Пример аналитического выравнивания ряда динамики

Проведем аналитическое выравнивание ряда динамики расходов на деятельность парламента Украины в 2001-2008 гг. (таблица 8.2).

Для определения тренда, наиболее точно отражающего закономерность изменения расходов на деятельность парламента в Украине во времени, рассчитаем параметры уравнений линейной, параболической и экспоненциальной зависимостей, оценив их надежность с помощью F-критерия Фишера. Результаты вспомогательных действий для расчета параметров уравнений регрессии приведены в таблице 9.5. Для упрощения расчетов начало отсчета времени t_i перенесем в середину ряда, добавив в существующий ряд условные данные 2000 г., чтобы число уровней ряда было нечетным.

Таблица 9.5 - Данные для расчета параметров уравнений регрессии,

характеризующих динамику расходов на деятельность парламента в Украине в 2000-2008 гг.

Годы	Сумма расходов, млн. грн., уi,	Условное время, годы, ti	уiti	ti2	уiti2	ti4	Ln уi	Ln уiti	Уровни трендов,
									линейного	параболы II порядка	экспоненциального
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008	150,0 164,0 184,3 201,6 306,0 471,0 606,5 801,8 1000,0	- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4	- 600,0 - 492,0 - 368,6 - 201,6 0,0 471,0 1213,0 2405,4 4000,0	16 9 4 1 0 1 4 9 16	2400,0 1476,0 737,2 201,6 0,0 471,0 2426,0 7216,2 16000,0	256 81 16 1 0 1 16 81 256	5,0106 5,0999 5,2166 5,3063 5,7906 6,1203 6,3333 7,6232 6,9078	-20,0425 -15,2996 -10,4331 -5,3063 0,0000 6,1203 12,6666 22,8696 27,6310	3,2 110,3 217,5 324,6 431,7 538,8 645,9 753,0 860,2	155,5 148,4 173,9 232,1 322,9 446,4 602,4 791,1 1012,5	121,0 156,9 203,5 263,8 342,0 443,4 574,9 745,3 966,3
Всего	3885,2	0	6427,2	60	30928,0	708	53,4085	18,2059	3885,2	3885,2	3817,1

Рассчитаем параметры линейного тренда: начальный уровень тренда а в момент, принятый за начало отсчета времени (t = 0), по формуле 9.10 равен: = 431,689 млн. грн.; константа линейного тренда b по формуле 9.11 равна: = 107,120 млн. грн.

Уравнение линейного тренда имеет вид (формула 9.4): .

Параметры линейного уравнения означают, что среднегодовой фактический уровень расходов на деятельность парламента в Украине и их выровненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 2004 г., равняются 431,689 млн. грн., а среднегодовой абсолютный прирост расходов на деятельность парламента за рассмотренный период – 107,12 млн. грн.

Рассчитаем параметры параболического тренда с помощью системы уравнений 9.14, установив начало отсчета времени (t = 0) в середине ряда, и осуществив соответствующую подстановку данных из столбцов 2-7 таблицы 9.5. Полученная система имеет уравнений вид:

Решив эту систему уравнений имеем:

Уравнение параболического тренда имеет вид (формула 9.5): .

Значение параметра с (константы параболического тренда, равной половине ускорения изменения абсолютного цепного прироста) означает, что абсолютный прирост расходов на деятельность парламента в Украине ускоряется в среднем на 32,64 млн. грн. (2∙16,32) за год. Сам же абсолютный прирост уже не является константой параболического тренда, а является средней величиной за период. В год, принятый за начало отсчета, т.е. 2004 г., тренд проходит через точку с ординатой 322,89 млн. грн. Свободный член параболического тренда не является средним уровнем за период.

Рассчитаем параметры экспоненциального тренда, используя данные колонок 8 и 9 таблицы 9.5:

- по формуле 9.17 = 5,93, отсюда, а = 342,0;

- по формуле 9.18 = 0,303, отсюда k = 1,2965.

Уравнение экспоненциального тренда имеет вид (формула 9.6): .

Значение параметра k (константы экспоненциального тренда) означает, что среднегодовой темп роста расходов на деятельность парламента в Украине составил 129,65 %. В точке, принятой за начало отчета, тренд проходит точку с ординатой 342,0 млн. грн.

Отметим, что суммы теоретических уровней линейного и параболического трендов (колонки 10 и 11 таблицы 9.5) совпадают с суммой фактических уровней расходов на деятельность парламента за 2000-2008 гг. (колонка 2 таблицы 9.5), а сумма теоретических уровней экспоненциального тренда (колонка 12 таблицы 9.5) близка к ней. Это свидетельствует о том, что параметры трендов рассчитаны правильно.

Для прогнозов на будущее рассмотренные тренды не равноправны, поэтому проведем оценку надежности уравнений регрессии с помощью критерия Фишера при α = 0,05 (с вероятностью 0,95).

Рассчитаем теоретические и фактические значения F–критерия для линейного, параболического и экспоненциального трендов.

Для расчета общей и факторных дисперсий для всех видов трендов расходов на деятельность парламента в Украине построим вспомогательную таблицу 9.6.

Таблица 9.6 - Данные для расчета дисперсий расходов на деятельность парламента в Украине за 2000-2008 гг.

Годы	Сумма расходов, млн. грн., уi,	уi2	Линейный тренд		Параболический тренд		Экспоненциальный тренд
				( - )2		( - )2		( - )2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008	150,0 164,0 184,3 201,6 306,0 471,0 606,5 801,8 1000,0	22500,0 26896,0 33966,5 40642,6 93636,0 221841,0 367842,3 642883,2 1000000,0	3,2 110,3 217,5 324,6 431,7 538,8 645,9 753,0 860,2	183602,737 103290,825 45919,733 11468,033 0,000 11472,788 45886,395 103240,823 183621,763	155,5 148,4 173,9 232,1 322,9 446,4 602,4 791,1 1012,5	76280,302 80252,595 66455,111 39835,725 11835,022 213,485 29142,283 129176,347 337341,547	121,0 156,9 203,5 263,8 342,0 443,4 574,9 745,3 966,3	96527,586 75508,933 52070,169 28186,679 8044,097 137,150 20509,422 98351,929 285809,040
Всего	3885,2	2450207,5	3885,2	688503,097	3885,2	770532,417	3817,1	665145,006

Общую дисперсию рассчитываем по данным колонок 2 и 3 таблицы 9.6, используя способ разности (формула 5.14), = 85889,985.

Факторную дисперсию по теоретическим значениям рассчитываем по формуле 7.28, а остаточную дисперсию – по формуле 7.30. Напомним, что = 431,689 млн. грн.

Для линейного тренда: факторная дисперсия по данным столбца 5 таблицы 9.6 равна:

= 76500,344; остаточная дисперсия - = 85889,985 – 76500,344 = 9389,641.

Для тренда, характеризуемого параболой второго порядка: факторная дисперсия по данным столбца 7 таблицы 9.6 равна: = 85614,713; остаточная дисперсия - = 85889,985 – 85614,713 = 275,272.

Для экспоненциального тренда: факторная дисперсия по данным столбца 9 таблицы 9.6 равна: = 73905,001; остаточная дисперсия - = 85889,985 – 73905,001 = 11984,984.

Фактическое значение критерия Фишера для каждого типа тренда определим по формуле 7.34., преобразовав ее в следующий вид , а значения степеней свободы k₁ и k₂ дисперсий – по формулам 7.35 и 7.36.

Итак, для линейного тренда при k₁ = 2 - 1 = 1 и k₂ = 9 – 2 = 7 фактическое значение критерия Фишера равно: = 57,03; теоретическое значение критерия Фишера по данным таблицы 7.9 равно: F_т = 5,59. Так как F_ф > F_т (57,03 > 5,59), то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что линейная регрессия вполне адекватно отражает динамику расходов на деятельность парламента в Украине.

Для тренда, характеризуемого параболой второго порядка, при k₁ = 3 - 1 = 2 и k₂ = 9 – 3 = 6 фактическое значение критерия Фишера равно: = 933,05; теоретическое значение критерия Фишера по данным таблицы 7.10 равно: F_т = 5,14. Так как F_ф > F_т (933,05 > 5,14), то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что и параболическая регрессия адекватно отражает динамику расходов на деятельность парламента в Украине.

Для экспоненциального тренда при k₁ = 2 - 1 = 1 и k₂ = 9 – 2 = 7 фактическое значение критерия Фишера равно: = 43,17; теоретическое значение критерия Фишера по данным таблицы 7.9 равно: F_т = 5,59. Так как F_ф > F_т (43,17 > 5,59), то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что экспоненциальная регрессия также достаточно адекватно отражает динамику расходов на деятельность парламента в Украине.

Наиболее адекватно сложившуюся в исследуемом ряду динамики тенденцию отражает парабола второго порядка.

На рис. 9.4 хорошо видно, что кривые всех трех трендов достаточно близко расположены к фактическим уровням расходов на деятельность парламента в Украине в 2000-2008 гг., но наиболее близкой к ним, т. е. наиболее точно воспроизводящей тенденцию роста этих расходов, является кривая параболы второго порядка.