположные и совместные события. Вероятность произведения независимых |
|
событий ................................................................................................................................... |
344 |
§4. Вероятность суммы совместных событий. Зависимые события. Условная вероятность |
|
.................................................................................................................................................. |
346 |
§5. Формула полной вероятности......................................................................................... |
349 |
§6. Вероятность гипотез. Формула Байеса .......................................................................... |
350 |
§7. Повторные испытания. Формула Бернулли................................................................... |
352 |
Глава 19. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЧАСТЬ 2. СЛУЧАЙНЫЕ |
|
ВЕЛИЧИНЫ ............................................................................................................................... |
356 |
§1. Дискретная случайная величина. Закон распределения............................................... |
356 |
§2. Непрерывная случайная величина. Функция распределения...................................... |
358 |
§3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины ........... |
359 |
§4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал .. |
360 |
§5. Нормальный закон распределения ................................................................................. |
361 |
§6. Числовые характеристики дискретной случайной величины...................................... |
364 |
§7. Числовые характеристики непрерывной........................................................................ |
368 |
§8. Неравенство Чебышева.................................................................................................... |
370 |
7
5354.ru
§9. Теорема Чебышева........................................................................................................... |
372 |
§10. Теорема Бернулли, центральная предельная теорема Ляпунова............................... |
374 |
Глава 20. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ .......................................... |
376 |
§1. Простой статистический ряд. Статистическая функция распределения. |
|
Статистический ряд. Гистограмма....................................................................................... |
376 |
§2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной |
|
величины................................................................................................................................. |
383 |
§3. Интервальная оценка математического ожидания непрерывной случайной величины
§4...................................................................................................................................................О сходимости по вероятности статистического среднего и статистической |
385 |
||||
|
|||||
дисперсии. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки.................................. |
389 |
||||
§5. Проверка статистических гипотез.................................................................................. |
|
x exp( t2 / 2)dt |
390 |
||
Приложение 1. |
Значения функции x |
1 |
396 |
||
2 |
|||||
|
|
0 |
|
||
Приложение 2. |
Критические точки распределения c2 ....................................................... |
398 |
|||
ЛИТЕРАТУРА............................................................................................................................ |
|
|
|
399 |
8
5354.ru
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга рассчитана на студентов втузов бакалавриата, обучающихся на строительных, технологических и других родственных специальностях и изучающих курс математики в объёме примерно 200 часов аудиторных занятий с разбиением последних поровну на лекционные и практические. В отличие от ряда учебников по математике, широко используемых во втузах, в которых
математика изучается в вышеуказанном |
объёме (например, учебников |
Н. С. Пискунов «Дифференциальное и |
интегральное исчисления», |
А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович «Краткий курс математического анализа»), данная книга содержит все основные разделы математики, изучаемые студентами названных специальностей: элементы аналитической геометрии и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, элементы теории вероятности и математической статистики.
Изложение материала в книге ведётся на достаточно высоком уровне математической строгости; за редким исключением, когда используются нестрогие методы доказательства, основанные на геометрическом истолковании рассматриваемых понятий. В то же время в рассуждениях и при проведении доказательств авторы стремились избежать излишне частого использования математических символов вместо слов, которое могло бы затруднить восприятие материала студентами. В отдельных случаях доказательства теорем и выводы формул предлагается учащимся провести самостоятельно, и даются подробные указания, как это сделать.
В книге не нашли отражение численные методы математики в связи с тем, что эти методы стали излагаться в таких дисциплинах, как «Численные методы» и «Информатика», предусмотренных учебными планами втузов.
Многолетний опыт преподавания авторами курса математики во втузе показывает, что принятое в книге изложение обеспечивает доступность материала, и добросовестные дисциплинированные студенты хорошо воспринимают такое изложение.
9
5354.ru
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков
Одним из основных понятий в математике является понятие числа. Оно возникло в глубокой древности в результате счёта и измерений и совершенствовалось. Числа бывают рациональные и иррациональные.
Рациональное – это число, которое можно представить в виде отношения p / q двух целых чисел p и q . Известно, что рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональным называется число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Примерами иррациональных чисел являются 2,
3.
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел образует мно-
жество действительных (вещественных) чисел. |
|
|
Числовая ось – это прямая, на которой вы- |
|
|
браны: точка O – начальная точка отсчёта, по- |
|
|
ложительное направление (на рис. 1 оно указа- |
|
|
но ), масштаб для измерения длины. На |
Рис. 1 |
|
рис. 1 ось проведена горизонтально, положи- |
||
|
тельное направление выбрано вправо.
Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Если число x положительное, то его изображают точкой M для которой расстояние от начала O равно OM x, а направление от точки O до точки M совпадает с положительным направлением оси; если число x1 отрицательное, то его изображают точкой M1 для которой расстояние от начала O равно OM1 x1 , а направление от точки O до точки M1 противоположно положительному направлению оси. Число x называют координатой точки M на оси Ox; пишут M (x); x1 – координата точки M1, пишут M1(x1 ). Числовую ось обознача-
ют Ox и называют координатной или осью координат.
Без обоснования: между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие: каждому числу x отвечает определённая точка M числовой оси и, наоборот, каждой точке M числовой оси отвечает определённое действительное число, которое изоб-
10
5354.ru