SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

ливость (19) в общем случае следует из того, что любую фигуру Si можно

рассматривать как предел вписанной в неё фигуры, состоящей из прямоугольников вышеуказанного вида.

шется так: F x, y, z 0. Найдём от функции F(x, y, z) z f (x, y) первые част-

Как следует из результатов параграфа 17 главы 9, эти производные, вычис-

ленные в точкеMi , равны проекциям на оси координат вектора N i , направленного по нормали к поверхности в точке Mi : N i fx i , i , fy i , i , 1 .

Можно считать, что проекции этого вектора вычислены в точке Pi i , i , так как сюда входят только координаты этой точки. Длина этого вектора равна

женной на косинус угла между вектором и осью. С другой стороны эта про-

правой части (22) под знаком предела стоит интегральная сумма этой функции и области D, в которой функция задана, поэтому предел в (22) равен двойному интегралу по области D от рассматриваемой функции. Итак,

251

5354.ru

Эта формула позволяет вычислить площадь поверхности, заданной уравнени-

ем z f (x, y).

Вдвойном интеграле перейдем к полярным координатам согласно формуле

(16)и получим

Последний интеграл выразим через двукратный с учетом сказанного в конце параграфа 9 настоящей главы:

§ 11. Вычисление объёмов с помощью двойных интегралов

Пусть в области D на плоскости Oxy задана функция z f x, y , которая

всюду в D принимает положительные значения. Тогда поверхность, которую определяет это уравнение, расположена выше плоскости Oxy (как показано на рис. 145).

252

5354.ru

Рис. 145

Пусть теперь всюду в области D функция z f x, y принимает отрица-

тельные значения, тогда цилиндрическое тело вместе с поверхностью лежат ниже плоскости Oxy (рис. 146).

Рис. 146

Поступая, как и раньше (см. параграф 3 настоящей главы), нетрудно пока-

зать, что в этом случае f x, y d V , где V –

D

V 2 x, y 1 x, y d , d dxdy.

D

§ 12. Вычисление тройного интеграла

Пусть в пространстве Oxyz задана конечная область V , в которой определена функция f (x, y, z), непрерывная в области V , включая её границу. Пусть D – проекция области V на плоскость Oxy (при проектировании параллельно оси Oz ). Чтобы осуществить это проектирование, проведем цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz, которая касается грани-

значными всюду в области D. Геометрически это означает, что прямая, проходящая через любую точку K x, y области D параллельно оси Oz, пересе-

5354.ru

Если в последнем случае 1 x, y l const и 2 x, y k const, l k, то

область V сверху и снизу будет ограничена частями плоскостей, параллельных плоскости Oxy. В формулах (26), (27) пределы для z в этом случае будут постоянными. Если при этом дополнительно область D имеет форму прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, то в (27) пределы для y тоже будут постоянными, а область V при этом имеет форму параллелепипеда.

Формулу (26) можно обосновать, например, следующим образом.

Будем считать, что функции 1 (x, y), 2 (x, y) непрерывны в области D , включая её границу.

Вначале отметим, что для правой части формулы (26) справедливо свойство, аналогичное свойству 5 тройного интеграла и называемое теоремой о среднем значении, то есть

где V - объем области V , f (M ) f ( , , ) - значение функции в некоторой точке M ( , , ) области V.

Это свойство обосновывается совершенно аналогично доказательству соответствующего свойства определенного интеграла. При этом надо учесть, что

и принять во внимание теорему 1 § 6 главы 9, замечая, что число заключено между наименьшим и наибольшим значениями функции f (x, y, z) в области V , поэтому f (M ).

Область V разобьем на частичные области и интеграл правой части формулы (26) запишем в виде суммы соответствующих интегралов следующим образом.

256

5354.ru

Здесь в правой части интеграл определяется для части Vj области V , для которой фигура j является проекцией на плоскость Oxy, при любом j 1, 2, , n , то есть область V разбивается на n частей цилиндрическими поверхностями, проходящими через границу соответствующих частей j области D, с обра-

зующими параллельными оси Oz.

Пусть mj наименьшее значение функции 2 (x, y) в области j , M j наибольшее значение функции 1 (x, y) в области j , причем mj M j (последнее неравенство выполняется, если достаточно мал диаметр области j ,

так как мы и предполагаем, что во всех внутренних точках области D выполняется неравенство 2 (x, y) 1 (x, y)). Интервал M j z mj разобьем на k j ча-

занную область Vj разобьем на k j частей. Эти части и их объемы обозначимVj1 , Vj 2 , , Vjk j , считая для определенности, что вторые индексы здесь рас-

тут вместе с аппликатами точек частей. Сказанное относится к любой из частей Vj области V , j 1, 2, , n . Следовательно, область V оказывается разбитой

на n частей, n k1 k2 kn .

При вышеуказанном разбиении области Vj на части предыдущая формула в

силу соответствующих свойств определенного и двойного интегралов может быть записана так

257

5354.ru

В последней сумме каждое из слагаемых выразим по теореме о среднем значении, тогда предыдущее соотношение примет вид

Эта формула справедлива также для любого достаточно большого n, когда достаточно мал max di наибольший из диаметров частей Vi . Это означает, что предел суммы правой части последней формулы при n , max di 0 равен левой части

Но здесь под знаком предела стоит интегральная сумма для непрерывной функции f (x, y, z) и области V , в которой функция f (x, y, z) задана, поэтому предел указанной интегральной суммы при n , max di 0 равен тройному интегралу по области V от функции f (x, y, z), то есть получаем формулу (26).

258

5354.ru

Если область V имеет более общий вид, чем указано выше, и может быть разбита на части, для которых справедлива формула (26), то тройной интеграл по рассматриваемой области V будет равен сумме тройных интегралов по указанным её частям.

2 x, y 1 x y. Поэтому

Остаётся вычислить двойной интеграл в правой части формулы (29). Для этого выразим его через двукратный, учитывая, что область D расположена между прямыми x 0 и x 1, т. е. a 0, b 1. Область D с одной стороны ограничена частью оси Ox, т. е. 1 x 0. С другой стороны область D огра-

ничена прямой x y 1, т. е. y 1 x, следовательно, 2 x 1 x , и получим

xyzdxdydz (1/ 2) 01 dx 01 x xy 1 x y 2dy.

V

Окончательные вычисления предлагаем сделать самостоятельно, замечая, что

1 x y 2 1 x 2 2 1 x y y2 .

259

5354.ru

ГЛАВА 14. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§1. Криволинейные интегралы по координатам

иих вычисление

Пусть на плоскости Oxy задана кривая AB (см. рис. 152), на которой заданы функции P x, y и Q x, y .

M1, ... , Mi 1, Mi , ... , Mn 1 ( A обозначим M0 , а B – Mn ). Считаем, что индексы то-

Пусть Ki i , i – произвольная точка дуги Mi 1Mi . Вычислим в ней значение функции P(Ki ) P i , i и умножим это значение на xi . Вычислим ана-

n

логичные произведения для всех дуг кривой и найдем их сумму P i , i xi .

i 1

260

5354.ru