SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

что левая часть – сложная функция, в которой F – функция трёх переменных. Поэтому

лы равна нулю. Итак, скалярное произведение (N , r (t)) 0, а поскольку длины

образом, любая касательная прямая к поверхности перпендикулярна векторуN. Это означает, что все касательные прямые к поверхности в точке P перпендикулярны N – одному и тому же вектору. Следовательно, все касательные прямые лежат в одной плоскости. Теорема доказана.

Указанная плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке P. Мы показали, что вектор N с началом в точке P, проекции которого F / x, F / y, F / z суть частные производные, вычисленные в точке P,

есть вектор, перпендикулярный к касательной плоскости поверхности в точке P, т. е. является нормальным вектором этой плоскости.

Прямая, проходящая через точку P и перпендикулярная к касательной плоскости в ней, называется нормалью к поверхности в точке P.

§18. Уравнение касательной плоскости и нормали

кповерхности

Пусть поверхность задана уравнением (39) и P0 x0 , y0 , z0 – фиксированная точка этой поверхности, т. е. её координаты x0 , y0 , z0 – заданные числа. Вычислим частные производные F x , F y , F z и найдём их значения в точке

P0 :

181

5354.ru

ра PP1 на оси координат равны разностям координат конца и начала этого вектора:

С другой стороны, проекции этого вектора равны его длине умноженной

ванная ось, т. е. , – фиксированные величины. Пусть изменяется только

Мы знаем, что для полного приращения функции трёх переменных справедливо представление

Ux x, y y, z z U x, y, z

U x U y U z 1 x 2 y 3 z,x y z

где 1, 2 , 3 – бесконечно малые функции, стремящиеся к нулю, когда x 0,y 0, z 0 одновременно. Это представление получено в предположении,

183

5354.ru

Из неё видно, что эта производная зависит от:

координат x, y, z точки P, так как эти координаты входят в выражения для частных производных правой части формулы (47);

направления оси , т. е. от углов , , так как они входят в правую

часть формулы (47).

При фиксированных P и производная по направлению dU характеризует поведение функции при движении по оси . Когда dU 0, в положительном направлении оси функция U возрастает, причём тем быстрее, чем больше эта производная. В сказанном легко убедиться на основании (46).

§20. Градиент функции и его связь

спроизводной по направлению

Пусть в пространстве Oxyz задано скалярное поле, т. е. функция U P U x, y, z , где x, y, z – координаты точки P. От этой функции найдём частные производные U x , U y , U z. Эти производные вычислим для точки P x, y, z и построим вектор с началом в точке P, обозначаемый gradU

и называемый градиентом функции в точке P, проекции которого равны только что вычисленным частным производным. Итак, градиент функции U x, y, z в точке P равен

Длина этого вектора определяется формулой

184

5354.ru

Пусть P – фиксированная точка (её координаты – заданные числа). Тогда gradU в этой точке, определённый по формуле (48), есть фиксированный вектор. Будем изменять угол , т. е. направление оси . Из формулы (51) видно, как изменяется производная по направлению U в точке P с изменением направления оси , т. е. угла . Ясно, что наибольшее свое значение эта производная принимает, когда cos 1, т. е. 0, и ось направлена по gradU . Получили, что gradU – вектор, направление которого указывает направление

вектор, направленный по нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через точку P.

186

5354.ru

ГЛАВА 10. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Комплексные числа и действия над ними

Комплексным числом называется выражение вида

z2 x2 iy2 . Их сумма и разность - комплексные числа, определяемые следующим образом:

z1 z2 x1 x2 i y1 y2 , z1 z2 x1 x2 i y1 y2 .

Произведение z1 z2 – это комплексное число, которое получается при перемножении этих чисел как двучленов по правилам алгебры:

z1 z2 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 ix1 y2 iy1x2 i2 y1 y2 ,

или с учётом (2)

z1 z2 x1x2 y1 y2 i x1 y2 y1x2 .

Деление. Для того, чтобы z1 поделить на z2 , нужно числитель и знаменатель дроби z1 z2 умножить на комплексное число z2 , сопряжённое знаменателю, при этом результатом деления будет комплексное число

187

5354.ru

z1 z2 1 3 i 2 4 4 2i, z1 z2 1 3 i 2 4 2 6i, z1 z2 1 2i 3 4i 3 4i 6i 8i2 3 8 i 6 4 11 2i.

255 i 1025 15 25 i.

§2. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа

Любое комплексное число z x iy можно изобразить на плоскости Oxy в виде точки M x, y с координатами x, y. В этом случае плоскость называется

комплексной, Ox – действительной осью, а Oy – мнимой осью. В некоторых случаях комплексное число z x iy представляют в виде вектора OM .

Обозначим через и r полярные координаты точки M x, y , считая нача-

ло координат полюсом, а положительную полуось Ox – полярной осью. Тогда

(см. рис. 102)

направлением отсчёта аргумента считается направление против хода часовой стрелки. Из соотношений (4) следует

188

5354.ru

периодические функции, при записи комплексного числа в виде (5) слагаемые 2 k опустим.

Комплексному числу z1 на плоскости Oxy соответствует вектор OM1 с

i2 1. Получим

z1 z2 r1 cos 1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2

r1r2 cos 1 cos 2 i2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 i cos 1 sin 2

или

Вычислим z1 z2 , умножив числитель и знаменатель на z2 , при этом учтём (3):

189

5354.ru

r1 cos 1 cos 2 i2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 r2

или z1 / z2 (r1 / r2 )[cos 1 2 i sin 1 2 ].

§ 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа

лой Муавра.

Извлечение корня. Корнем n -й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n -я степень которого равняется подкоренному чис-

лу, т. е. n r cos i sin cos i sin , если

r cos i sin n cos n i sin n . У равных комплексных чисел модули долж-

ными. Таким образом, корень n -й степени из комплексного числа имеет n значений.

Пример. Решить уравнение z3 1 i.

Представим число 1 i в тригонометрической форме, для этого найдём

r 1 1 2, arctg1 4. Отсюда

1 i 2 cos 4 i sin 4 .

Найдем корни уравнения по формуле (8):

190

5354.ru