SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

и проходящими через точки a, b оси Ox ). Кривые APB, AQB области D, заданные соответственно уравнениями

Здесь a, b – абсциссы точек A, B границы области D. Будем считать, что функции 1 x , 2 x однозначны. Это означает, что любая прямая, параллельная Oy и проходящая через точку x интервала a, b , пересекает линию а также линию AQB только в одной точке, причём – ордината P – точки входа этой прямой в область D, 2 x – ордината Q – точки выхода этой прямой из области D. Ясно, что по этой прямой плоскость Oxy пересекает плоскость, перпендикулярную к Ox и проходящую через точку x. Эта плоскость пересекает рассматриваемое цилиндрическое тело по фигуреPMNQ , представляющей собой криволинейную трапецию с основанием PQ. Сверху трапеция ограничена кривой MN. Все точки указанной плоскости, следовательно, и кривой MN , имеют одну и ту же абсциссу x . Но так как кривая MN лежит на поверхности z f x, y , то координаты точек этой кривой удовлетворяют уравнению z f x, y поверхности. У всех точек кривой MN абсцисса не изменяется, а изменяется ордината y от значения 1 x – ординаты точки P, до значения 2 x – ординаты точки Q.

Итак, кривая MN , ограничивающая сверху криволинейную трапецию имеет уравнение z f x, y , x const, 1 x y 2 x . Теперь площадь S этой трапеции PMNQ можем вычислить с помощью определённого инте-

грала, а именно,

2 x

S f x, y dy, x const .

1 x

Ясно, что для различных фиксированных x из интервала a, b эта

площадь будет различной, так как будут различаться соответствующие криволинейные трапеции, т. е. эта площадь есть функция от x. Обозначим её S x . Таким образом,

1 x

где a x b.

241

5354.ru

Итак, для каждого x из a, b известна площадь S x сечения цилиндри-

ческого тела плоскостью, проходящей через точку x перпендикулярно к оси Ox. Мы знаем, что объём V рассматриваемого цилиндрического тела выражается с помощью определённого интеграла, взятого от a до b для функции

Выражение в правой части называется двукратным интегралом. Последнюю формулу можно записать в более простой форме

Таким образом, (10) – формула вычисления двойного интеграла. Здесь в правой части внутренний интеграл берется по y при постоянном x .

Формула (10) справедлива и тогда, когда граница области D имеет участки, лежащие на прямых x a, x b (или на других прямых, параллельных оси Oy ), т. е. когда область D имеет вид, указанный на рис. 133.

Рис. 133

Если в последнем случае 1 x c const и 2 x d const, то область D имеет форму прямоугольника, стороны которого параллельны координатным

242

5354.ru

осям. В этом случае пределы внутреннего интеграла правой части (10) – пределы для y – также будут постоянными.

Здесь справа внутренний интеграл по x берется при постоянном y.

Левые части формул (10) и (11) равны, следовательно, равны их правые части. Приравняв их, получим

Отметим, что последнее соотношение есть формула перестановки интегралов в двукратном интеграле.

Если область D имеет более общий вид, чем указано выше, и может быть разбита на части, для которых справ едливы формулы (10) или (11), то двойной интеграл по исходной области будет равен сумме двойных интегралов по указанным её частям.

243

5354.ru

части этих уравнений суть пределы внутреннего интеграла формулы (10), т. е.1 x x2 , 2 x x. При фиксированном x эти величины означают соответ-

ственно ординаты точки входа и точки выхода из области D прямой, прохо-

Сначала вычислим внутренний интеграл по y при x const . Он является обычным определённым интегралом, поэтому вычислим его по формуле Ньютона–Лейбница:

Предлагаем самостоятельно вычислить данный двойной интеграл, используя формулу (11).

§8. Замена переменных в двойном интеграле

Вдекартовой системе координат Oxy на плоскости дана область D , ограниченная кривой L , и P x, y – некоторая точка этой области (рис. 136).

244

5354.ru

ограниченная кривой L', и P u, v – некоторая точка области D (рис. 137). Пусть заданы две функции

x u, v , y u, v , (12)

которые будем считать непрерывными и имеющими непрерывные частныепроизводные первого порядка как по u, так и по v всюду в области D . Предположим, что функции (12) таковы, что каждой точке P u, v области D они

ставят в соответствие определённую точку P x, y области D (зная координаты u, v точкиP , по формулам (12) найдем координаты x, y соответствующей точки P областиD ). И наоборот, каждой точке P x, y области D отвечает определённая точка P с координатами u, v области D (зная координаты x, y точкиP , из соотношений (12) найдем координаты u, v соответствующей точки P областиD ). В этом случае говорят, что формулы (12) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между точками области D с одной стороны и точками области D с другой. Или ещё говорят, что эти функции отображают область D на область D. От функций (12) вычислим частные производные по u и v и образуем определитель из найденных частных производных, обозначаемый J и равный

Он называется определителем Якоби для функций (12).

Без доказательства запишем формулу замены переменных в двойном интеграле:

Таким образом, при замене переменных по формулам (12) в двойном интеграле по области D мы должны переменные интегрирования x, y заменить соответственно на u, v , u, v , а элемент площади dxdy – на J dudv (причём двойной интеграл в правой части берётся по новой областиD ).

§9. Переход в двойном интеграле к полярным координатам

Вкачестве примера замены переменных в двойном интеграле рассмотрим переход в двойном интеграле к полярным координатам. Пусть в декартовой системе координат Oxy задана область D, ограниченная кривой L. В плоско-

сти Oxy кроме декартовой введём полярную систему координат, поместив полюс в точку O и направив полярную ось по Ox в положительном направле-

Рис. 138

Пусть граница области D задана уравнениями в полярных координатах, а именно, участок APB кривой L задан уравнением 1 , , а уча-

сток AQB кривой L – уравнением 2 , . Отметим, что уравне-

По формулам (15) каждой точке области D будет отвечать точка области D в

246

5354.ru

плоскости O , и тем самым в этой плоскости получим область D с границей L', в которую переходит область D плоскости Oxy (рис. 139).

Это есть формула перехода в двойном интеграле к полярным координатам,

здесь D – область в декартовой системеO . Теперь двойной интеграл по этой области D выразим через двукратный, использовав формулу (10). Получим

247

5354.ru

Формула (17) справедлива и тогда, когда граница L области D имеет участки, лежащие на прямых , , т. е. когда область D имеет вид, представленный на рис. 140.

Рис. 140

Если в последнем случае 1 0, то область D принимает вид сектора (рис. 141). Для этого сектора в формуле (17) нужно взять 1 0.

Рис. 141

Пусть в последнем случае a 0, а 2 , при этом область D имеет вид, изображенный на рис. 142.

Рис. 142

Для этой области в формуле (17) нужно взять a 0, 2 , 1 0.

248

5354.ru

Пусть в последнем случае 2 R const, тогда область D имеет форму круга с центром в начале координат и радиусом r R (рис. 143).

Из сказанного выше ясно, что для этого круга в формуле (17) мы должны взять a 0, 2 , 1 0, 2 R. Поэтому на практике при вычислении

двойного интеграла по области в виде круга лучше перейти к полярным координатам указанным выше способом.

Отметим, что пределы двукратного интеграла формулы (17) устанавливаются непосредственно по уравнениям в полярных координатах частей границы L области D.

§ 10. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

Пусть в области D на плоскости Oxy задана функция z f x, y . Будем

считать, что эта функция имеет непрерывные частные производные по x и по y в области D. Для определённости предположим, что f x, y 0 в D. При

этом в пространстве Oxyz функции z f x, y отвечает поверхность, расположенная выше плоскости Oxy (рис. 144).

Рис. 144

249

5354.ru

Требуется вычислить площадь S этой поверхности.

Разобьём область D на n частей с площадями 1, 2 , ..., n . Внутри части с площадью i возьмём произвольную точку Pi i , i . В этой точке вычислим значение заданной функции z f x, y и найдём число zi f i , i . Это число – аппликата некоторой точки Mi поверхности z f x, y . Очевидно, абсциссы и ординаты точек Mi и Pi совпадают. В точке Mi проведём касательную плоскость к поверхности z f x, y , а через границу области i –

цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz. Эта поверхность отсечет на только что проведённой касательной плоскости фигуру, площадь которой обозначим Это построение выполним для всех ча-

стей, на которые мы разбили область D , и получим фигуру, состоящую из n кусков касательных плоскостей, проведённых к поверхности z f x, y в точ-

ках M1, M2 , …, Mn . Площадь этой фигуры равна сумме площадей, из кото-

n

рых она состоит, т. е. Si .

i 1

Пусть max di – наибольший из всех диаметров частичных областей i . Число n устремим к бесконечности так, чтобы max di 0. Тогда все i стя-

гиваются в точки, и фигура, состоящая из кусков касательных плоскостей, приближается к заданной поверхности. Поэтому естественно за площадь поверхности S принять предел площади указанной фигуры (состоящей из кусков касательных плоскостей):

что этот угол равен двугранному углу между касательной плоскостью в точке Mi к рассматриваемой поверхности и плоскостью Поскольку i – про-

екция на плоскость Oxy фигуры с площадью Si , лежащей на указанной касательной плоскости, то

Формула (19) очевидна, если Si имеет форму прямоугольника, сторона которого параллельна линии пересечения касательной плоскости в точке Mi к поверхности и плоскости Oxy (сделайте чертёж и убедитесь в этом!). Справед-

250

5354.ru