SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Отметим следующий геометрически очевидный факт: если график функции y f x является восходящей (нисходящей) кривой, т. е. с увеличением

абсциссы x точки кривой её ордината y f x увеличивается (уменьшается), то обратная к ней функция x ( y) существует и будет однозначной, так как каждому значению y из области значений функции y f x отвечает лишь одно значение x обратной функции x ( y).

В предыдущем примере для функции y x2 это условие нарушается, так как кривая y x2 состоит из двух частей: одна является нисходящей, а другая

§ 11. Производные обратных тригонометрических функций

Функция y Arcsin x является обратной по отношению к функции x sin y. График функции x sin y совпадает с графиком функции y Arcsin x . Для любого x из интервала 1 x 1 на графике функции y Arcsin x (рис. 50) имеется бесчисленное множество точек с абсциссой x, их ординаты – значения функции. Следовательно, эта функция является бесконечнозначной. Возьмём ту

111

5354.ru

часть графика, где 2 y 2 ; на этом участке для каждого x из интервала [ 1; 1] имеется лишь одна точка с абсциссой x. В дальнейшем под функцией

112

5354.ru

рис. 51) В дальнейшем всегда под функцией y arccos x будем понимать одно-

Доказательство проводится аналогично предыдущему.

Функция y Arc tg x является обратной по отношению к функции x tg y

arc tg x x 1/(1 x2 ).

Доказательство проводится по аналогии с доказательством теоремы 13. Функция y Arcc tg x является обратной по отношению к функции x ctg y . Выберем её однозначную ветвь, значения которой лежат в интервале 0 y

(рис. 53). Обозначим эту ветвь y arcctg x. Для этой функции справедлива

Теорема 16. Если y arcctg x, то yx 1 1 x2 или коротко:

arcctg x x 1/(1 x2 ).

Доказательство проводится по той же схеме, что и в случае теоремы 13.

§12. Функция, заданная параметрически,

иее дифференцирование

Даны две дифференцируемые функции

x t , y t . (27)

Аргумент t будем называть параметром, пусть он изменяется в интервале

указанной линии. Из первого уравнения (27) выразим t через x и получим

Таким образом, оказывается, что y зависит от x, т. е. y является функцией от x. К этой функции мы пришли, исходя из формул (27), следовательно,

ряемый в радианах. Этот угол счи-тается положительным, если он отсчитывается против хода часовой стрелки от оси Ox . Из рис. 55 видно, что

x r cos t, y r sin t.

Эти соотношения представляют собой параметрические уравнения окружности, так как при изменении t в интервале 0 t 2 точка M описывает полную окружность.

Теперь возьмем на плоскости Oxy эллипс с уравнением

представляют собой параметрические уравнения указанного эллипса. В самом деле, точка M x; y , координаты которой вычисляются по формулам

(30), лежит на эллипсе, так как её координаты (30) удовлетворяют уравнению эллипса (29). Кроме того, точка M при изменении t в указанном интервале описывает полный эллипс

(рис. 56).

Выведем теперь формулу для производной yx функции y от x, определяемой формулами (27).

Про-дифференцируем по x соотношение (28) и учтём, что в правой части (28) стоит сложная функция. Получим

§13. Дифференциал функции

иего применение в приближённых вычислениях

Дана функция y f x , которая дифференцируема в интервале a, b .

Пусть x – произвольная фиксированная точка этого интервала, тогда в этой точке существует производная f x . Это означает, что существует конечный

ный определённому числу, так как x – фиксированная величина. Значит (теорема 8 главы 4), эта функция может быть представима в виде суммы своего предела и бесконечно малой функции: y / x f x , где – бесконечно

малая функция (т. е. 0 при x 0 ). Отсюда, умножив обе части последнего соотношения на x, получим

при x 0 произведение f '( x) x есть бесконечно малая функция одного порядка с бесконечно малой функцией x, так как предел их отношения существует и не равен нулю. Ясно, что y также является бесконечно малой функцией одного порядка с бесконечно малой функцией x, так как предел их от-

конечно малые функции одного порядка с бесконечно малой функцией x. Второе слагаемое правой части этой формулы есть бесконечно малая функция более высокого порядка по сравнению с x , так как предел их отношения

Здесь x – приращение аргумента, которое выбирается нами независимо от x и может не быть бесконечно малой, но если x – бесконечно малая величина ( x 0 ), то дифференциал (34) есть также бесконечно малая величина одного порядка с x 0, как и приращение y, входящее в (33). Указанный дифференциал отличается от приращения y на величину x более высокого порядка малости, чем x. В этом случае говорят, что бесконечно малая dy явля-

дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому формулу (34) можно записать так:

Отсюда f x dy / dx. Таким образом, производная представляет собой отно-

шение дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Дифференциал функции dy при малых x отличается от приращения

функции y на величину x , значительно меньшую, чем x , и, следовательно, y dy . Последнее соотношение используется в приближенных вычислениях. Запишем его с учетом выражений для y, dy следующим образом: f (x x) f (x) f (x) x. Для примера запишем это соотношение для функции y sin x :

§ 14. Производные и дифференциалы высших порядков

Дана функция y f x , дифференцируемая в интервале a, b , т. е. в каждой точке этого интервала существует производная f x . Эта производная в

ществует. Получаемая производная называется производной третьего порядка и обозначается f x y yxxx yx3 d 3 y / dx3. Продолжив процесс, найдем производную любого порядка n от функции y f x . Обозначают эту произ-

ния представляет собой функцию от x, следовательно, от второго дифференциала в свою очередь можно найти дифференциал, если существует третья производная функции f (x) . В результате получим дифференциал третьего порядка, обозначаемый d 3 y. По аналогии с предыдущим будем иметь

d 3 y f x dx 3 . Продолжив процесс, найдём дифференциал любого порядка n , если у функции в интервале (a,b) существует производная n-го порядка:

117

5354.ru

d n y f n x dx n . В последней формуле в выражении dx n степень пишут без скобок, тогда d n y f n x dxn . Отсюда f n x d n y / dxn , т. е. n -я производная представляет собой отношение соответствующих дифференциалов.

118

5354.ru

ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ В ЗАМКНУТОМ ИНТЕРВАЛЕ. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

§ 1. Свойства функций, непрерывных в замкнутом интервале

Теорема 1. Если функция y f x непрерывна в замкнутом интервале

для всех x из a; b .

Дадим лишь геометрическое нестрогое доказательство этой и последу-

хотя бы одну общую точку с графиком функции. Абсциссы точек графика, общих с прямыми y M и y m, будут соответственно значениями x1, x2 аргумента x, в которых имеют место соотношения (1) и (2) для соответствующих значений функции.

ке x1, удовлетворяющее неравенству (1), называется наибольшим значением

119

5354.ru

факт связан с тем, что рассматриваемая функция непрерывна в полуоткрытом интервале (0,1], т. е. не выполнено условие теоремы 1 (о непрерывности функции в замкнутом интервале).

Теорема 2. Если функция y f x непрерывна в замкнутом интервалеa; b и на концах интервала принимает значения разных знаков, то в этом интервале найдется по крайней мере одна точка c (a c b), в которой значение функции обращается в нуль, т. е. f c 0.

Пусть, например, f (a) 0, f b 0, т. е. значение на левом конце отрицательно, а на правом положительно. Значит, точка A a, f a графика рассматриваемой функции лежит ниже оси Ox, а точка B b, f b лежит выше этой

оси (см. рис. 58).

Так как график непрерывной функции – сплошная линия, то он, соединяя точки A и B, пересекает ось Ox в некоторой точке c, следовательно, ордината точки пересечения f c 0.

120

5354.ru