SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

равны нулю. Без доказательства отметим, что при m n данное определение ранга матрицы равносильно другому, используемому здесь определению: рангом матрицы называется число ненулевых строк в эквивалентной треугольной или ступенчатой матрице. Ясно, что для определения ранга матрицы сначала её нужно преобразовать методом Гаусса и привести к треугольной или ступенчатой матрице, эквивалентной исходной.

Пусть система уравнений (20) преобразована методом Гаусса и приведена либо к системе (21), либо к системе (22). При этих преобразованиях происходят соответствующие преобразования основной и расширенной матриц системы (20). Совместность системы (20) равносильна отсутствию в преобразо-

нулевую строку основной матрицы преобразованной системы, а эти же коэффициенты и число b 0 - ненулевую строку расширенной матрицы этой системы). Это в свою очередь равносильно совпадению числа ненулевых строк основной и расширенной матриц преобразованной системы (21) или (22). А это последнее, в свою очередь, равносильно совпадению рангов основной и расширенной матриц исходной системы. Итак, справедлива

Теорема Кронекера – Капелли. Если система уравнений совместна, то ранги её основной и расширенной матриц равны, и наоборот, если ранги основной и расширенной матриц равны, то система совместна.

§ 8. Однородные системы

Система уравнений (20) называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю: b1 0, b2 0, , bm 0 . Ясно, что однородная система всегда

личное от нуля, то такое решение системы называется ненулевым.

Пусть в однородной системе (20) число уравнений меньше числа неизвестных ( m n ). Такая система методом Гаусса приведётся к ступенчатой системе, так как к треугольной системе мы можем прийти, лишь когда m n . Но ступенчатая система имеет бесконечное множество решений, среди которых обязательно найдётся ненулевое. Например, в системе (21) ненулевое решение получим, взяв xr 1 0 . Таким образом, справедлива

71

5354.ru

Теорема 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевые решения.

Рассмотрим случай, когда в однородной системе (20) m n . Для такой системы может быть доказана

Теорема 2. Если однородная система из n уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения, то её определитель равен нулю, и наоборот, если определитель указанной однородной системы равен нулю, то эта система имеет ненулевые решения.

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы: дана однородная система (20), в которой m n и b1 0, b2 0, , bn 0 , и она имеет ненуле-

вые решения; нужно доказать, что её определитель равен нулю. Предположим противное, т. е. что её определитель 0 . Тогда решение

состоящий из одних нулей, поэтому все они равны нулю. Следовательно, по формулам Крамера получим единственное решение рассматриваемой однородной системы x1 0, x2 0, , xn 0 – нулевое решение. Это противоречит

условию теоремы, согласно которому система имеет ненулевое решение, следовательно, предположение, что 0 , должно быть отброшено.

Докажем вторую часть теоремы: определитель однородной системы (20) n уравнений с n неизвестными равен нулю; нужно доказать, что система имеет ненулевые решения.

Заданную однородную систему преобразуем методом Гаусса, при этом придём к ступенчатой системе. Если бы пришли к треугольной системе, то, как было показано раньше, пришли бы к заключению, что определитель исходной системы не равен нулю, что не согласуется с условием теоремы. Итак, система обязательно приводится к ступенчатой. Последняя имеет бесконечное множество решений, среди которых найдутся и ненулевые, поэтому исходная система имеет ненулевые решения. Теорема доказана.

При решении однородной системы целесообразно преобразовать её методом Гаусса и привести к ступенчатой или треугольной системе.

72

5354.ru

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§1. Обозначения, переменные, интервалы

Вматематике используется большое количество символов, рассмотрим некоторые из них.

Квантор общности – символ . Запись x читается так: «для любого x …», «для всех x …». Например, запись x 0 означает «для любого положительного x ».

Квантор существования – это символ . Запись x читается так: «суще-

ствует такое x , что …». Запись x 0 означает «существует такое положительное x , что …».

a, b, c c a, c b является прямоугольным треугольником», а B есть утвер-

ждение « c2 a2 b2 ». Видим, что , так как и, наоборот, . Например, запись

0 N x N | f (x) b |

читается так: для любого положительного числа существует такое число N , что для всех x N имеет место неравенство | f (x) b | .

Переменные величины. Интервалы. В математике рассматривают только численные значения величин, при этом отвлекаются от их конкретного физического содержания.

Постоянной называется величина, которая принимает лишь одно численное значение. Постоянные величины обозначают обычно буквами a, b, c и

т. д.

Переменной называется величина, которая принимает различные численные значения. Численные значения переменной образуют некоторое множество действительных чисел. Например, множество чисел, удовлетворяющих неравенству a x b . Это множество называется (открытым) интервалом и обозначается или a, b называются концами интервала.

73

5354.ru

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству a x b , называется за-

крытым или замкнутым интервалом и обозначается a,b .

Рассматриваются также полузакрытые (полуоткрытые) интервалы a x b , a x b , обозначаемые соответственно [a,b) , (a,b] или [a,b[ , ]a,b].

Интервалы могут быть бесконечными. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству x a , называется бесконечным интервалом и обозначается

Наконец, множество всех действительных чисел есть бесконечный интервал, который обозначается или ] , [ .

§ 2. Свойства абсолютной величины числа

74

5354.ru

Свойства абсолютной величины:

Эти свойства легко обосновать с помощью (1) – (4).

§ 3. Функция, способы задания

Пусть x – переменная величина, M – множество ее значений, y – другая переменная величина и N – множество её значений.

Функцией называется правило, по которому каждому значению x из множества M ставится в соответствие определённое значение y из множества N при условии, что каждое значение y из множества N отвечает хотя бы одно-

му x из M . Переменная x называется независимой переменной или аргумен-

том, а зависимая переменная y – функцией. Множество M называется обла-

стью определения функции, а N – областью значений функции. Введённая функция обозначается y f (x) (здесь f означает не переменную, а вышеуказанное правило, устанавливающее соответствие между x и y ). Говорят, что функция y f (x) отображает множество M на множество N . Вместо f при-

Табличный способ задания функции. Задают ряд значений аргумента x

и указывают соответствующие им значения функции y . Примерами такого способа задания функции являются известные таблицы логарифмов и тригонометрических функций.

Графический способ задания функции – это способ задания функции y f (x) с помощью её графика.

Графиком функции y f (x) называется множество точек на плоскости Oxy, для каждой из которых абсцисса x равна значению аргумента, а ордината равна соответствующему значению функции y f (x) .

75

5354.ru

Как правило, будем рассматривать функции, графики которых представляют собой сплошные линии или линии, состоящие из нескольких сплошных кривых. Ясно, что соотношение y f (x) является уравнением этой линии.

Аналитический способ задания функции. Здесь функция задаётся фор-

мулой, например, y x2. Однако функция может задаваться одновременно несколькими формулами для различных интервалов изменения x. Например,

Но если функция задана одной формулой, без дополнительного указания области определения, то под последней понимается совокупность всех значений x, для которых эта формула имеет смысл и по которым можно вычислить соответствующие значения функции. Например, для функции y 1/(x 2) областью определения является множество всех x, отличных от 2, т. е. множество x 2 и x 2 или совокупность интервалов ( ,2) и (2, ) . При x 2 имеем x 2 0 , и формула теряет смысл.

Основные элементарные функции:

постоянная функция y C const ;

степенная функция y xn , n – любое действительное число;

чение U (x) , а этому значению U отвечает определённое значение y f (U ) . Таким образом, каждому указанному x отвечает определённое значение y . Это означает, что y есть функция от x . Она называется сложной функцией от x и записывается в виде y f (x) , где – внутренняя функция, f –

76

5354.ru

Ясно, что, рассуждая аналогично, можно ввести сложную функцию, состоящую из трёх и большего числа функций.

Элементарной называется функция, определяемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций, с помощью конечного числа четырёх арифметических действий , , /, и с помощью конечного числа

операций взятия функции от функции.

§ 4. Предел функции при x и его геометрический смысл

Пусть x – переменная величина, которая принимает положительные значения и неограниченно увеличивается. В этом случае будем говорить, что x

стремится к плюс бесконечности и писать x . Пусть при этом заданная функция y f (x) принимает значения, всё более и более близкие к некоторому числу b , в том смысле, что величина f (x) b уменьшается и приближает-

ся к нулю. В этом случае будем говорить, что число b есть предел функции y f (x) при x .

Определение. Число b называется пределом функции y f (x) при x ,

если для любого положительного числа , каким бы малым оно ни было, найдётся такое положительное число N , что для всех x N выполняется неравенство | f (x) b | , т. е. символически 0 N x N | f (x) b | . В

этом случае будем писать lim f (x) b.

x

Подчеркнём, что – любое положительное число, сколь угодно малое. Другими словами, если число b есть предел функции f (x) приx , то для всех сколь угодно больших x значения функции f (x) сколь угодно мало отличаются от b . Ясно, что число N зависит от выбора числа : чем меньше ,

77

5354.ru

f (x) 5 1/ x 5 всегда, так как x 0 . Поэтому функция стремится к пределу 5, оставаясь больше своего предела, когда x . Аналогично можно показать,

оставаясь при этом меньше своего предела. Нетрудно проверить, что функция 1 (sin x) / x при x имеет предел, равный 1. Здесь x – угол, измеряемый в радианах. Ясно, что эта функция при x может принимать значения как большие, так и меньшие 1 в зависимости от знака sin x. Эта функция стремится к своему пределу, принимая значения и меньшие, и большие, и равные

Пусть x изменяется, принимая как положительные, так и отрицательные значения, абсолютная величина | x | неограниченно увеличивается. Тогда говорят, что x стремится к бесконечности, и пишут x . Число b называет-

Можно показать, что если существует последний предел, то существуют предыдущие два предела и все три равны между собой. И наоборот, если существуют предыдущие два предела и они равны, то существует третий, равный двум предыдущим.

§ 5. Предел функции при x x0 и его геометрический смысл.

Односторонние пределы

точек интервала x0 x x0 выполняется неравенство f x b , каким бы малым ни было. Сказанное можно записать символически в виде

0 0 (x0 x x0 ) | f (x) b | .

В этом случае пишут lim f (x) b. Так же, как для N в § 4, фигурирующая в

x x0 0

определении величина зависит от , т. е. является функцией от ( ( )) ,

y f (x) . Теперь дадим определение двустороннего (обычного) предела функ-

79

5354.ru

ции при x x0 (далее всегда под пределом функции при x x0 будем иметь ввиду именно этот двусторонний предел).

Число b называется (двусторонним) пределом функции y f (x) при x x0 , если для любого числа , каким бы малым оно ни было, найдётся такое число 0, что для всех точек интервала x0 x x0 , отличных от x0 , выполняется неравенство f x b , т. е.

0 0 (x0 x x0 ), x x0 | f (x) b | .

В этом случае пишут lim f (x) b.

x x0

Можно проверить, что если су-ществует последний предел, то существуют оба предыдущих одно- сто-ронних предела и все три предела равны между собой. И наоборот, если существуют оба односторонних предела и они равны друг другу, то существует двусторонний предел функции при x x0 , рав-

ный односторонним.

Выясним геометрический смысл двустороннего предела функции. Согласно определению, для всех точек интервала (x0 , x0 ), отличных от x0 , выполняется соотношение (2). Геометрически это означает, что если абсцисса x точки графика y f (x) лежит в интервале x0 , x0 , x x0 , то ордината f (x) этой точки лежит в интервале (2) (см. рис. 41). Следовательно, указанная точка лежит между прямыми y b и y b . Это относится к любой точке кривой y f (x) , абсцисса которой лежит в интервале (x0 , x0 ) и x x0 . Поэтому соответствующий участок графика лежит между вышеуказанными прямыми.

§ 6. Теоремы о пределах. Ограниченные функции

Все теоремы о пределах функции y f (x) будем доказывать для случая, когда x . В остальных случаях стремления x доказательства аналогичны.

Теорема 1. Если функция имеет предел при x , то этот предел будет единственным.

80

5354.ru