SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

точки этой плоскости имеют одну и ту же

абсциссу x. Пусть x, y – координаты точки

P, а точка P1 имеет координаты

x, y y .

Рассмотрим случай, когда y 0.

В точке

P x, y

найдём значение заданной функции

f x, y .

Это значение равно PM – расстоя-

нию от точки P до точки M поверхности.

Значение f x, y y

заданной функции в

Рис. 93

точке P1 равно P1M1 – расстоянию от точки P1 до точки M1 поверхности. Раз-

ность этих значений

f x, y y f x, y y z

есть частное приращение функ-

ции z f x, y в точке P x, y ,

соответствующее приращению y. Это значе-

ние равно расстоянию KM1.

y z / y tg .

(10)

При y 0 точка M1 стремится к точке M по кривой ly ,

секущая MM1

стре-

мится к положению касательной MT

к кривой ly в точке M и стремится к

– углу, образованному этой касательной с прямой PP1,

т. е. с осью Oy. Пе-

рейдя в (10) к пределу при y 0 , получим

lim

y z

lim tg .

(11)

y

y 0

y 0

Но tg – непрерывная функция при

0 / 2 , поэтому lim tg tg . Подста-

Дана функция двух переменных z f x, y . Будем считать, что она имеет

непрерывные частные производные fx' x, y и f y' x,

y

в точке x, y .

Мы зна-

ем, что полное приращение определяется формулой

z f x x,

y y f x, y .

(12)

В правой части этой формулы прибавим и вычтем f

x, y y . Получим

z

f x x, y y f

x, y y

f x, y y f x, y

. (13)

Разность f x, y y f x, y двух значений функции

f x, y при одном и том

же x

можно записать по формуле Лагранжа для функции одной переменной в

виде

f b f a f c b a , a c b, считая в нашем случае b y y, a y.

Кроме того, вместо

f c

мы должны взять частную производную f y'

в точке

лежащей между

и y

y.

Получим

y

,

y

f x,

f x, y y f x, y

y

y.

(14)

y

Здесь

– точка, лежащая между x

и x x.

Это выражение и выражение (14)

x

подставим в (13), будем иметь

f

, y y

f x,

z

x

x

y

y

(15)

x

y

При

x

0, y

0 очевидно

x

x

x, y

y

y,

поэтому

x

и

x

y y.

lim

f x, y y

f x, y

,

lim

f x, y

f x, y

.

x

x

y

x x

y y

y

y y y

f x x, y y f x, y

f x, y

x

f x, y

y.

x

y

Эта

формула позволяет вычислить

приближённое значение функции

f x, y

в «новой» точке x x, y y ,

зная значения самой функции и ее

частных производных в «старой» точке x, y .

Запишем последнюю формулу

для функции z f x, y x y :

z F U , V ,

(20)

в которой аргументы U, V в свою очередь являются функциями переменных

x, y, т. е.

U x, y , V x, y .

(21)

z F x, y , x,

y .

(22)

Иначе говоря, z

является сложной функцией от x, y . Нужно найти частные

производные zx ,

zy этой функции, не выражая z через x, y,

т. е. не переходя к

там. Пусть y const

а изменяется только x и получает приращение x. Тогда

функции U x, y ,

V x, y получают частные приращения

z

U

U

z

U

U

x

e

sinV y e

cosV 2x,

y

e

sinV x e

cosV 2 y.

z F U , V ,

U x ,

V x .

(27)

Здесь U , V – функции одного аргумента x,

поэтому в конечном счёте z

тоже

няют силу), но только производные по x

от U ,

V , z будут не частными, а

обычными производными. В результате будем иметь

dz

F U, V

dU

F U, V

dV .

(28)

dx

V

U

dx

dx

Пусть в (27) U x, т. е.

z F x, V , V x .

(29)

Пример 2. Дана функция

z x2 eV , V cos x.

По формуле

(30) имеем

dz / dx 2x eV ( sin x) 2x ecos x ( sin x).

Если z F U1, U2 ,..., Un , U1

1 x ,

U2 2 x , … , Un n x ,

то, поступив

аналогично предыдущему, придём к формуле

dz

F

dU1

F

dU2 ...

F

dUn .

U2

Un

dx

U1

dx

dx

dx

Дано соотношение

F x, y 0,

(31)

в котором F x, y есть известное выражение, содержащее x, y.

Это соотноше-

ние определяет неявную функцию y x .

Нужно найти производную yx

этой функции. Запишем соотношение (31),

обозначив левую часть через t :

z

Fx x, y, z

,

z

Fy x, y, z

.

(37)

x

Fz x, y, z

y

Fz x, y, z

Здесь в правой части z

есть значение, отвечающее паре x, y

согласно (34).

Пример. Пусть z – функция двух аргументов, заданная соотношением

exy 2z 2 ez

0.

(38)

Здесь F x, y, z exy 2z 2 ez . По формулам (35) и (36) имеем

z

exy y

,

z

exy x

.

y

z

x

2 ez

2 e

Найдем, например, значение z / x

при x 0 и

y 0. Как видно из (38), паре

чисел x 0, y 0 отвечает z 0, поэтому

z

exy

y

0.

x

2 e

z

x 0

x 0

y 0

y 0

z 0

Дана функция

z f x, y .

Пусть она имеет частные производные

z / x fx x, y ,

z / y f y x, y ,

при этом каждая из них в свою очередь есть

функция от x

и

y.

Например,

z

x

y

,

z /

x

3y

x

,

z /

y

3x

y

. Поэтому от

3

3

3

2

3

2

ла находим zx' 3x2 y3 ,

z'y 3x3 y2 , отсюда

zxx'' 6xy3 ,

z''yy 6 yx3 ,

zxy'' 9x2 y2 ,

z''yx 9x2 y2 .

z f x, y . В рассматриваемом примере fxy fyx

и это оказывается не случай-

но.

Теорема 2. Если для функции z f x, y

её смешанные

производные

fxy x, y и fyx x, y непрерывны, то они равны друг другу, т. е. fxy

fyx .

Принимается без доказательства.

Поскольку вторые частные производные функции z f x, y

в свою оче-

чаются n z xn

(когда мы дифференцируем n

раз по

x ). Если вначале n k

раз дифференцируем по

x ,

а затем k раз –

по y ,

то обозначаем это как

n z

xn k yk . Если дифференцируем вначале k

раз по

x , а затем n k раз – по

то получим

z

x

y

.

Если дифференцируем

n раз по

, то пишем

y,

n

k

n k

y

Пусть

(x0 , y0 ) – внутренняя точка области определения функции f (x, y).

Точка x0 , y0 называется точкой максимума функции z f x, y ,

если значе-

ние функции в этой точке больше ее значений

в любой точке (x, y) некоторой малой окрестности точки (x0 , y0 ),

отличной от

последней, то есть

f (x0 , y0 ) f (x, y). График функции для точек, близких к точ-

ке x0 , y0 , может, например, иметь вид, показанный на рис. 94.

Точка

x0 , y0

называется точкой минимума

функции, если значение функции в этой точке

меньше ее значений в любой точке (x, y) некото-

рой малой окрестности точки (x0 , y0 ) , отличной от

последней,

т. е.

f (x0 , y0 ) f (x, y). График этой