SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

U1 U2 . . . Un . . . , V1 V2 ... Vn ...

также сходятся и имеют суммы, равные соответственно S S и S S .

Доказательство этой теоремы проводится по аналогии с предыдущей.

Теорема 4 (необходимый признак сходимости). Если ряд (1) сходится,

то его n -й член стремится к нулю при n , т. е. limUn 0.

n

Доказательство. Сходимость ряда (1) означает, что существует конечный

предел lim Sn S. В последней формуле n - величина, принимающая целые

n

значения и стремящаяся к бесконечности. Таким же свойством обладает и n 1, следовательно, в последней формуле n можно заменить на n 1, и тогда

lim Sn 1 S. Последнее соотношение почленно вычтем из предыдущего, учтем,

n

что разность пределов в левой части равна пределу разности, и получим

lim Sn Sn 1 0. Но согласно (3) разность под знаком предела равна Un . Итак,

n

limUn 0. Теорема доказана.

n

Следствие (достаточный признак расходимости числового ряда). Если n -й член ряда не стремится к нулю при n , то ряд расходится.

В самом деле, если бы этот ряд сходился, то его n -й член стремился бы к нулю при

Утверждение, обратное утверждению теоремы 4, вообще говоря, не справедливо, т. е. нельзя утверждать без оговорок, что если n -й член ряда стремится к нулю при то ряд сходится. Сказанное видно на примере так называемого гармонического ряда 1 1/ 2 1/ 3 . . . 1/ n . . . , n -й член которого 1n 0 при n . Но этот ряд расходится, как будет показано в дальнейшем.

§3. Признаки сравнения рядов

Даны два ряда с положительными членами

воря, каждая последующая частичная сумма ряда (10) больше предыдущей.

и ряд (11) сходится, то ряд (10) тоже сходится.

Доказательство. Из формул (12), (13) с учётом неравенств (14) получим Sn Sn для всех n 1, 2, . . . (15)

По условию ряд (11) сходится. Значит, существует конечный предел lim Sn S.

n

Но Sn есть возрастающая функция от n. Таким образом, Sn стремится к пре-

пределов, любая возрастающая ограниченная функция имеет конечный пре-

зом, члены ряда (16) меньше соответствующих членов ряда (17), но последний ряд сходится, так как представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 12. По теореме 1 ряд (16) также сходится.

Теорема 6. Если члены рядов (10), (11) удовлетворяют неравенствам

Un Vn для всех n 1, 2, . . . (18)

и ряд (11) расходится, то ряд (10) тоже расходится.

312

5354.ru

Доказательство. Из формул (12), (13) с учётом неравенства (18) получим

при n (является неограниченной). В самом деле, если бы величина Sn была ограниченной функцией от n, то она как возрастающая функция имела бы конечный предел. Теперь из формулы (19) видно, что Sn при n .

Иначе говоря, lim Sn . Это означает, что ряд (10) расходится. Теорема дока-

n

зана.

Пример 2. Возьмём два ряда

ны ряда (20) больше членов ряда (21), начиная со второго. При этом ряд (21), как отмечалось, расходится и, следовательно, согласно теореме 6 ряд (20) также расходится.

§4. Признак Даламбера

Теорема 7 (признак Даламбера). Если для ряда (1) с положительными членами существует конечный предел

то ряд сходится при l 1 и расходится при l 1 (при l 1 теорема ответа не даёт).

Тогда выражение (22) примет вид lim xn l.

n

Рассмотрим первый случай, когда l 1. Возьмём произвольное число q, l q 1, тогда 0 q l. Так как величина xn при n имеет предел, равный l, то для выбранного нами числа 0 q l, согласно определению предела xn при n , найдётся такое натуральное число N, что для всех n N будет выполняться неравенство xn l q l. Поскольку любое число меньше или равно

313

5354.ru

своей абсолютной величине, предыдущее неравенство можно переписать так: xn l xn l q l или xn q. Отсюда с учётом (23) имеем Un 1 Un q. Умножив последнее неравенство на положительное число Un , получим Un 1 qUn . Это неравенство, как и предыдущее, имеет место для всех n N. Итак, для всех

Перепишем исходный ряд (1), выделив в нём первые N членов:

U1 U2 ... UN UN 1 UN 2 ... Un ...

Теперь запишем ряд, полученный из последнего отбрасыванием первых N членов:

Тогда согласно теореме 5 будет сходиться ряд (25), так как его члены в силу (24) меньше соответствующих членов сходящегося ряда (26). Но тогда по теореме 1 сходится исходный ряд (1), который отличается от сходящегося ряда (25) только конечным числом N первых членов.

Докажем вторую часть теоремы. Пусть предел l 1, тогда согласно определению предела для числа l 1 0 найдётся такое натуральное число N, что

или Un 1 Un . Это неравенство, как и предыдущее, справедливо для всех n N. Отсюда видно, что начиная с номера N , каждый последующий член ряда (1) больше предыдущего. Это означает, что при n величина Un не стремится

314

5354.ru

к нулю, так как Un с увеличением n растёт, начиная с номера N. Согласно достаточному признаку расходимости ряд (1) расходится. Теорема доказана.

Пример. Дан ряд 5/1 52 / 2 53 / 3 . . . 5n / n . . . Имеем

Un 5n / n, Un 1 5n 1 /(n 1), Un 1 /Un 5n /(n 1).

Возьмём предел последней дроби, учитывая, что за знак предела можно вынести постоянный множитель 5, а затем раскрыть неопределенность типа/ , разделив под знаком предела на n числитель и знаменатель полученной дроби:

Итак, l 5 1, поэтому согласно теореме 7 ряд расходится.

§5. Радикальный и интегральный признаки Коши

Теорема 8 (радикальный признак Коши). Если для ряда (1) с положи-

тельными членами существует конечный предел l lim n Un , то ряд сходится

n

при l 1 и расходится при l 1.

Теорема доказывается аналогично предыдущей и при l 1 ответа не даёт.

следовательно, ряд сходится.

Теорема 9 (интегральный признак Коши). Пусть члены ряда (1) поло-

Тогда:

если сходится несобственный интеграл 1 f (x)dx, то сходится ряд (1);

если указанный несобственный интеграл расходится, то ряд (1) расходится.

315

5354.ru

Доказательство. На рис. 169 изображён график функции y f x . Точки графика функции y f x с абсциссами 1, 2, 3, . . . , n, n 1, . . . имеют ординаты, равные соответственно U1, U2 , . . . , Un , Un 1, . . . в силу равенств (27). Определённый интеграл

моугольники, высоты которых равны соответственно U1, U2 , . . . , Un . Получим ступенчатую фигуру, площадь которой обозначим S0 . Эта площадь равна

На интервалах 1, 2 , 2, 3 , . . . , n, n 1 как на основаниях построим прямоугольники, высоты которых равны соответственно U2 , U3, . . . , Un 1. Полу-

316

5354.ru

Как видно из рис. 169, S0 Sкр. тр. , Sb Sкр. тр.. С учетом (28) – (30) для площадей получим

сумма Sn этого ряда есть возрастающая функция от n и поэтому Sn Sn 1. Отсюда и из предыдущего неравенства будем иметь

Вернёмся к теореме и докажем первую ее часть. По условию несобственный интеграл 1 f (x)dx сходится. Это означает, что существует конечный предел

Интеграл с переменным верхним пределом n 1 есть возрастающая функция

растающая функция от n . Таким образом, существует конечный предел

lim Sn S. Это означает, что ряд (1) сходится. Первая часть теоремы доказана.

n

Докажем вторую часть теоремы. Дано, что несобственный интеграл1 f (x)dx расходится. Это означает, что не существует конечный предел (33).

При этом обязательно функция 1n 1 f x dx и является неограниченной

(если бы эта функция была ограниченной, то она имела бы конечный предел). Но тогда из (31) следует, что Sn при n . Это означает, что ряд (1) расходится. Теорема доказана.

ходится. Это означает, что гармонический ряд расходится.

§6. Знакочередующиеся ряды

Пусть U1, U2 , . . . , Un , . . . – положительные числа. Ряд вида

называется знакочередующимся рядом. Для этого ряда имеет место

Теорема 10 (Лейбница). Если для ряда (34) выполнены следующие усло-

ложительна и меньше первого члена ряда.

Доказательство. Запишем сумму первых n 2m членов ряда (34):

S2m U1 U2 U3 U4 . . . U2m 3 U2m 2 U2m 1 U2m . (35)

В силу условий теоремы все разности, стоящие в скобках в правой части формулы (35), положительны, следовательно, сумма S2m положительна. Кро-

ме того, S2m состоит из положительных разностей, поэтому с увеличением числа 2m увеличивается число этих положительных разностей в правой части

пока мы не можем сказать, что ряд (34) сходится, так как рассмотрели только

318

5354.ru

его чётные частичные суммы. Необходимо рассмотреть ещё и нечётные частичные суммы этого ряда.

В соотношении S2m 1 S2m U2m 1. перейдём к пределу при 2m и учтём, что предел правой части равен сумме пределов слагаемых, поэтому

Первый предел справа равен S, а второй предел равен нулю в силу условия

Таким образом, и четная, и нечётная частичные суммы ряда (34) имеют один и тот же конечный предел, а это значит, что этот ряд сходится.

Теперь покажем, что сумма сходящегося ряда меньше U1. Учитывая (35), при 2m 4 получим U1 U2 S2m U1 (U2 U3 ). В этом соотношении перейдём к пределу при 2m , но как известно из теории пределов, при переходе к пределу в неравенстве предельное неравенство может содержать и знак равен-

Умножив ряд (34) на 1, получим знакочередующийся ряд с первым отрицательным членом. Сумма его будет отрицательной и большей первого члена.

положительна и меньше единицы.

§7. Знакопеременные ряды

Числовой ряд U1 U2 U3 ... Un ... называется знакопеременным, если

среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Ясно, что знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного, когда в последнем знаки членов чередуются.

319

5354.ru

Теорема 11 (достаточный признак сходимости знакопеременного ря-

Тогда, если сходится ряд (36), то сходится и исходный знакопеременный ряд.

Доказательство. Пусть Sn и Sn - частичные суммы указанных выше рядов, т. е.

Пусть Sn – сумма положительных слагаемых в правой части формулы (37). Ясно, что эта сумма равна также сумме абсолютных величин этих положительных слагаемых выражения (37). Пусть Sn – сумма абсолютных величин отрицательных слагаемых в правой части формулы (37). Ясно, что величинаSn равна сумме отрицательных слагаемых формулы (37), поэтому

Ряд (36) сходится согласно условиям теоремы, а это означает, что существует

ных слагаемых. С увеличением числа n число этих слагаемых растёт, значит, Sn есть возрастающая функция от n. Таким образом, Sn , возрастая, стремится к пределу S, поэтому Sn остаётся всегда меньше своего предела, т. е.

Согласно (40) Sn и Sn – положительные слагаемые, составляющие Sn . Ясно, что каждое из этих слагаемых меньше либо равно Sn , т. е. Sn Sn и Sn Sn . С учётом (41) получим Sn S и Sn S для всех n, т. е. Sn и Sn – ограниченные функции от n. Но они являются, кроме того, возрастающими функциями, так как состоят из положительных членов. С ростом числа членов Sn и Sn возрастают. Таким образом, Sn , Sn суть возрастающие ограниченные функ-

320

5354.ru