SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

что предел разности справа равен разности пределов слагаемых, поэтому

ходный знакопеременный ряд сходится. Теорема доказана. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится

ряд (36), составленный из абсолютных величин членов этого знакопеременного ряда.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если этот знакопеременный ряд сходится, а ряд (36), составленный из абсолютных величин

1 1/ 2 1/ 3 1/ 4 . . . Соответственно 1 12 13 14 ... есть ряд абсолютных величин. Рассматриваемый знакопеременный ряд, как мы видели, сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов – гармонический ряд – расходится. Значит, рассматриваемый знакопеременный ряд сходится условно.

бой геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, поэтому исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Приведем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 12. Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой его членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Коротко можно сказать, что в абсолютно сходящемся ряде можно переставлять его члены. При перестановке бесконечного числа слагаемых условно сходящегося ряда мы получим ряд, который, вообще говоря, будет иметь уже другую сумму и может даже расходиться.

321

5354.ru

ГЛАВА 17. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

§1. Теорема Абеля

Ряд U1 U2 ... Un ... называется функциональным, если его члены являются функциями от аргумента x, т. е. ряд имеет вид

При каждом конкретном значении x ряд (1) будет представлять собой числовой ряд, который может сходиться, но может и расходиться. Совокупность всех значений x, при которых функциональный ряд (1) сходится, называется областью сходимости этого функционального ряда.

Рассмотрим простейшие примеры функциональных рядов – так называе-

мые степенные ряды.

Степенным называется ряд вида

в котором a0 , a1, a2 , . . . – заданные числа, называемые коэффициентами ря-

да.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится в некоторой точке x0 x0 0 , то он сходится абсолютно при всех x , удовлетворяющих неравен-

322

5354.ru

В самом деле, для всех n N это неравенство получим из неравенства (3), если учтем, что M . Кроме того, первые N 1 чисел (4) этому неравенству также удовлетворяют, так как M есть наибольшее из чисел (4).

Рассматриваемый ряд (2), умножив и поделив его члены на x0 в соответствующей степени, запишем в виде

a0 a1x0 x / x0 a2 x02 x / x0 2 . . . an x0n x / x0 n . . .

Запишем также ряд, состоящий из абсолютных величин членов последнего ряда:

ряд (6), так как его члены в силу (5) меньше или равны соответствующим членам сходящегося ряда (7). Но сходимость ряда (6) означает, что ряд (2) сходится абсолютно. Теорема доказана.

Следствие из теоремы Абеля. Если степенной ряд (2) расходится в точке x0 , то он расходится для всех x , удовлетворяющих неравенству x x0 ,

т. е. при всех x , лежащих в интервалах x x0 и x0 x .

Доказательство. Предположим, что в точке x, для которой x x0 , ряд

сходится. Тогда по теореме Абеля придём к заключению, что степенной ряд сходится в точке x0 , что противоречит условию. Ясно, что вышеуказанные

числа x0 , x0 удовлетворяют неравенству x0 x0 .

323

5354.ru

§2. Радиус сходимости степенного ряда

Радиусом сходимости степенного ряда (2) называется число R, при котором для всех точек x, удовлетворяющих неравенству x R , ряд (2) абсолютно сходится, а для всех точек x , удовлетворяющих неравенству x R, ряд (2)

расходится.

Таким образом, областью сходимости ряда (2) является интервалR x R, а вне этой области ряд расходится. На концах интервала сходимости, т. е. в точках x R, x R , ряд может сходиться, но может и расходиться. Этот вопрос требует в каждом случае специального рассмотрения.

Выведем формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда

(2) по известным его коэффициентам a0 , a1, a2 , . . . , an , . . . Запишем ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного степенного ряда:

Этот ряд для каждого конкретного значения x представляет собой числовой ряд с положительными членами, поэтому для исследования его сходимости можно использовать, например, признак Даламбера, согласно которому нужно рассмотреть предел

предел существует. В итоге получим l x L. Согласно признаку Даламбера при l x L 1, т. е. при x 1L , ряд (8) схо-

дится, а это означает, что ряд (2) сходится абсолютно. При l x L 1, т. е. при x 1/ L, ряд (8) расходится. Как ясно из доказательства признака Даламбера,

при l 1 у ряда (8) общий член не стремится к нулю при n . Но тогда не стремится к нулю и общий член ряда (2) при n . Согласно достаточному признаку расходимости ряд (2) расходится. Итак, показали, что для всех x, для которых имеет место неравенство x 1L , ряд (2) абсолютно сходится, а

для всех x, для которых имеет место обратное неравенство, ряд (2) расходит-

324

5354.ru

ся. Это означает, что число 1L есть радиус сходимости R ряда (2). Теперь с учётом (9) можно записать следующую формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда (2):

По этой формуле можно вычислить радиус сходимости степенного ряда, зная его коэффициенты.

Если для исследования сходимости ряда (8) использовать радикальный признак Коши, то для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (2) получим формулу

Рассмотрим поведение ряда на концах интервала сходимости. При x 1 ряд принимает вид 1 1 1 . .. и расходится, так как его общий член равен 1 и не стремится к нулю при n . Совершенно аналогично придём к заключению, что при x 1 ряд также расходится (общий член ряда будет равен 1).

1 2x 2 3x 3 . . . nx n . . . Здесь an nn . Для нахождения радиуса сходимости

325

5354.ru

§3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Дан степенной ряд (2) и пусть R – радиус его сходимости. Тогда ряд абсолютно сходится в интервале R, R , т. е. для каждого x из этого интервала

(2) представляет собой сходящийся числовой ряд с определённой суммой S . Ясно, что для каждого x эта сумма будет своя, т. е. она является функцией от x . Будем обозначать ее По определению эта сумма есть предел n -й ча-

которое понимается в том смысле, что имеет место соотношение (12). Приведем без доказательства следующие две теоремы.

Теорема 1. Степенной ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда (2), также сходится в интервале R, R и имеет сумму,

равную производной от суммы ряда (2), т. е.

S x a1 2a2 x 3a3 x2 . . . nan xn 1 ..., R x R.

Следствие. Сумма степенного ряда (2) является функцией, непрерывной

винтервале его сходимости.

Всамом деле, непрерывность указанной суммы вытекает из её дифференцируемости.

Теорема 2. Степенной ряд, полученный почленным интегрированием ряда

(2) в интервале его сходимости от нуля до x, R x R, также сходится в

интервале R, R и имеет сумму, равную соответствующему интегралу от суммы ряда (2), т. е.

0

где R x R.

326

5354.ru

В правой части формулы (13) снова стоит степенной ряд, который можно еще раз проинтегрировать в интервале сходимости. Таким образом, степенной ряд (2) можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз в интервале его сходимости.

§4. Ряды по степеням x - x0

Ряд (14) получается из ряда (15) указанной выше заменой переменной, поэтому область сходимости ряда (14) получается из области сходимости ряда (15) той же заменой. Таким образом, область сходимости ряда (14) определяется формулой x0 R x x0 R.

§5. Формула Тейлора

Пусть дана функция которая имеет в окрестности точки x0 (иначе говоря, в некотором интервале, внутри которого лежит точка x0 ) все производные до n 1-го порядка включительно. Найдём значение самой функции и

Здесь, как уже отмечалось, x0 - заданное число, а x - переменная величина.

328

5354.ru

то согласно (25) f x lim Pn x . Это означает, во-первых, что существует пре-

n

ную этой функции f x . В этом случае говорят, что функция f x разлагает-

ся в ряд Тейлора или что ряд Тейлора, построенный для неё, представляет эту функцию, и записывают равенство

строенный для функции f x . Сумма этого ряда не будет равна заданной функции f x . Иначе говоря, ряд Тейлора для функции f x , если даже он сходится, будет иметь сумму, отличную от f x . В этом случае говорят, что

функция не разлагается в ряд Тейлора или ряд Тейлора указанной функции не представляет эту функцию.

Итак, если предел остаточного члена формулы Тейлора при n равен

330

5354.ru