SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

равна нулю, то функция f x в этом интервале остаётся постоянной величиной, т. е. f x const .

Доказательство. Докажем одно из утверждений теоремы (остальные до-

ция в рассматриваемом интервале.

§ 2. Точки экстремума функции. Необходимый признак экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом интервале

Пусть x0 – внутренняя точка области определения функции f (x). Точка x0 называется точкой максимума функции f x , если для всех отличных от x0 точек некоторой окрестности точки x0 (другими словами, некоторого малого интервала, содержащего внутри себя точку x0 ), выполняется неравенство

рис. 62. Для этой функции x1 – точка максимума, так как значение f x1 больше значений функции f x во всех соседних точках, т. е. оно является наибольшим значением функции f x в некоторой окрестности точки x1. Аналогично x1 – точка максимума функции f x . Кроме того, x2 и x2 являются точками минимума функции f x . В то же время для функции с графиком, указанным на рисунке, минимальное значение f x2 больше f x1 – макси-

мального значения этой функции.

Отметим также, что максимальное значение функции, как и минимальное ее значение, определяются для достаточно малого интервала, содержащего точку максимума или минимума функции. Эти значения нельзя путать с наибольшим и наименьшим значениями функции на интервале Дело в

том, что последние значения функция может принять на концах интервала. Эти значения могут также совпадать с максимальным и минимальным значениями функции. Например, для функции, график которой указан на рис. 62, наибольшим значением функции в интервале является f b – значение

на правом конце интервала, а наименьшее значение функции здесь совпадает с одним из минимальных значений f x2 .

Из сказанного следует, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f x на a, b нужно поступить так:

найти все максимальные и минимальные значения функции в интервале

a, b ;

вычислить значения f a , f b этой функции на концах интервала

a, b ;

из всех найденных значений выбрать наибольшее, а затем наименьшее. Эти значения будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции f x на интервале

Теорема 3 (необходимый признак экстремума функции). Если диффе-

ренцируемая функция f x в точке x0 имеет экстремум, то её производная f x в этой точке обращается в нуль, т. е. f x0 0.

Доказательство. Пусть x0 – точка экстремума функции f x , например, точка ее максимума. Это означает, что значение f x0 функции в этой точке является наибольшим значением функции в некотором, достаточно малом

132

5354.ru

рис. 63.

Заметим, что не всякая точка, в которой производная функции обращается в нуль или не существует, является точкой экстремума. Покажем это на примере функции f x x3 , производная которой f x 3x2 . В точке x 0 произ-

водная обращается в нуль. Но эта точка не является точкой экстремума функции. В самом деле, для всех x , отличных от нуля, производная f x положи-

тельна. Отсюда согласно доста-точному признаку возрастания функции получаем, что функция f x возрастает и слева, и справа от

точки x 0, следовательно, x 0 не есть точка экстремума. Эта функция имеет график, показанный на рис. 64.

Точки, в которых производная f x функции f x

обращается в нуль или не существует, называются

критическими точками функции f x . Как мы видели,

не всякая критическая точка является точкой экстремума функции f x . На вопрос о том, будет критическая точка точкой экстремума

функции или нет, отвечают достаточные признаки экстремума функции.

133

5354.ru

§ 3. Достаточные признаки экстремума функции

Теорема 4 (первый достаточный признак экстремума функции). Кри-

тическая точка x0 является точкой экстремума дифференцируемой всюду за исключением, быть может, точки x0 функции f x , если её производная f x изменяет знак при переходе x через x0 (с увеличением x ). При перемене знака с «+» на «-» x0 – точка максимума функции, а при перемене с «-» на «+» x0 – точка минимума функции f x .

Доказательство. Пусть, например, производная f x изменяет знак с «+»

Рассмотрим схему исследования функции на экстремум. Чтобы найти экстремум функции y f x , нужно:

найти критические точки этой функции, т. е. точки, в которых производная f x обращается в нуль или не существует;

каждую критическую точку исследовать с помощью достаточного признака экстремума;

найти экстремальные значения функции, подставив вместо x в выражение f x точки экстремума.

134

5354.ru

Если критическая точка является точкой разрыва функции f x и в ней

функция обращается в бесконечность, то эта критическая точка не будет точкой экстремума функции, если даже при переходе через неё изменяется знак

зан на рис. 67.

Теорема 5 (второй достаточный признак экстремума функции). Пусть

показать в этом случае, что критическая точка x0 – точка минимума. При до-

как её производная f x f x 0 . Поэтому большему значению аргумента

экстремума приходим к выводу, что x0 – точка минимума. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Рассмотрим одну из задач на нахождение наибольшего значения функции в интервале.

Дан квадратный жестяной лист со стороной a. По углам листа вырезают одинаковые квадраты и, сгибая лист по линиям выреза, образуют коробку. Какова должна быть длина x сторон вырезанных квадратов, чтобы объём V коробки был наибольшим?

Основанием коробки служит квадрат со стороной a 2x, высота коробки равна x, поэтому объём коробки равен

точку, в которой функция принимает наибольшее значение в этом интервале. На концах интервала, т. е. при x 0 и x a2, функция (2) обращается в нуль, а внутри интервала принимает положительные значения. Следовательно, наибольшее значение функция принимает внутри интервала 0, a2 . Найдём в

этом интервале точки максимума рассматриваемой функции. Производная

136

5354.ru

(2), в которой эта функция принимает наибольшее значение в интервале0, a2 .Таким образом, получен ответ: x a / 6.

§ 4. Выпуклость линии. Точки перегиба кривой

угла , образованного с осью Ox касательной к кривой в её точке с абсциссой x. Для выпуклой вверх кривой (см. рис. 68) с

увеличением x угол убывает, следовательно,

137

5354.ru

Теорема 6 (необходимые признаки выпуклости кривой). Если кривая y f x является выпуклой вверх на a, b , то в этом интервале f x 0 ; ес-

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Пусть f x 0 всюду в интервале a, b . Тогда, согласно достаточному признаку убывания функ-

Теорема 8 (необходимый признак точки перегиба). Если x0 – абсцисса точки перегиба кривой y f x , то f x0 0.

Доказательство. Точка перегиба отделяет выпуклую вверх часть от выпуклой вниз, следовательно, она одновременно принадлежит обеим указанным частям кривой. Будем считать, что вторая производная f x существует

138

5354.ru

Кроме того, видим, что f x 0 при x 0 , а при x 0 имеем f x 0. Зна-

чит, по теореме 7 при x 0 кривая выпуклая вниз, при x 0 - выпуклая вверх. Это означает, что x 0 есть абсцисса точки перегиба рассматриваемой кривой. Это также очевидно из графика функции (см. рис. 71).

Теорема 9 (достаточный признак точки перегиба). Точка(x0 , y0 ) кривой y f (x) является точкой перегиба, если f (x) обращается в нуль или не существует при x x0 и знак второй производной f x изменяется при переходе x через x0 (с увеличением x ). При перемене знака с «-» на «+» участок

выпуклости вверх сменяется участком выпуклости вниз, а при перемене с «+» на «-» участок выпуклости вниз сменяется участком выпуклости вверх.

y f x . Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Для нахождения точек перегиба кривой y f x требуется:

найти точки, в которых f x обращается в нуль или не существует;

каждую такую точку исследовать с помощью достаточного признака точки перегиба;

найти ординаты точек перегиба, подставив их абсциссы в выражение y f x вместо x.

уравнение кривой, получим y 0.

Итак, точкой перегиба кривой является точка 0; 0 . Эта кривая имеет график, представленный на рис. 72.

§ 5. Асимптоты кривой

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки этой кривой до прямой стремится к нулю, когда указанная точка неограниченно удаляется от начала координат. Рассмотрим два вида асимптот.

Вертикальные асимптоты. Дана кривая с урав-

мую x x0 . Тогда расстоя-ние от точки M до прямой с уравнением x x0 рав-

Иначе говоря, когда точка M неограниченно удаляется от начала координат, расстояние MN стремится к нулю. Это значит, что прямая с уравнением

точки M . Её ордината равна kx b. Поэтому

140