SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Здесь под знаком интеграла мы взяли переменную t, чтобы её не путать с

Рис. 203

Как видно из предыдущего и, в частности, из (7), график функции состоит из прямолинейных участков. В самом деле, в интервале ak x ak 1

резка графика совпадает с концом предыдущего, и график функции F x

имеет вид, показанный на рис. 203.

Построенная функция F x называется статистической (эмпирической) функцией распределения рассматриваемой непрерывной случайной величины

X .

Пусть f x , F x – соответственно искомые плотность и функция рас-

пределения изучаемой непрерывной случайной величины X . Покажем, что в качестве этих функций можно приближенно взять только что построенные функции f * x и F* x . В самом деле, по определению плотности распреде-

ления

f x lim P x X x x .

x 0 x

При малых x дробь под знаком предела будет мало отличаться от своего

приближенно равны, но их знаменатели одинаковы, следовательно, дроби

нужно взять C 0. Отсюда F (x) F* (x) для всех x.

§2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины

Для дискретной случайной величины X математическое ожидание и дисперсия определяются следующими формулами (см. формулы (17) и (18) гла-

вы 19):

Пусть X – непрерывная случайная величина, закон распределения который мы ищем, в частности, ищем ее математическое ожидание и дисперсию. С этой целью проведем n испытаний (измерений) и составим таблицу 1 измеренных значений X . По этой экспериментально полученной таблице значений

Соотношения (11), (12) получаются из (10), если в (10) вероятности pi значений xi заменить на число 1/ n – относительную частоту каждого

из этих значений.

Число mx называется статистическим средним, а D X – статистиче-

ской дисперсией величины X . Вместе эти числа называются точечными оценками математического ожидания M(X)=mx и дисперсии D(X) рассматривае-

мой случайной величины.

Эти термины применяется в связи с тем, что при больших значениях n числа mx , D X соответственно можно приближенно принять за искомые ис-

тинные математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины, поскольку при увеличении числа n величины mx , D X сходятся

по вероятности к истинному математическому ожиданию mx и истинной дисперсии D X соответственно (см. об этом параграф 4). При дополнительных достаточно грубых предположениях возможность замены mx , D X со-

383

5354.ru

ответственно на mx , D X для больших значений n можно обосновать также

следующим образом.

От таблицы 1 перейдем к таблице 2. Отметим, что при этом в интервал

этот интервал, друг к другу близки и мало отличаются от середины интервала

k1

Сдругой стороны, математическое ожидание рассматриваемой непре-

рывной случайной величины определяется формулой (см. (19) главы 19)

где f x – плотность распределения вероятностей. Несобственный инте-

грал в этой формуле запишем в виде суммы интегралов, взятых по интервалам ;a1 , a1;a2 , a2 ;a3 , ..., a ;a 1 , a 1; (законность такого представления вытекает из соответствующего свойства определённых интегралов, согласно которому определённый интеграл можно представить как сумму определённых интегралов по частям интервала, на которые он разбит, если учесть,

что несобственный интеграл есть предел определённого интеграла xf x dx,

384

5354.ru

Пусть – заданное положительное число, близкое к единице и меньшее ее. Обычно берут 0,997 (как это делается в правиле трёх сигм). Нужно найти такое положительное число , чтобы с вероятностью можно было утверждать, что истинное математическое ожидание mx попадает в интервалmx ; mx , то есть mx mx mx , следовательно, выполняется неравенство mx mx , и mx от mx отличается на величину, меньшую, чем . В

дальнейшем поясним, какой смысл вкладывается в последнее утверждение. В этом есть необходимость, так как mx и mx не являются случайными величинами и нельзя говорить о вероятности выполнения указанного неравенства.

серии получается своя таблица 1 со своими значениями для X , при этом полагаем, что число n достаточно большое ( n 50 ). Например, в одной серии это будут значения x1, x2 , ..., xn . В другой серии будут x11, x21 , ..., x1n . В следующей

серии в таблице 1 мы получим другие числа x12 , x22 , ..., xn2 . Поэтому появляющиеся в первых испытаниях серий числа x1, x11, x12 , ... можно рассматривать как значения некоторой случайной величины X1. Появляющиеся во вторых испытаниях числа x2 , x21 , x22 , ... будем рассматривать как значения другой случайной величины X 2 . Наконец, xn , xn1 , xn2 , ... будем рассматривать как значения некоторой величины X n . Из них образуем новую случайную величину (среднее арифметическое исходных)

Случайные величины в числителе правой части этой формулы в каждой серии принимает значения из некоторой таблицы 1, поэтому число mx , опре-

делённое по формуле (11), есть одно из возможных значений M x . Замечая, что значение случайной величины Xi есть значение X в i–м испытании каждой

математическое ожидание величины M x , используя свойства математического ожидания:

386

5354.ru

Аналогично запишем дисперсию случайной величины M x , при этом

большого числа n случайных величин с одним и тем же законом распределения, то по теореме Ляпунова для случайной величины M x будем иметь закон распределения, мало отличающийся от нормального. Таким образом, плот-

коном распределения запишем вероятность попадания её в интервал ; через функцию Лапласа (см. §5 главы 19):

выше число. Для этого в (22) положим mx , mx , учтём (20), (21) и получим

387

5354.ru

Теперь к обеим частям неравенства mx M x mx прибавим mx M x , домножим на 1 и получим M x mx M x . Это неравенство равносильно

предыдущему, поэтому неравенство в левой части (23) заменим на последнее неравенство. Тогда будем иметь

P Mx mx Mx 2 / D X / n . (24)

Потребуем, чтобы вероятность в левой части этого неравенства была равна – указанному выше числу:

/ D X / n / 2. Зная число / 2, из таблиц значений для функций Лапласа x найдём значение аргумента функции

приближенно заменим на число D X , определяемое формулой (12), и тогда

из (26) найдём приближенно искомое число . Итак, пусть хотя бы приближенно число найдено. Теперь обратимся к (25). Согласно (25) вероятность события M x mx M x равна , например, равна 0,997, т. е. числу, близ-

кому к единице. Следовательно, это неравенство, как правило, выполнится,

M x mx M x .

Вэтом смысле понимается выполнение неравенства (27) с вероятностью

. Определив число , входящее в (27), оценим погрешность, возникающую

при замене mx на mx формулы (11).

Существует интервальная оценка для математического ожидания изучаемой случайной величины X с нормальным законом при неизвестной дисперсии D X , полученная без использования D X . Эту оценку не приводим.

Аналогичную интервальную оценку можно получить и для дисперсии D X . Если X – случайная величина с нормальным законом распределения, то, вы-

388

5354.ru

возможное значение M x , величину M x также будем называть точечной оцен-

кой неизвестного математического ожидания mx M ( X ). Аналогично Dx будем называть точечной оценкой неизвестной дисперсии

но выше, M x сходится по вероятности к оцениваемой величине

точечной оценки M x равно оцениваему параметру mx . Такую оценку назы-

вают несмещенной (она выбирается с целью избежать систематических ошибок в сторону завышения или занижения).

n 1 i 1

для которой указанное в конце §2 число s2 есть возможное значение, назовем её также точечной оценкой неизвестной дисперсии D X . Непосред-

ственный подсчет показывает, что математическое ожидание

M (S 2 ) D( X ), следовательсно, S2 – несмещенная оценка. Нетрудно проверить, что Dx не является несмещенной оценкой.

Несмещенная оценка называется эффективной, если её дисперсия является наименьшей по сравнению с дисперсиями других несмещенных оценок. Можно показать, что, если случайная величина X имеет нормальный закон распределения, то оценка M x является эффективной.

§5. Проверка статистических гипотез

Некоторые свойства изучаемой вероятностной модели, касающиеся законов распределения случайных величин, параметров распределения часто формулируются в виде гипотез. Эти гипотезы подвергаются статистической проверке, при которой используются опытные данные (выборка) и различные статистические критерии. Одним из основных понятий статистической проверки гипотез является понятие критерия проверки.

Критерием проверки D называется некоторый статистический показатель, являющийся числовой мерой отклонения, различия между выборочным распределением и гипотетическим распределением, относительно которого предполагается, что подлежащая проверке гипотеза верна (ниже будет рас-

390

5354.ru