SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Пусть si

– длина дуги Mi 1Mi

кривой

AB, max si

– наибольшая из всех

длин si ,

i 1, 2, ... , n.

Число делений n

устремим к бесконечности так, чтобы

max si 0, т. е. чтобы все дуги Mi 1Mi

стягивались в точки. При этом для всех

i

имеем

xi 0,

yi 0.

Если

существует

конечный предел

lim

n P

,

x и он не зависит ни от способа разбиения кривой, ни от вы-

max s 0

i

i

i

i

i 1

координате x от функции P x, y и обозначается

P x, y dx.

Итак,

AB

P x, y dx

lim

n

P

,

x .

(1)

max s

0

i

i

i

AB

i

i 1

Точно так же вводится криволинейный интеграл по координате y :

Q x, y dy

lim

n

Q

i

,

i

y .

(2)

max

s

0

i

AB

i

i 1

Сумма двух интегралов по координатам x, y

называется составным кри-

волинейным интегралом по

координатам

x,

y

и

обозначается

P x, y dx Q x, y dy, т. е.

AB

P x, y dx Q x, y dy P x, y dx Q x, y dy.

AB

AB

AB

Пусть теперь кривая AB задана параметрическими уравнениями

x x t ,

t ,

(3)

y y t ,

где t отвечает точке

A , а t

отвечает

точке B . Пусть точкам

M1, ... , Mi 1, Mi , ... , Mn 1 деления кривой AB отвечают значения t,

равные соот-

ветственно t1, ... , ti 1, ti , ... , tn 1,

причём t0

и tn

Этими числами интервал

делится на n частей. Так как значению t ti 1

отвечает точка Mi 1, то её

абсцисса находится по формуле (3) при значении t ti 1, т. е. xi 1

x ti 1 . Ана-

логично xi x ti . Их разность

xi xi

xi 1 x ti

x ti 1 .

(4)

x ti x ti 1 x i ti ti 1 , ti 1 i ti .

Обозначим ti

ti

ti 1, тогда (4) примет вид

xi x i ti .

(5)

В качестве

Ki

возьмём ту точку, которая отвечает значению t i ,

коор-

динаты точки Ki

вычислим по формуле (3) при t i ,

будем иметь i x i ,

i y i . Эти значения, а также выражение (5)

для xi

подставим в (1) и по-

лучим

P x, y dx lim

n

P x

, y

x

t .

(6)

n

i

i

i

i

AB

max s 0

i 1

i

Будем считать, что x t ,

y t , x t , y t

непрерывны в интервале .

Тогда

функция P x t , y t x t

непрерывна

в интервале . В правой части (6)

P x,

y dx P x t , y t x

t dt.

(7)

AB

Эта формула позволяет вычислить криволи-

нейный интеграл по координате x для кривой

AB, (рис. 153) заданной параметрическими

уравнениями (3), так как выражает его через

определённый интеграл.

Аналогично для криволинейного интегра-

ла по координате y будем иметь

Рис. 153

Q x,

y dy Q x t , y t y t dt.

(8)

AB

Сложив почленно (7) и (8), получим

P x, y dx Q x, y dy

AB

(9)

t Q x t , y t

t dt.

P x t , y t x

y

Итак, чтобы криволинейный интеграл по координатам для кривой AB,

за-

грал, нужно положить x x t ,

y y t , dx x t dt, dy

y t dt

и учесть, что

пределы t и t

отвечают соответственно началу

A и концу B кривой

AB.

В (9) поменяем местами A и B,

следовательно, и Тогда

P x, y dx Q x, y dy

BA

(10)

t Q x t

t

dt.

P x t , y t x

, y t y

Здесь B – начало, A

– конец кривой. Правые части (9) и (10) отличаются

лишь знаком, поэтому

P x, y dx Q x, y dx P x, y dx Q x, y dy.

AB

BA

Таким образом,

получили уравнения вида (3), в которых x t

t, y t t2 , по-

этому x t 1

и

y t 2t. Точке

A отвечает значение t x 0,

точке B – зна-

чение t x 1.

По формуле (9) искомый интеграл

xydx x y dy 1 3t3 2t2 dt

17 .

AB

0

12

y f t , x x t t,

a t b. Согласно формуле (7), учитывая, что x t 1,

бу-

дем иметь

b

P x, y dx P[t, f t ]dt.

(11)

AB

a

b

P x, y dx P[x,

f x ]dx.

(12)

AB

a

Формула (12)

выражает криволинейный

интеграл по

координате

x через

определённый интеграл, когда кривая

AB

задана уравнением y f x , a x b.

Аналогично можно показать, что если

кривая

AB

задана

уравнением x y ,

c x d

(рис. 155), то криволинейный инте-

грал по координате y

для кривой AB вычис-

ляется по формуле

Q x,

d

y dy Q[ y , y]dy. (13)

Рис. 155

AB

c

Пусть путь совпадает с вектором S и сила

F постоянна (по модулю и

направлению), тогда работа силы F на пути S определяется формулой

F

S

(14)

A

cos F, S ,

где – угол между S

и F.

Пусть на плоскости Oxy

задана кривая AB

(рис. 156), и в точке M x, y

этой кривой приложена сила

Будем

F с проекциями на оси координат Fx , Fy .

– функции двух

переменных

x,

y .

Обозначим

их

через

Fx x, y ,

Fy x, y .

Итак,

F Fx x, y , Fy x,

y .

Полагаем, что функции Fx x, y , Fy x, y заданы и не-

прерывны всюду на кривой AB .

Требуется найти работу A, которую совершает переменная сила F , когда

точка M ее приложения перемещается от начала A до конца B кривой AB.

Обозначим соот-

ветственно точки A и B через M0

и Mn ,

координаты точек Mi 1 и Mi

– через

Mi 1 xi 1, yi 1

и M i xi ,

yi , разности координат xi

xi xi 1, yi yi yi 1.

Проек-

на оси координат равны разностям координат конца и

ции вектора M i 1M i

начала: Mi 1Mi xi , yi .

На дуге

Ki i , i . Вычислим в этой

Mi 1Mi возьмём произвольную точку

точке значение заданной силы и найдём Fi Fx i , i , Fy i , i . В силу мало-

сти участка Mi 1Mi кривой AB приближённо можно считать, что, во-первых,

и, во-вторых,

на

этот участок является прямолинейным и совпадает с M i 1M i

этом участке сила F изменяется мало, остаётся постоянной и равна Fi – силе,

вычисленной в точке K

. Таким образом, работа

A

силы F

на участке M

i 1

M

i

i

i

кривой

AB

будет приближённо равна согласно (14) скалярному произведе-

нию Ai

Fi

, Mi 1Mi . Это скалярное произведение запишем в виде суммы про-

Fx i , i xi Fy i , i yi .

изведений одноимённых проекций и получим Ai

P x, y

b

y2 x P

x, y

(16)

dxdy dx

dy.

y

y

D

a

y1 x

Здесь в правой части внутренний интеграл берётся по y

при x const,

т. е. по-

динтегральная функция зависит лишь от

y. Но она является производной по

y от функции P x, y

при x const. Следовательно, P x,

y есть первообразная

P x, y

dxdy P(x, y)dx.

(21)

D

y

L

Записав уравнения частей

границы L

в виде x x1 y ,

x x2 y ,

CAD,

CBD

использовав формулу (13), получим

Q(x, y) dxdy

Q(x, y)dy.

(22)

D

x

L

P x, y dx Q x, y dy P x, y dx Q x, y dy 0.

(26)

AKB

BMA

Но левая часть (26) равна интегралу по замкнутому контуру L, следователь-

но,

P x, y dx Q x, y dy 0.

(27)

L

P x, y y,

Q x, y

x непрерывны в любой конечной части плоскости Oxy.

Тогда, если во всех точках плоскости Oxy выполняется соотношение

P

Q ,

(28)

y

x

то криволинейный интеграл

P x, y dx Q x, y dy.

(29)

AB