SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

Свойства абсолютной величины:

Эти свойства легко обосновать с помощью (1) – (4).

§ 3. Функция, способы задания

Пусть x – переменная величина, M – множество ее значений, y – другая переменная величина и N – множество её значений.

Функцией называется правило, по которому каждому значению x из множества M ставится в соответствие определённое значение y из множества N при условии, что каждое значение y из множества N отвечает хотя бы одно-

му x из M. Переменная x называется независимой переменной или аргумен-

том, а зависимая переменная y – функцией. Множество M называется обла-

стью определения функции, а N – областью значений функции. Введённая функция обозначается y f (x) (здесь f означает не переменную, а вышеуказанное правило, устанавливающее соответствие между x и y ). Говорят, что функция y f (x) отображает множество M на множество N. Вместо f при-

Табличный способ задания функции. Задают ряд значений аргумента x

и указывают соответствующие им значения функции y . Примерами такого способа задания функции являются известные таблицы логарифмов и тригонометрических функций.

Графический способ задания функции – это способ задания функции y f (x) с помощью её графика.

Графиком функции y f (x) называется множество точек на плоскости для каждой из которых абсцисса x равна значению аргумента, а ордина-

та равна соответствующему значению функции y f (x) .

71

5354.ru

Как правило, будем рассматривать функции, графики которых представляют собой сплошные линии или линии, состоящие из нескольких сплошных кривых. Ясно, что соотношение y f (x) является уравнением этой линии.

Аналитический способ задания функции. Здесь функция задаётся фор-

мулой, например, y x2 . Однако функция может задаваться одновременно несколькими формулами для различных интервалов изменения x. Например,

Но если функция задана одной формулой, без дополнительного указания области определения, то под последней понимается совокупность всех значений x, для которых эта формула имеет смысл и по которым можно вычислить соответствующие значения функции. Например, для функции областью определения является множество всех x, отличных от 2, т. е. множество

Основные элементарные функции:

постоянная функция y C const ;

степенная функция y xn , n – любое действительное число;

чение U (x) , а этому значению U отвечает определённое значение y f (U ) . Таким образом, каждому указанному x отвечает определённое значение y . Это означает, что y есть функция от x . Она называется сложной функцией от x и записывается в виде y f (x) , где – внутренняя функция, f –

72

5354.ru

Пусть x изменяется, принимая как положительные, так и отрицательные значения, абсолютная величина | x | неограниченно увеличивается. Тогда говорят, что x стремится к бесконечности, и пишут x . Число b называет-

Можно показать, что если существует последний предел, то существуют предыдущие два предела и все три равны между собой. И наоборот, если существуют предыдущие два предела и они равны, то существует третий, равный двум предыдущим.

§ 5. Предел функции при x x0 и его геометрический смысл.

Односторонние пределы

точек интервала x0 x x0 выполняется неравенство f x b , каким бы малым ни было. Сказанное можно записать символически в виде

0 0 (x0 x x0 ) | f (x) b | .

В этом случае пишут lim f (x) b. Так же, как для N в § 4, фигурирующая в

x x0 0

определении величина зависит от , т. е. является функцией от ( ( )) ,

y f (x) . Теперь дадим определение двустороннего (обычного) предела функ-

75

5354.ru

ции при x x0 (далее всегда под пределом функции при x x0 будем иметь ввиду именно этот двусторонний предел).

Число b называется (двусторонним) пределом функции y f (x) при x x0 , если для любого числа , каким бы малым оно ни было, найдётся такое число 0, что для всех точек интервала x0 x x0 , отличных от x0 , выполняется неравенство f x b , т. е.

0 0 (x0 x x0 ), x x0 | f (x) b | .

В этом случае пишут lim f (x) b.

x x0

Можно проверить, что если су-ществует последний предел, то существуют оба предыдущих одно- сто-ронних предела и все три предела равны между собой. И наоборот, если существуют оба односторонних предела и они равны друг другу, то существует двусторонний предел функции при x x0 , рав-

ный односторонним.

Выясним геометрический смысл двустороннего предела функции. Согласно определению, для всех точек интервала (x0 , x0 ), отличных от x0 , выполняется соотношение (2). Геометрически это означает, что если абсцисса x точки графика y f (x) лежит в интервале x0 , x0 , x x0 , то ордината f (x) этой точки лежит в интервале (2) (см. рис. 41). Следовательно, указанная точка лежит между прямыми y b и y b . Это относится к любой точке кривой y f (x) , абсцисса которой лежит в интервале (x0 , x0 ) и x x0 . Поэтому соответствующий участок графика лежит между вышеуказанными прямыми.

§ 6. Теоремы о пределах. Ограниченные функции

Все теоремы о пределах функции y f (x) будем доказывать для случая, когда x . В остальных случаях стремления x доказательства аналогичны.

Теорема 1. Если функция имеет предел при x , то этот предел будет единственным.

76

5354.ru

Доказательство. Дано, что функция y f (x) при x имеет предел

найдётся такое число N1 , что для всех x N1 будет выполняться неравенство

оба неравенства (3), (4). Из них получим, что b1 b . Но это противоречит условию, что b1 b , поэтому сделанное предположение должно

быть отброшено.

Функция называется ограниченной на некотором множестве M значений x , если существует такое положительное числоC , что для всех x из множества M выполняется неравенство f x C. .

Например, функция sin x является ограниченной на всей числовой оси, , так как для всех x имеем sin x 1. В то же время, функция 1/ x не яв-

ляется ограниченной в интервале 0 x . В самом деле, с уменьшением x , т. е. с приближением x к нулю, в этом интервале функция 1/ x неограниченно увеличивается, и не существует такого положительного числаC , чтобы выполнялось неравенство1/ x C в интервале 0,1 .

Свойства бесконечно малой функции

Теорема 4. Если x x – бесконечно малые функции при x , то их сумма x x также является бесконечно малой функцией, при x

.

Доказательство. Пусть – заданное сколь угодно малое число. Нужно доказать, что для этого числа найдётся такое число N 0 , что для всех x N будет выполняться неравенство x x .

Для указанного числа возьмём число / 2 . Так как (x) является беско-

Пусть N – наибольшее из чисел N1, N2 . Тогда для x N имеют место оба

неравенства (5), (6). Поэтому с учётом свойства абсолютной величины суммы имеем для всех x N

| (x) (x) | | (x) | | (x) | / 2 / 2 .

Теорема доказана.

Если (x) – бесконечно малая функция, то - (x) тоже является бесконечно малой функцией. Это ясно из определения, так как (x) (x) . Ясно

также, что разность двух бесконечно малых функций есть снова бесконечно малая функция, т. к. разность можно записать в виде суммы

(x) (x) (x) ( (x)) .

Доказанная теорема сразу распространяется на любое конечное число слагаемых бесконечно малых функций. Можно сказать, что алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций – бесконечно малая функция.

Теорема 5. Если (x) – бесконечно малая функция при x , а f (x) – ограниченная функция на некотором бесконечном интервале N1, , то произведение (x) f (x) – бесконечно малая функция при x .

79

5354.ru