Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

Точка

M с абсциссой x

кривой

y f x

имеет ординату

f x , а ордината

точки

равняется

f x x .

Тогда

разность

этих

ординат есть

f x x f

x y – приращение функции,

соответствующее приращению

x и

вычисляемое для точки x ,

причем

lim( y / x) yx .

Из треугольника

x 0

MKM1 , у которого сторона KM1 y,

получаем MM1 2

x 2

y 2 . Это от-

ношение разделим на x 2 и получим MM1 2

/ x 2

1 y 2

/ x 2 . Отсюда

y 2

(2)

Будем считать, что кривая с уравнением y f x такова, что функция y f x имеет непрерывную производную f x . Можно показать, что для такой кривой (принимается без доказательства) имеет место условие

lim	MM1	1.	(3)
s 0	s
M1 M

Иначе говоря, предел отношения длины хорды MM1 , стягивающей дугу с длиной s , к длине s этой дуги равен 1. В соотношении (2) перейдём к пределу, когда M1 M и x 0. Учтём, что слева предел произведения равен

произведению пределов. Справа предел суммы равен сумме пределов и предел квадрата (произведения) равен квадрату (произведению) пределов. В итоге имеем

	lim	MM	1	2			s 2			y 2
	lim	s	1		lim			1 lim		.
M1 M		s				x 0	x		x 0	x

Слева первый предел согласно (3) равен 1, а второй предел равен s x со-

гласно (1). Справа предел равен y x . Значит, s	x 2 1 y x 2 ,	т. е.
s x	1 yx 2 .	(4)

Получили формулу для вычисления производной длины дуги кривой s s x , когда эта кривая задана уравнением y f x .

§ 2. Кривизна кривой на плоскости

Пусть на плоскости Oxy задана кривая. Возьмем на ней дугу		и в точ-
	MM1

ках M , M1 проведём касательные к кривой (рис. 77). Угол , на который по-

141

5354.ru

ворачивается касательная к кривой в точке M1 , когда точка M1 стремится к


точке M , называется углом смежности дуги MM1. Отношение угла смежно-
сти
сти	к длине дуги MM1
			(5)
	MM1		(5)
характеризует искривленность дуги			данной дли-
характеризует искривленность дуги		MM1	данной дли-
ны.
	В самом деле, чем больше дуга		искривлена,	Рис. 77
	В самом деле, чем больше дуга	MM1	искривлена,	Рис. 77

тем больше угол смежности и тем больше отношение (5). Например, для


дуги
дуги	M M1	той же длины, что и дуга MM1	, угол смежности , так как дуга


M M1	искривлена больше, чем исходная дуга, и			/ M M1	/ MM1. Но нас инте-


ресует искривлённость не всей дуги MM1, а искривлённость кривой в точке
M . Ясно, что чем ближе точка M1 к точке M , тем лучше отношение (5) ха-
рактеризует искривлённость кривой в точке M . Ясно также,	что искривлён-
ность кривой в точке M наиболее полно характеризует предел отношения (5),
когда M1 M. Этот предел называют кривизной кривой в точке M и обозна-
чают K . Итак,
	(6)
K lim [ / MM1 ].
M1 M

Легко показать, что кривизна окружности радиуса R в любой её точке равна числу 1R. Теперь получим формулу для вычисления кривизны кривой.

Пусть	на	плоскости	Oxy	задана	кривая
y f x (рис.		78) и функция f x		имеет вторую
производную. В точке M этой кривой с абсцис-
сой x требуется вычислить кривизну K этой кри-
вой. Пусть на рассматриваемой				кривой	M 0	–
фиксированная точка, а M – переменная точка с
абсциссой	x.	Длину дуги
абсциссой	x.	Длину дуги	M0M обозначим s x .					Рис. 78
								Рис. 78
На кривой возьмём точку M1 с абсциссой x x.						Длина дуги
На кривой возьмём точку M1 с абсциссой x x.						Длина дуги		M0M1 s x x .
				s x s, где s			– приращение функции
Поэтому длина дуги MM1 s x x				s x s, где s			– приращение функции
s x в точке		x , соответствующее приращению				x.	Поэтому	lim ( s / x) sx .
								x 0
Известно,	что вычисленная в точке x производная						yx f ( x)	равна тангенсу

142

5354.ru

угла , образованного с осью абсцисс касательной к кривой в её точке M с абсциссой x. Ясно, что этот угол будет изменяться с изменением абсциссы x точки M . Это значит, что есть функция от x , которую обозначим x . В

точке кривой M1 с абсциссой x x

этот угол будет равен

x x . Ясно, что

разность x x x

– приращение функции x

в точке x,

соответ-

ствующее приращению x.

Поэтому

lim[ / x] x .

(7)

x 0

Из треугольника N1N2 N3 (см. рис. 78), образованного вышеука-занными каса-

тельными и осью Ox , видно, что x x x

– угол между касатель-

ными, следовательно, есть угол смежности дуги

длина которой рав-

MM1,

на s.

Поэтому согласно формуле

(6) (в которой

нужно заменить на

)

для K – кривизны кривой в точке M – имеем

] lim[ / s]. В

K lim [ / MM1

M1 M

x 0

s 0

правой

части

и числитель,

знаменатель поделим

на

получим

K lim

x .

Предел отношения равен отношению пределов, поэтому

x 0

s x

s 0

K ( lim x) / lim s x.

x 0

Согласно (7) предел числителя равен x ,

а предел знаменателя равен sx .

Сле-

довательно,

K x / sx . .

(8)

Но tg yx , следовательно, arctg yx .

Возьмём отсюда производную по x,

при этом учтём, что правая часть – сложная функция от x.

Имеем

yxx

yx 2

1 yx 2

Это выражение подставим в числитель (8), а в знаменатель запишем выражение (4) вместо sx . Тогда

yxx	(9)
K 1 yx 2 3 2 .

Эта формула позволяет вычислить кривизну кривой в её точке M с абсциссой x, когда кривая задана уравнением y f x . Сказанное относится к любой

143

5354.ru

точке M , т. е. в каждой точке кривой будет своя кривизна K – функция от x

– абсциссы точки M .		Иногда кривизну K считают величиной положительной
и в формуле (9) берут абсолютную величину правой части,
принимая, что в исходной формуле (6) угол смежности бе-
рётся без знака. Например, пусть			y x2 ,		yx 2x, yxx 2.	Фор-
мула (9) даёт K 2 1 2x 2 3 2 . Эта формула определяет кри-
визну параболы с уравнением y x2 (рис. 79) в любой её точке
M с абсциссой x. Например, в начале координат (0.0) кривиз-							Рис. 79
на K 2.

§ 3. Радиус, центр и круг кривизны кривой на плоскости
Пусть в плоскости Oxy задана кривая с урав-
нением y f x , причем функция			f x	имеет вто-
рую производную (рис. 80). Для этой кривой по
формуле (9) найдем кривизну в точке M с абсцис-
сой x. Будем считать, что K 0.
Радиусом кривизны этой кривой в точке M
называется	число,	обозначаемое	R	и	равное	Рис. 80
R 1/ K, где K – только что найденная кривизна.

В точке	M проведём нормаль (прямую, перпендикулярную к касатель-
ной) в сторону вогнутости кривой. На этой нормали отложим отрезок MC R.
Точка C называется центром кривизны кривой y f x						для её точки M . Круг
радиуса R с центром в точке C называется кругом кривизны этой кривой для
точки M . Ясно, что для каждой точки				M будут свои радиус, центр и круг
кривизны, т. е. с изменением положения точки M они изменяются.

144

5354.ru

0; 0; 0 .

§ 4. Параметрические и векторное уравнения линии в пространстве

Пусть	в пространстве	Oxyz задана	точка
M x; y; z	(рис. 81), а ее координаты представляют
собой заданные функции некоторого аргумента t –
параметра, т. е.
	x x t , y y t ,	z z t .	(10)
С изменением t значения этих функций изменяют-

ся, следовательно, изменяются координаты x, y, z Рис. 81 точки M , и эта точка описывает некоторую линию в пространстве. Соотно-

шения (10) называются параметрическими уравнениями этой линии. Каждое
из уравнений (10) умножим соответственно на базисные векторы i,
	j,	k и
сложим. Получим
xi y j zk x t i y t j z t k.		(11)
Левую и правую части этого соотношения обозначим
r xi y j zk.		(12)
r t x t i y t j z t k.		(13)
Тогда соотношение (11) запишется так:
r r t .		(14)

Формула (14) называется векторным уравнением рассматриваемой кривой. Как видно из (12) и (13), выражение (14) есть радиус-вектор точки M ,

начало которого всегда совпадает с началом координат, а его конец – точка M – описывает вышеуказанную линию.

Пример (винтовая линия). Пусть в системе координат Oxyz задан круговой цилиндр с образующими, параллельными Oz. Его направляющей служит расположенная на плоскости Oxy окружность радиуса a с центром в начале координат Пусть M x; y; z – произвольная точка цилиндра. Через неё проведём образующую, пересекающую плоскость Oxy в точке P. Пусть t есть угол, образованный радиусом OP с осью Ox. Этот угол отсчитывается от Ox и считается положительным, когда отсчёт ведётся против хода часовой стрелки,

145

5354.ru

если смотреть навстречу оси Oz, и этот угол считается отрицательным, если он отсчитывается в противоположном направлении.

Как видно из рис. 82, координаты точки P определяются формулами

x a cos t,	y a sin t. Такими же будут абсцисса и ордината точки M .	Пусть ап-
пликата z	точки M выражается формулой z ht /(2 ), где h – заданное поло-
жительное число.
Итак, координаты точки M определяются формулами
	x a cos t, y a sin t, z ht /(2 ).	(15)

Ясно, что положение точки M зависит от значения t. При t 0 точка M совпадает с точкой P и находится на оси Ox. С увеличением t точка P движется по окружности, а точка M , находясь с ней на одной

образующей, движется по цилиндрической поверхности, поднимаясь вверх. При t 2 точка M окажется на плоскости Oxz на высоте z h. Эта линия называется винтовой. При неограниченном увеличении t точка M поднимается вверх, а когда t принимает отрицательные значения и стремится к ,

точка	M винтовой линии уходит неограниченно вниз.	Рис. 82

Ясно, что (15) представляют собой параметрические уравнения этой винтовой линии. Поступая, как ранее, запишем векторное уравнение винтовой линии в виде (14), где

			h
r	t a cos ti	a sin t j		tk.
r	t a cos ti	a sin t j	2	tk.
			2

§ 5. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента

Введённое выше выражение

r t x t i y t j z t k

(16)

называется векторной функцией скалярного аргумента t. Пределом функции

(16) при t t0 , где t0 – заданное число, называется вектор, определяемый формулой

lim r t lim x t		i lim y t	j lim z t k.	(17)
t t0	t t0	t t0	t t0

146

5354.ru

И в дальнейшем пределы берутся при t t0 , но это условие для простоты за-

писи будем опускать.			Длина вектора в формуле	(17) равна
	lim r t	lim x t 2 lim y t 2	lim z t 2 . Но квадрат предела	равен пределу

квадрата, и под корнем мы получим сумму пределов квадратов, которая равна пределу суммы. Поэтому имеем

lim r t	lim x t 2	y t 2	z t 2 .

В свою очередь, знаки корня и предела можно переставить, так как квадратный корень – непрерывная функция своего аргумента. В правой части после

перестановки

знаков

корня и предела под знаком предела

получим

x t 2 y t 2

z t 2 ,

а это есть ни что иное, как длина вектора r t форму-

лы (16), т. е.

r t

. Итак, имеем

lim

r t

lim r t

(18)

Начало векторной функции r t всегда будем помещать в начале координат Oxyz. Тогда при изменении t эта векторная функция изменяется по длине и направлению, и конец этой векторной функции (точка M ) в системе координат Oxyz описывает некоторую линию. Каждому значению параметра t отвечает определённый вектор r t с концом M , координаты которой равны проекциям вектора r t на оси координат, т. е.

x x t , y y t , z z t . (19)

Наряду с указанным выше значением параметра t возьмём новое его значение t t. Этому значению на кривой отвечает точка M1 , радиус-вектор

		которой есть r t t	(см. рис. 83). Ясно, что
		r t t x t t i y t t j z t t k . Обозначим
		r r t t r t ,	x x t t x t ,
Рис. 83		y y t t y t , z z t t z t .
Рис. 83	j zk.
Тогда r xi y	j zk.	Этот вектор умножим на число, равное 1 t , и пе-
рейдём к пределу при t		0 :
		5354.ru	147
		5354.ru

(20)

lim

j lim

t 0

Но x, y, z – приращения функций x t , y t ,

z t , поэтому пределы от-

ношений правой части (20) равны соответственно xt ,

yt , zt

по определению

производной. Таким образом,

lim

xt i yt j zt k.

(21)

t 0

Левую часть этой формулы назовём производной от векторной функции

r t

из (16) и обозначим

(22)

rt r t

lim

r .

t 0

Теперь (21) можно записать в виде

(23)

(t)i y (t) j z (t)k.

Эта формула определяет производную от векторной функции r t , заданной (16). Выясним геометрический смысл этой производной. Предположим, что

t 0.	Тогда точка			M1	с радиус-вектором r t t			отвечает большему значе-
нию	t t параметра				по сравнению	с точкой M . Значит,					показанный на
рис. 83		вектор
рис. 83		вектор	MM1 направлен в сторону возрастания параметра t. Имеем
			t
MM1 r		t t r	t	r. Этот вектор умножим на положительное число 1 t и
получим
											(24)
						r / t	MM1	/ t MN.			(24)
Согласно правилу умножения вектора на число,											направлен как
Согласно правилу умножения вектора на число,								вектор MN			направлен как
вектор										что этот вектор
вектор		MM1 и отличается от него только длиной. Заметим,								что этот вектор
направлен по секущей MM1 в сторону возрастания t.									В формуле (24) перей-
дём к пределу при						lim		Левая часть этой формулы
дём к пределу при				t 0 : lim( r / t)		lim	MN.	Левая часть этой формулы
					t 0	t 0, M1 M
согласно (22) есть производная r t ,								t	lim
согласно (22) есть производная r t ,						поэтому r		t	lim		MN. Как было
									t 0, M1 M
									в сторону возрастания
замечено выше, вектор MN направлен по секущей MM1									в сторону возрастания

t. В пределе эта секущая займёт положение касательной к кривой в точке M ,

148

5354.ru

поэтому				есть вектор, направленный по касательной к кривой в
поэтому	r t	lim MN		есть вектор, направленный по касательной к кривой в
		M1	M

её точке M в сторону возрастания параметра t.

Начало вектора r t условимся помещать в точке M . Отметим, что так как рассматриваемую кривую описывает конец вектора r t , то векторное уравнение этой кривой имеет вид

r r t ,

(25)

а соотношения (19) представляют собой параметрические уравнения линии.

Правила дифференцирования векторной функции. Пусть даны две диффе-

ренцируемые векторные функции r1 r1 t , r2 r2 t , т. е. функции, которые

имеют производные, вычисляемые по формуле (23). Для них справедливы формулы

;

, r2

r1 r2

r2 .

Эти соотношения устанавливаются непосредственной проверкой.

§ 6. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для пространственной кривой

Пусть в пространстве Oxyz задана кривая параметрическими уравнениями (19) (рис. 84). Поступая, как и выше, от (19) перейдём к векторному уравнению (25) этой кривой, в котором r t выражается

формулой (16).

Пусть M 0 x0 , y0 , z0 – фиксированная точка кривой, отвечающая заданному значению параметра


Рис. 84	t t0 , t0 – заданное число. По этому числу найдем

координаты точки M 0 , подставив t t0 в формулу (19): x0 x t0 , y0		y t0 ,
z0 z t0 . Это будут известные нам числа. По формуле (23) вычислим		r t –

производную векторной функции (16). Подставив значение t t0 , отвечающее

точке M0 , найдём вектор r t0 x t0 i y t0 j z t0 k, направленный по касательной к кривой в точке M 0 . Проекции этого вектора x t0 , y t0 , z t0 – известные числа. Зная проекции этого вектора, лежащего на касательной, и ко-

149

5354.ru

ординаты точки M 0 касательной, запишем канонические уравнения этой касательной

x x	y y	0	z z	0	.	(26)
0
x t0	y t0		z t0

Плоскость, проходящая через точку M 0 перпендикулярно к касательной рассматриваемой кривой, называется нормальной плоскостью для этой кривой в точке M 0 . Зная координаты точки M 0 и проекции нормального вектора

r t0 для этой плоскости, получим уравнение этой нормальной плоскости:

x t0 x x0 y t0 y y0 z t0 z z0 0.

150

5354.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.05.2015371.27 Кб10rulturologiy 2.pdf
#
14.11.2018293.89 Кб4russkij-yaz.-egye-chast-s-yenciklopediya.doc
#
17.03.2016150.23 Кб9rutrvar56.pdf
#
17.03.2016311.15 Кб4ryady_metod_ukazaniya_kgasu_5354.pdf
#
12.05.20153.88 Mб42SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web.pdf
#
12.05.20153.69 Mб71SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web.pdf
#
11.05.2015988.67 Кб44Sbornik_testov_s_otvetami_marketing.doc
#
12.05.20159.79 Mб13SGH_i900_service_manual-spaces_ru.pdf
#
12.05.2015526.35 Кб48Shavali_Burova_109_13.pdf
#
11.05.2015710.66 Кб23Shpargalka_po_pravookhranitelnym_organam.doc
#
27.09.2019520.19 Кб15shpora1.doc