SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Во втором интеграле левой части учтём соотношение (10), интеграл справа равен произвольной постоянной, следовательно,

M x dx N y dy C.

Взяв первый интеграл по x, получим некоторую функцию F1 x , взяв второй интеграл по y, получим функцию F2 y . Теперь исходное соотношение примет вид F1 x F2 y C. Это и есть общий интеграл уравнения (9). Таким об-

разом, чтобы получить общий интеграл, в уравнении с разделёнными переменными (9), нужно функцию M x проинтегрировать по x, функцию N y –

по y и полученную сумму приравнять C. Пример. Решить уравнение xdx ydy 0.

Это уравнение с разделёнными переменными, так как оно имеет вид (9). Его общий интеграл xdx ydy C1, x2 / 2 y2 / 2 C1, т. е. x2 y2 2C1. Обозначив 2C1 C, получим x2 y2 C, C 0. Это соотношение действительно является общим интегралом рассмотренного уравнения, так как для любого начально-

Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными назы-

ваются уравнения вида

Это уравнение решается, как указано выше, и его общий интеграл имеет вид

281

5354.ru

M1 (x) dx N2 ( y) dy C. M2 (x) N1 ( y)

Пусть, например, имеется уравнение Это уравнение с разделяющимися переменными, так как оно имеет вид (13). Умножим обе его части на yx 1 , считая и получим Общий интеграл уравнения имеет вид 1 x x 1dx ydy C. Получаем в итоге общий интеграл

ln x x y2 / 2 C. Заметим, что y 0 также является частным решением уравнения. Это очевидное решение интереса не представляет, так как мы рассматриваем решение, для которого выполняется условие Аналогичные очевидные решения появляются и в общем случае уравнения (13), если

M2 (x) обращаются в нуль в некоторых точках.

§ 6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Однородными называются дифференциальные уравнения первого порядка yx f x, y с искомой функцией y x , в которых правую часть f x, y можно представить в виде функции одного аргумента, равного отношению yx, т. е. в виде функции F y x . Такое дифференциальное уравнение можно

привести к виду

Будем считать, что здесь F есть непрерывная функция аргумента, равного y / x.

Чтобы решить это уравнение, положим U yx. Так как y есть искомая функция от x, ясно, что U U x тоже есть искомая функция с аргументом x.

Будем искать эту последнюю функцию. Для неё получим дифференциальное уравнение, использовав исходное уравнение (14).

Имеем y x U. Отсюда найдём производную yx . Продифференцировав последнее соотношение по x, получим yx U x Ux . Это выражение и U подставим в уравнение (14): Ux x U F U . Получили дифференциальное уравне-

ние первого порядка для функции U x . Запишем его иначе: x dUdx F U U ,

или, умножив на dx, в виде x dU F U U dx 0. Но это есть дифференци-

282

5354.ru

альное уравнение с разделяющимися переменными вида (13). Обе части

торой функции U , имеем U ln x C. Последнее выражение представ-

ляет собой общий интеграл дифференциального уравнения для искомой функции от U(x). Чтобы получить общий интеграл исходного уравнения (14), достаточно в последнем соотношении заменить U на y / x . В результате будем иметь y / x ln x C.

Здесь мы считали, что F(U ) U 0; при F(U ) U уравнение (14) примет вид y y / x и является уравнением с разделяющимися переменными. Запишем его так:

dydx xy , dyy dxx ,

после интегрирования обеих частей будем иметь

ln | y | ln | x | ln C1.

зом, рассматриваемое уравнение есть однородное, поэтому оно решается вышеуказанным методом.

к общему знаменателю правую часть и, умножив это уравнение наdx, полу-

U 2 / 2 lnU ln x C.

Так как U yx , получим общий интеграл рассматриваемого уравне-

ния ( y / x) 2 / 2 ln y C. При U 0 имеем y 0. Это еще одно (частное) решение уравнения. В этом примере F U U при U 0.

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называют-

ся уравнения вида

денных функций мы можем выбрать по нашему усмотрению, а вторую долж-

Выберем функцию V x так, чтобы сумма в скобках левой части последней

уравнение с разделяющимися переменными dV p x Vdx 0. Решив его, полу-

чим общий интеграл уравнения dVV p x dx C1, где C1 – произвольная по-

стоянная. Воспользовавшись произволом в выборе функции V x , возьмём постоянную C1 0 и получим V 1dV p x dx 0. Если бы мы сохранили C1 в наших формулах, а не взяли C1 0, то, как легко проверить, это бы не повлия-

284

5354.ru

Вернёмся к соотношению (16). Подставим в него вместо V найдённую функцию V x из формулы (17). Тогда сумма в скобках левой части формулы

Предлагаем решить это уравнение самостоятельно, повторив предыдущие выкладки, в которых p x 1 x , q x sin x x.

§ 8. Дифференциальные уравнения высших порядков

Как мы знаем, дифференциальное уравнение высшего порядка имеет вид

искомая функция. Для последнего уравнения без доказательства запишем теорему существования и единственности его решения.

производные по переменным y, y , y , ... , y n 1 непрерывны в некоторой области

285

5354.ru

n 1 -мерного пространства, причём эта область содержит точку с координатами

где x0 , y0 , y0 , y0 , ... , y0n 1 - заданные числа.

Условия (20) называют начальными условиями для решения уравнения (19). Задача об отыскании решения уравнения (19), удовлетворяющего начальным условиям (20), называется задачей Коши. Например, для диффе-

Пусть y x есть решение уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям (21). Если решение y x уравнения удовлетворяет первому начальному условию (21), то (как и для уравнения первого по-

касательная образует с осью Ox угол тангенс которого tg y0 есть заданное число.

Таким образом, если решение y x уравнения второго порядка удовле-

творяет начальным условиям (21), то это означает, что график этого решения проходит через точку x0 , y0 , и в этой точке касательная к графику образует

заданный угол причём tg y0 .

Из теоремы вытекает, что дифференциальное уравнение (19) имеет бесчисленное множество решений, так как в начальных условиях (20) числа, сто-

286

5354.ru

ящие в правой части, можно изменять и тем самым получать различные решения. В связи с этим приведем ряд определений.

Общим решением уравнения (19) называется функция y x, C1, C2 , ... , Cn ,

содержащая n произвольных постоянных C1, C2 , ... , Cn , если:

эта функция при любых значениях постоянных C1, C2 , ... , Cn удовлетворяет уравнению (19);

для любых начальных условий (20) можно подобрать такие значения постоянных C1 C10 , C2 C20 , ... , Cn Cn0 , при которых указанная функция удовле-

творяет этим начальным условиям.

Если общее решение уравнения (19) находится в неявном виде, т. е. в виде соотношения (x, y,C1,C2 ,...,Cn ) 0, то это соотношение называется общим ин-

тегралом уравнения (19).

Решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных

C1, C2 , ... , Cn , называется частным решением уравнения (19).

График частного решения уравнения (19) называется интегральной кри-

вой этого уравнения.

§ 9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Дано дифференциальное уравнение второго порядка yxx f x, y, yx , где

– искомая функция. Рассмотрим частные случаи этого уравнения, ко-

гда его решение сводится к решению дифференциального уравнения первого порядка.

1. Пусть уравнение имеет вид yxx f x , т. е. не содержит явно y и yx . Заметив, что yxx yx x , запишем уравнение в виде yx x f x . Отсюда видно,

не содержит явно y. Положим yx z, считая z функцией от x , и будем искать эту последнюю функцию. Поскольку yxx zx (x), то исходное уравнение при-

287

5354.ru

мет вид zx f (x, z), представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка для искомой функции z z(x). Решив последнее уравнение, найдём z (x,C1 ), и, следовательно, yx (x,C1 ). Отсюда найдем общее решение исходного уравнения y (x,C1)dx C2.

Пример 1. Решить уравнение y y / x 0.

Положим yx z, тогда yxx zx . Исходное уравнение примет вид zx z / x 0, т. е. dz / dx z / x 0 или, после умножения на z 1dx, dz / z dx / x 0. Проинтегрировав, получим ln | z | ln | x | C1. Заменим произвольную постоянную C1 на ln C1

жащей определению. Так как аргумент у последней функции есть искомая функция от x : y x , то из соотношения yx p получаем yxx py yx , поэтому

yxx py p. Теперь исходное уравнение запишется так: py p f y, p . Мы пришли к дифференциальному уравнению первого порядка с искомой функцией

288

5354.ru

§ 10. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков и свойства их решений

Линейным уравнением n -го порядка называется уравнение вида

которые будем считать непрерывными в интервале, в котором рассматривает-

ся уравнение; a0 , a1, ... , an называются коэффициентами уравнения (22); f x

называется правой частью уравнения. Будем считать, что коэффициент a0 при старшей производной y n нигде в рассматриваемом интервале в нуль не обращается. Поэтому уравнение (22) можно почленно поделить на a0 , и после этого коэффициент при y n будет равен 1. В связи с этим впредь всегда будем считать, что a0 1 всюду в рассматриваемом интервале.

Если правая часть f x тождественно не равна нулю в рассматриваемом

интервале, то уравнение (22) называется неоднородным уравнением или урав-

нением с правой частью.

ния (23) образуют фундаментальную систему в некотором интервале, если всюду в этом интервале отличен от нуля определитель Вронского (вронскиан), обозначаемый W y1 , y2 , ... , yn и равный

Линейные однородные уравнения второго порядка согласно (23) имеют

вид

289

5354.ru

Здесь a1, a2 – заданные непрерывные функции от x и y x – искомая функция.

Теорема 1. Если y1 y1 x , y2 y2 x – решения уравнения (24), то сумма этих решений y1 y2 также является решением этого уравнения.

Доказательство. Дано, что y1, y2 – решения линейного однородного

уравнения (24). Следовательно, при их подстановке в уравнение (24) получаем тождества, т. е.

Подставим сумму y1 y2 в уравнение (24) и получим

y1 y2 a1 y1 y2 a2 y1 y2 0.

Влевой части учтём, что производная суммы равна сумме производных.

Кроме того, соберём по отдельности члены, содержащие y1 и y2 . Получимy1 a1 y1 a2 y1 y2 a1 y2 a2 y2 0. Но в левой части суммы в скобках обращаются в нуль согласно (25) и (26), т. е. получаем тождество. Это означает, что сумма y1 y2 удовлетворяет уравнению (24), следовательно, является его решением. Теорема доказана.

Теорема 2. Если y1 y1 x – решение уравнения (24) и C – некоторая константа, то произведение Cy1 тоже является решением этого уравнения.

Теорема доказывается аналогично предыдущей, т. е. подстановкой Cy1 в

всюду в этом интервале отличен от нуля определитель Вронского для этих решений.

290

5354.ru