SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

Другая критическая точка (0,0) исследуется аналогично. Она не является точкой экстремума.

§ 16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области

Пусть в конечной области D с границей L плоскости Oxy задана непрерывная функция z f x, y и найдены значения функции в ее критических точках, лежащих в области D. Эти значения обозначим z1, z2 , ..., zn . Аналогич-

но случаю функции одного аргумента рассматриваемая функция своё наибольшее и наименьшее значения в области D может принять в точках её границы L. Поэтому при нахождении указанных значений надо рассматривать также значения функции в точках границы L области D и среди последних выделить наибольшее и наименьшее значения, которые обозначим соот-

ветственно M L , mL . С учетом теоремы 1 § 6 настоящей главы заключаем, что наибольшее значение функции z f x, y в замкнутой области D будет равно наибольшему из чисел z1, z2 , ..., zn , M L , а наименьшее значение – наименьшему

из чисел z1, z2 , ..., zn , mL .

Нахождение значений ML и mL сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одного аргумента.

174

5354.ru

Эти числа находятся известным нам способом (§ 2 главы 7). Ясно, что mL есть наименьшее из чисел mL1 , mL2 , а ML – наибольшее из чисел M L1 и M L2 .

Аналогично поступаем в случае, когда кривую L можно разбить на части указанного вида, число которых больше двух.

Пример. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 y2 в круге, ограниченном окружностью x2 y2 1.

Как уже отмечалось, эта функция, график которой изображен на рис. 96, не имеет экстремумов, так как ее единственная критическая точка (0,0) не яв-

ляется точкой экстремума (см. § 14). Следовательно, наибольшее и наименьшее значения она принимает в точках границы –

Эти уравнения определяют две полуокружности, из которых состоит исход-

эта функция принимает в точках второй полуокружности. Следовательно, достаточно найти наибольшее и наименьшее значения функции z 2x2 1 в интервале 1 x 1. Ее производная z 4x обращается в нуль при x 0, это единственная критическая точка рассматриваемой функции в интервале [ 1,1]. Она является точкой минимума согласно теореме 5 § 3 главы 7, так как z 4 0. Минимальное значение функции равно z |x 0 1. Ясно, что значения функции z 2x2 1 на концах интервала [ 1,1], равные 1, являются ее наибольшими значениями. Итак, наибольшее и наименьшие значения функции z x2 y2 в круге x2 y2 1 равны соответственно 1 и 1.

§ 17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Прямая называется касательной к поверхности в точке P x, y, z этой по-

верхности, если указанная прямая является касательной в точке P к какойлибо линии, лежащей на поверхности и проходящей через точку P. Так как

175

5354.ru

через точку P проходит бесчисленное множество линий, лежащих на поверхности, то ясно, что касательных прямых к поверхности в точке P бесчисленное множество. В связи с этим докажем следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть в пространстве Oxyz поверхность задана уравнением

и точка P с координатами x, y, z этой поверхности такова, что вычисленные в ней частные производные F / x, F / y, F / z от левой части уравне-

ния (39) не обращаются в нуль одновременно. Тогда все касательные прямые к поверхности в точке P лежат в одной плоскости.

(здесь t – параметр). От параметрических уравнений L перейдём к векторному уравнению r r(t), где r xi y j zk,

щей выбранному значе-нию параметра t, есть вектор с началом в точке P, направленный по касательной к линии L. Будем считать, что кривая L вы-

брана так, что r t 0. С другой стороны, вычислим частные производные от левой части уравнения (39) для точки P. Построим вектор N с началом в точ-

кривая L лежит на поверхности, поэтому координаты любой её точки, определённые по формулам (40), удовлетворяют уравнению (39), т. е. для всех t F x t , y t , z t 0. Это соотношение продифференцируем по t , учитывая,

176

5354.ru

что левая часть – сложная функция, в которой F – функция трёх переменных. Поэтому

лы равна нулю. Итак, скалярное произведение (N , r (t)) 0, а поскольку длины

образом, любая касательная прямая к поверхности перпендикулярна векторуN. Это означает, что все касательные прямые к поверхности в точке P перпендикулярны N – одному и тому же вектору. Следовательно, все касательные прямые лежат в одной плоскости. Теорема доказана.

Указанная плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке P. Мы показали, что вектор N с началом в точке P, проекции которого F / x, F / y, F / z суть частные производные, вычисленные в точке P,

есть вектор, перпендикулярный к касательной плоскости поверхности в точке P, т. е. является нормальным вектором этой плоскости.

Прямая, проходящая через точку P и перпендикулярная к касательной плоскости в ней, называется нормалью к поверхности в точке P.

§18. Уравнение касательной плоскости и нормали

кповерхности

Пусть поверхность задана уравнением (39) и P0 x0 , y0 , z0 – фиксированная точка этой поверхности, т. е. её координаты x0 , y0 , z0 – заданные числа. Вычислим частные производные F x , F y , F z и найдём их значения в точке

P0 :

177

5354.ru

Получили определённые числа, которые являются проекциями нормального

В качестве примера возьмём сферу с центром в начале координат и урав-

Решение данной задачи до конца предлагается довести самостоятельно.

§ 19. Производная по направлению

178

5354.ru

ра PP1 на оси координат равны разностям координат конца и начала этого вектора:

С другой стороны, проекции этого вектора равны его длине умноженной

ванная ось, т. е. , – фиксированные величины. Пусть изменяется только

Мы знаем, что для полного приращения функции трёх переменных справедливо представление

Ux x, y y, z z U x, y, z

U x U y U z 1 x 2 y 3 z,x y z

где 1, 2 , 3 – бесконечно малые функции, стремящиеся к нулю, когда x 0,y 0, z 0 одновременно. Это представление получено в предположении,

179

5354.ru